映射與函數(shù)習(xí)題

1、廣 州 至 慧 教 育學(xué)生姓名 就讀年級 授課日期 教研院審核 【知識點(diǎn)回顧】1.函數(shù)的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個(gè)（任意性）元素x，在集合B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（三性缺一不可）函數(shù)的本質(zhì)：建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的特殊對應(yīng)這種“特殊對應(yīng)”有何特點(diǎn)：1).可以是“一對一” 2).可以是“多對一” 3).不能“一對多” 4). A中不能有剩余元素 5).B中可以有剩余元素判斷兩個(gè)函數(shù)相同：只看定義域和對應(yīng)法則2.映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對

2、于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f:為從集合A到集合B的一個(gè)映射（mapping）。思考：映射與函數(shù)區(qū)別與聯(lián)系？函數(shù)建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的特殊對應(yīng)映射建立在兩個(gè)非空集合上的特殊對應(yīng)1）函數(shù)是特殊的映射，是數(shù)集到數(shù)集的映射2）映射是函數(shù)概念的擴(kuò)展，映射不一定是函數(shù)3）映射與函數(shù)都是特殊的對應(yīng)思考：映射有“三性”：“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個(gè)映射；“存在性”：對于集合A中的任何一個(gè)元素，集合B中都存在元素和它對應(yīng)；“唯一性”：對于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中和它對應(yīng)的元素是唯一的.3.用映射定義函數(shù)(1).

3、函數(shù)的定義：如果A、B都是非空數(shù)集，那末A到B的映射f:A B就叫做A B的函數(shù)。記作：y=f (x).（2）定義域：原象集合A叫做函數(shù)y=f (x)的定義域。（3）值域：象的集合C 叫做函數(shù)y=f (x)的值域。定義：給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且aA， bB。如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。 給定映射f：AB。則集合A中任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一個(gè)原象。問題1：下圖中的（1）（2）所示的映射有什么特點(diǎn)？ 答：發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（1）對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象， 我們

4、把這樣的映射稱為單射。（2）集合B中的每一個(gè)元素都有原象，我們把這樣的映射稱為滿射。定義：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合。f：AB是集合A到集合B的映射，如果在這個(gè)映射下，對于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中每一個(gè)元素都有原象，那么這個(gè)映射叫做A到B上的一 一映射。 單射滿射一 一 映射注意：1）一 一映射是一種特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。 2）映射和一一映射之間的充要關(guān)系，映射是 一 一映射的必要而不充分條件 3）一 一映射： A和B中元素個(gè)數(shù)相等。例2：判斷下面的對應(yīng)是否為映射 ，是否為一一映射？1）A=0,1,2,4,9,B=0,1,4,9,64,對應(yīng)法則 f：a

5、 b = (a-1)2 答：是映射，不是一一映射。（如右圖所示可以很容易可能出。）2）A=0,1,4,9,16,B=-1,0,1,2,3,4,對應(yīng)法則 f：求平方根 ？ 答：不是映射。3）A=Z，B=N*，對應(yīng)法則 f：求絕對值？ 答：不是映射。4）A=11,16,20,21,B=6,2,4,0,對應(yīng)法則 f：求被7除的余數(shù)答：是映射，且是一一映射。例3：已知集合，(x,y)|x,y，f是從到的映射f:x(x+1,x2) .（）求在B中的對應(yīng)元素（）(2,1)在中的對應(yīng)元素解:（1）將x=代入對應(yīng)關(guān)系，可得其在中的對應(yīng)元素為（+1，2） （2）由題意得： x+1=2 x2=1 x=1 即（2,

6、1）在A中的對應(yīng)元素為1例4：設(shè)集合A=a、b,B=c、d、e（1）可建立從A到B的映射個(gè)數(shù) .（2）可建立從B到A的映射個(gè)數(shù) .答：9,8（可以試著畫圖看看）小結(jié)：如果集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，那么從集合A到集合B的映射共有 nm 個(gè)?！居成淅}精解】例1在下列對應(yīng)中、哪些是映射、那些映射是函數(shù)、那些不是？為什么？ 設(shè)A=1,2,3,4，B=3,5,7,9，對應(yīng)關(guān)系是f(x)=2x+1,x屬于A 設(shè)A=1,4,9,B+-1,1,-2,2,-3,3對應(yīng)關(guān)系是A中的元素開平方 設(shè)A=R，B=R,對應(yīng)關(guān)系是f(x)=x的3次方，x屬于A 設(shè)A=R,B=R,對應(yīng)關(guān)系是f(x)=2x的2

