時排列組合問題的解題方法三

1、第三課時 排列組合問題的解題方法（三）教學目標：掌握幾類特殊的排列問題的解決技巧.教學重點：掌握“容斥原理”、“錯位排列”、“圓桌排列”等問題的解題技巧.教學難點：如何應用“技巧”解題教學過程：【例析技巧】七. 用容斥原理解排列問題有些排列組合問題可轉(zhuǎn)化為求集合的元素的個數(shù)來求.充分應用容斥原理：.例14  五人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少種不同的站法.解：這個問題在高中很多參考書上都有，有幾種解法，其中一解法是用排除法：先考慮5個有的全排列，有種不同的排法，然后除去甲排第一（有種）與乙排第二（也有種），但兩種又有重復部分，因此多減，必須加上多減部分，

2、這樣得到共有：種.例15  有5個人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少種不同的站法.仿上分析可得：種.八.均勻分組問題一般地：將個不同元素均勻分成組（每組個元素），共有種方法例16 有6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分為三份，每份2本；（3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本.解：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理得到：種；（2）分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三

3、份，每份兩本，設有種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學有種方法根據(jù)分步計數(shù)原理可得：，所以因此，分為三份，每份兩本一共有15種方法（3）這是“不均勻分組”問題，一共有種方法（4）在（3）的基礎上再進行全排列，所以一共有種方法（5）可以分為三類情況：“2、2、2型”即（1）中的分配情況，有種方法；“1、2、3型”即（4）中的分配情況，有種方法；“1、1、4型”，有種方法；所以，一共有90+360+90540種方法點評：本題第（3）種類型為部分均勻分組再分配，其分組總數(shù)為題型變換：8名球員住、三個房間，每個房間最多住3人，有多少種住宿方法？解：例17 若3名飛行員和6名特勤人員分別上3架

4、不同型號的直升飛機執(zhí)行任務,每機一名飛行員和兩名特勤人員，有多少種分配方法？解：先分組，再分配，或者類題：20名同學分兩組，每組10人去某地社會實踐，其中6名干部，每組3人，不同分法總數(shù)是多少？答案：九. 隔板法：將個相同元素，分成（，）組，可以看成是在個元素之間的個空隙間插入塊隔板.共有種方法.例18 將六本相同的書全部發(fā)給甲、乙、丙三人.（1）每人至少分到一本書，問有多少種不同的分法？（2）每人不一定都分到一本書，問有多少種不同的分法？解：（1）用“隔板法”處理，六本書之間有五個空，插入兩塊隔板，有種分法；用“隔板站位法”處理，六本書之間有五個空，需插入兩塊隔板，但由于有人可能沒有書，所以

5、兩塊隔板站著兩個位置，加上六本書，可以看著是本書，分成3分，所以有種分法點評：類題求不定方程的非負整數(shù)解的個數(shù)？題型變換一：四本不同的書，分給三個人，每人至少一本，全部分完，有幾種分法？解：先分組，再分配有種題型變換二：本不同的書，分給個人，每人至少1本，全部分完，有幾種分法？解：先分組，再分配有種題型變換三：本相同的書，全部分給（）個人.（1）每人至少分到一本書，問有多少種不同的分法？（2）每人不一定都分到一本書，問有多少種不同的分法？解：（1）解法一（隔板站位法）：每人先分一本書，還剩下本書，加上塊隔板，可視為本書，分給個人，所以有種方法.解法二（隔板法）：本書之間有個空，需插入塊隔板，所

6、以有種方法.（2）（隔板站位法）：本書之間，需插入塊隔板，但是，由于有人分不到書，所以塊隔板站著個位置，加上本書，可視為本書，用塊隔板分成分，所以有種方法（這也是一個公式）.【隨堂練習】1.（1） 四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法？（2） 四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？解：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理：一共有種方法；（2）（捆綁法）第一步：從四個不同的小球中任取兩個“捆綁”在一起看成一個元素有種方法；第二步：從四個不同的盒中任取三個將球放入有種方法，所以，一共有144種方法說明：先組合，再排列是解決問題的關鍵本題亦可先將4個小球分成三組，每組分別有/個，共再放入四個盒子中的三個，共有種思考：（1）四個相同的小球放入四個不同的盒子中，一共有多少種不同的放法？解：（隔板站位法）共（2）10個相同的小球放入編號為1、2、3的盒子中，球數(shù)不少于編號數(shù)的放法有多少種？解：按要求放6個，其余4個按隔板站位法有種方法另解：（隔板法）設1，2，3號盒子所放的球數(shù)分別為，.則有.設，則方程的正整數(shù)解的組數(shù)，就是放球的方法數(shù).所以共有種方法.注意：這種利用“先換元，再用隔板技巧”的方法對于求有限制條件的不定方程的非負整數(shù)解的