橢圓及其性質(zhì)知識點題型總結(jié)

1、橢圓知識清單1.橢圓的兩種定義：平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長的動點P的軌跡，即點集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（時為線段，無軌跡）。其中兩定點F1，F(xiàn)2叫焦點，定點間的距離叫焦距。平面內(nèi)一動點到一個定點和一定直線的距離的比是小于1的正常數(shù)的點的軌跡，即點集M=P| ，0e1的常數(shù)。（為拋物線；為雙曲線）（利用第二定義,可以實現(xiàn)橢圓上的動點到焦點的距離與到相應(yīng)準線的距離相互轉(zhuǎn)化，定點為焦點，定直線為準線）.2 標準方程：（1）焦點在x軸上，中心在原點：（ab0）；焦點F1（c，0）， F2（c，0）。其中（一個三角形）（2）焦點在y軸上，中心在原點：（

2、ab0）；焦點F1（0，c），F(xiàn)2（0，c）。其中注意：在兩種標準方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點總在長軸上；兩種標準方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB），當AB時，橢圓的焦點在x軸上，AB時焦點在y軸上。3 參數(shù)方程：焦點在x軸， （為參數(shù)）4 一般方程：5.性質(zhì)：對于焦點在x軸上，中心在原點：（ab0）有以下性質(zhì)：坐標系下的性質(zhì)： 范圍：|x|a，|y|b； 對稱性：對稱軸方程為x=0，y=0，對稱中心為O（0，0）； 頂點：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），長軸|A1A2|=2a，短軸|B1B2|=2b；（半長軸長，半短軸長）

3、；橢圓的準線方程：對于，左準線；右準線 對于，下準線；上準線焦點到準線的距離（焦參數(shù)）橢圓的準線方程有兩條，這兩條準線在橢圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對稱 焦半徑公式：P（x0，y0）為橢圓上任一點。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0 ，左加右減，上減下加通徑：過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓通徑，通徑最短=平面幾何性質(zhì)：離心率：e=（焦距與長軸長之比）；越大越扁，是圓。焦準距；準線間距兩個最大角焦點在y軸上，中心在原點：（ab0）的性質(zhì)可類似的給出。6焦點三角形應(yīng)注意以下關(guān)系：(1) 定義：r1r22a

4、(2) 余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3) 面積：r1r2 sin·2c| y0 |= c| y0 |= (其中P()為橢圓上一點，|PF1|r1，|PF2|r2，F(xiàn)1PF2)7.共焦點的橢圓系設(shè)法：把橢圓（ab0）的共焦點橢圓設(shè)為8.特別注意：橢圓方程中的a,b,c,e與坐標系無關(guān),而焦點坐標,準線方程,頂點坐標,與坐 標系有關(guān).因此確定橢圓方程需要三個條件:兩個定形條件a,b,一個定位條件焦點坐標或準線方程.9.弦長公式： （a,b,c為方程的系數(shù)考點解析考點一 橢圓定義及標準方程 題型1:橢圓定義的運用例1 .橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射

5、后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是（ ）OxyDPABCQA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 例2.點P為為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，試求：取得最值時的點坐標。題型2 求橢圓的標準方程 例3.設(shè)橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為4，求此橢圓方程.考點二 橢圓的幾何性質(zhì) 題型1:求橢圓的離心率（或范圍）例4. 在中，若以為

6、焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運用（范圍、對稱性等）例5. 已知實數(shù)滿足,求的最大值與最小值考點三 橢圓的最值問題題型1: 動點在橢圓上運動時涉及的距離、面積的最值例6.橢圓上的點到直線l:的距離的最小值為_題型2.1、的最值若A為橢圓內(nèi)一定點（異于焦點），P是C上的一個動點，F(xiàn)是C的一個焦點，e是C的離心率，求的最小值。例7. 已知橢圓內(nèi)有一點A（2，1），F(xiàn)是橢圓C的左焦點，P為橢圓C上的動點，求的最小值。2、的最值若A為橢圓C內(nèi)一定點（異于焦點），P為C上的一個動點，F(xiàn)是C的一個焦點，求的最值。例8 已知橢圓內(nèi)有一點A（2，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點，P是橢