7、次方+1，x屬于A 解析：1、是一一映射，且是函數(shù)2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函數(shù)4、是映射，但不是函數(shù)，因?yàn)锽中不是所有值在A中都有對應(yīng)。例2設(shè)A=a,b,c,B=0,1,請寫出兩個(gè)從A到B的映射 從A到B的映射共有23=8個(gè)：（a，b，c）（0，0，0）；（a，b，c）（0，0，1）；（a，b，c）（0，1，0）；（a，b，c）（1，0，0）；（a，b，c）（0，1，1）；（a，b，c）（1，0，1）；（a，b，c）（1，1，0）；（a，b，c）（1，1，1）。例3 假設(shè)集合m=0 -1 1 n=-2 -1 0 1 2 映射f:MN 滿足條件“對任意的x屬于M ,x+f

8、(x) 是奇數(shù)”，這樣的映射 有_個(gè)當(dāng)x=-1時(shí)，x+f(x)=-1+f(-1)恒為奇數(shù)，相當(dāng)于題目中的限制條件“使對任意的x屬于M，都有x+f(x)是奇數(shù)”f(-1)=-2,0,2當(dāng)x=0時(shí)，x+f(x)=f(0),根據(jù)題目中的限制條件“使對任意的x屬于M，都有x+f(x)是奇數(shù)”可知f(0)只能等于-1和1當(dāng)x=1時(shí)，x+f(x)=1+f(1)恒為奇數(shù) f(1)=-2,0,2綜上可知，只有第種情況有限制，所以這樣的映射共有3×2×3=18個(gè) 例4 設(shè)集合A=-1，0，1 B=2，3，4，5，6 從A到B的映射 f滿足條件 ：對每個(gè)XA 有 f（X）+X為偶數(shù) 那么這樣的

9、映射f的個(gè)數(shù)是多少？映射可以多對一，要讓f（X）+X偶數(shù)，當(dāng)X1和1時(shí)，只能從B中取奇數(shù)，有3，5兩種可能，當(dāng)X0從B中取偶數(shù)有2 4 6三種，則一共有2×2×312個(gè) 以后你學(xué)了分步與分類就很好理解啦，完成一件事有兩類不同的方案,在第一類方案中有m種不同的方法,在第二類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m+n中不同的方法,這是分類加法計(jì)數(shù)原理;完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第一步有m種不同的方法,做第二步有n種不同的方法.那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法例5 已知：集合，映射滿足，那么映射的個(gè)數(shù)是多少？思路提示：滿足，則只可能，即、中可以全部為，

10、或各取一個(gè)解：，且有當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)映射；當(dāng)中恰有一個(gè)為，而另兩個(gè)分別為，時(shí)，有個(gè)映射因此所求的映射的個(gè)數(shù)為例6 給出下列四個(gè)對應(yīng)： 其構(gòu)成映射的是 （ ）只有 只有 只有 只有答案： 提示：根據(jù)映射的概念，集合到集合的映射是指對于集合中的每一個(gè)元素，在集合中都有唯一確定的值與之相對應(yīng)，故選擇例7若函數(shù)滿足，則下列各式不恒成立的（ ） 答案： 提示：令有，正確令，有，正確令，有，正確令，則由于，于是當(dāng)時(shí)，故不恒成立，故選例8已知集合，下列不表示從到的映射是（ ） 答案： 提示：選項(xiàng)中，則對于集合中的元素4，對應(yīng)的元素，不在集合中，不符合映射的概念例9集合，那么可建立從到的映射個(gè)數(shù)是_，從到的映射

11、個(gè)數(shù)是_答案： 提示：從到可分兩步進(jìn)行：第一步中的元素可有3種對應(yīng)方法（可對應(yīng)5或6或7），第二步中的元素也有這3種對應(yīng)方法則不同的映射種數(shù)反之從到，道理相同，有種不同映射例10如果函數(shù)對任意都有，試求的值解：對任意，總有，當(dāng)時(shí)應(yīng)有，即又，故有（，則【課堂練習(xí)】1設(shè)f:AB是集合A到集合B的映射，則正確的是 （ ）AA中每一元素在B中必有象 BB中每一元素在A中必有原象CB中每一元素在A中的原象是唯一的DA中的不同元素的象必不同2集合A=3,4,B=5,6,7,那么可建立從A到B的映射個(gè)數(shù)是_，從B到A的映射個(gè)數(shù)是_.3設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集N，映射f:AB把集合A中的元素n影射到集合B中的

12、元素，則在映射f下，象20的原象是 （ ）A.2 B.3 C.4 D.54如果(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是 （ ）A.（3，1） B.（） C. （） D.（-1，3）5.已知點(diǎn)(x，y)在映射f下的象是(2xy，2xy)， 求(1)點(diǎn)（，）在映射f下的像；（）點(diǎn)(4，6)在映射f下的原象. 6.設(shè)集合A1,2,3,k,B4,7,a4,a23a,其中a,kN,映射f:AB，使B中元素y3x1與A中元素x對應(yīng)，求a及k的值. 【綜合練習(xí)】一、選擇題：1下列對應(yīng)是從集合A到集合B的映射的是（ ）AA=R，B=x|x0且xR，xA，f：x|x|BA=N

13、，B=N，xA，f：x|x1|CA=x|x0且xR，B=R，xA，f：xx2DA=Q，B=Q，f：x2已知映射f:AàB，其中集合A3，2，1，1，2，3，4，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且對任意的aA，在B中和它對應(yīng)的元素是|a|，則集合B中的元素的個(gè)數(shù)是（ ）A4B5C6D73設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn，則在映射f下，象20的原象是（ ） A2B3C4D54在x克a%的鹽水中，加入y克b%的鹽水，濃度變成c%(a,b>0,ab)，則x與y的函數(shù)關(guān)系式是（ ）Ay=xBy=xCy=xDy=x5函數(shù)y=

14、的值域是（ ） A(，1 )(1，) B(，1)(1，) C(，0 )(0，) D(，0)(1，) 6下列各組中，函數(shù)f(x)和g(x)的圖象相同的是（ ）Af(x)=x，g(x)=()2Bf(x)=1，g(x)=x0Cf(x)=|x|，g(x)=Df(x)=|x|，g(x)=7函數(shù)y=的定義域?yàn)椋?）Ax|1x1 Bx|x1或x1Cx|0x1D1，18已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，1，則f(x2)的定義域?yàn)椋?）A(1，0)B1，1C(0，1)D0，19設(shè)函數(shù)f(x)對任意x、y滿足f(xy)=f(x)f(y)，且f(2)=4，則f(1)的值為（ ）A2B±C±1D210

15、函數(shù)y=2的值域是 （ ） A2，2 B1，2C0，2 D，11若函數(shù)y=x2x4的定義域?yàn)?，m，值域?yàn)椋?4，則m的取值范圍是（ ） A B ，4C ，3 D ，12已知函數(shù)f(1)=x1，則函數(shù)f(x)的解析式為（ ）Af(x)=x2Bf(x)=x21(x1)Df(x)=x22x2(x1)Cf(x)=x22x(x1)二、填空題：13己知集合A =1，2，3，k ，B = 4，7，a4，a23a，且aN*，xA，y B，使B 中元素y=3x1和A中的元素x對應(yīng)，則a=_ _， k =_ . 14若集合M=1，0，1 ，N=2，1，0，1，2，從M到N的映射滿足：對每個(gè)xM，恒使xf(x)

16、是偶數(shù)， 則映射f有_ _個(gè). 15設(shè)f(x1)=3x1，則f(x)=_ _.16已知函數(shù)f(x)=x22x2，那么f(1)，f(1)，f()之間的大小關(guān)系為 .三、解答題：17（1）若函數(shù)y= f(2x1)的定義域?yàn)?1，2 ，求f (x)的定義域.（2）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，求函?shù)g(x)=f(3x)f()的定義域. 18（1）已f ()=，求f(x)的解析式. （2）已知y=f(x)是一次函數(shù)，且有f f(x)=9x8，求此一次函數(shù)的解析式. 19求下列函數(shù)的值域：（1）y=x2x，x1，3 （2）y =（3） 20已知函數(shù)(x)=f(x)g(x)，其中f(x)是x的正比例函數(shù)，g(x)是x的反比例函數(shù)，且()=16，(1)=8（1）求(x)的解析式，并指出定義域；（2）求(x)的值域. 21如圖，動點(diǎn)P從單位正方