7、圓上動點，求的最大值與最小值。3、的最值若A為橢圓C外一定點，為C的一條準線，P為C上的一個動點，P到的距離為d，求的最小值。例9. 已知橢圓外一點A（5，6），為橢圓的左準線，P為橢圓上動點，點P到的距離為d，求的最小值。4、橢圓上定長動弦中點到準線距離的最值例10. 定長為的線段AB的兩個端點分別在橢圓上移動，求AB的中點M到橢圓右準線的最短距離。考點四 直線與橢圓相交問題題型1 直線與橢圓相交求弦長(1) 常用分析一元二次方程解的情況，僅有還不夠，且用數(shù)形結(jié)合的思想。(2) 弦的中點，弦長等，利用根與系數(shù)的關(guān)系式，但>0這一制約條件不同意。 （a,b,c為方程的系數(shù)）例11.已知直

8、線過橢圓的一個焦點，斜率為2，與橢圓相交于M、N兩點，求弦的長。題型2“點差法”解題?！霸O(shè)而不求”的思想。當涉及至平行法的中點軌跡，過定點弦的中點軌跡，過定點且被定點平分的弦所在直線方程，用“點差法”來求解。步驟：1.設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2)分別代入橢圓方程；2.設(shè)為AB的中點。兩式相減，3.得出注：一般的，對橢圓上弦及中點，有例12.已知橢圓， 求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程考點五.軌跡問題這一問題難，但是解決法非常多，有如下幾種。1.直接法：根據(jù)條件，建立坐標系，設(shè)動點(x，y)，直接列出動點所應(yīng)滿足的方程。2.代入法：一個是動點Q(x0,y0)在已知曲線F(x,y)=0，上

9、運動，而動點P(x,y)與Q點滿足某種關(guān)系，要求P點的軌跡。其關(guān)鍵是列出P、Q兩點的關(guān)系式3.定義法：通過對軌跡點的分析，發(fā)現(xiàn)與某個圓錐曲線的定義相符，則通過這個定義求出方程。4.參數(shù)法：在x，y間的方程F(x,y)=0難以直接求得時，往往用(t為參數(shù))來反映x，y之間的關(guān)系。常用的參數(shù)有斜率k與角等。例13：的一邊的的頂點是B(0,6)和C(0,-6)，另兩邊斜率的乘積是，求頂點A的軌跡方程：考點六 綜合性問題，與平面向量結(jié)合（2011四川卷理）（本小題滿分12分） 橢圓有兩頂點A(-1，0)、B(1，0)，過其焦點F(0，1)的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P直線AC與直線BD

10、交于點Q (I)當|CD | = 時，求直線l的方程； (II)當點P異于A、B兩點時，求證： 為定值。 解：由已知可得橢圓方程為，設(shè)的方程為為的斜率則的方程為或為所求（）當直線與軸垂直時與題意不符設(shè)直線的方程為，所以點坐標為設(shè)，由（）知，直線的方程為，直線的方程為將兩直線方程聯(lián)立，消去得因為，所以與異號 又與異號，與同號，解得因此點坐標為，故為定值（2013四川卷理）（本小題滿分12分）已知橢圓：的兩個焦點分別為，且橢圓經(jīng)過點（）求橢圓的離心率；（）設(shè)過點的直線與橢圓交于、兩點，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程解：(1)由橢圓定義知，2a|PF1|PF2|，所以.又由已知，c1.所以橢圓C的離心率.(2)由(1)知，橢圓C的方程為y21.設(shè)點Q的坐標為(x，y)(1)當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，1)兩點，此時點Q的坐標為.(2)當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為ykx2.因為M，N在直線l上，可設(shè)點M，N的坐標分別為(x1，kx12)，(x2，kx22)，則|AM|2(1k2)x12，|AN|2(1k2)x22.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即.將ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24×(2k21)×60，得k2.由