正弦定理余弦定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及最全證明

1、正弦定理、余弦定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及證明方法王彥文 青銅峽一中1掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題2能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題主要考查有關(guān)定理的應(yīng)用、三角恒等變換的能力、運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解三角形常常作為解題工具用于立體幾何中的計(jì)算或證明，或與三角函數(shù)聯(lián)系在一起求距離、高度以及角度等問(wèn)題，且多以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)1正弦定理(1)正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即 其中R是三角形外接圓的半徑(2)正弦定理的其他形式：a2RsinA，b ，c ；sinA，sinB ，sinC ；abc_.2余弦定理(1)

2、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍即a2 ，b2 ，c2 .若令C90°，則c2 ，即為勾股定理(2)余弦定理的變形：cosA ，cosB ，cosC .若C為銳角，則cosC>0，即a2b2_c2；若C為鈍角，則cosC<0，即a2b2_c2.故由a2b2與c2值的大小比較，可以判斷C為銳角、鈍角或直角(3)正、余弦定理的一個(gè)重要作用是實(shí)現(xiàn)邊角_，余弦定理亦可以寫成sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA，類似地，sin2B_；sin2C_.注意式中隱含條件ABC.3解斜三角形的類型(1)已知三角

3、形的任意兩個(gè)角與一邊，用_定理只有一解(2)已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，用_定理，可能有_如在ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如表：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absinAbsinA<a<baba>b解的個(gè)數(shù) (3)已知三邊，用_定理有解時(shí)，只有一解(4)已知兩邊及夾角，用_定理，必有一解4三角形中的常用公式或變式(1)三角形面積公式S _其中R，r分別為三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑(2)ABC，則A_，_，從而sinA_，cosA_，tanA_；sin_，cos_，tan_.tanAtanBtanC_.(3)若三角形三邊a，b，c成等差數(shù)列，則2b_2sinB

4、_2sincos2coscostantan.【自查自糾】1(1)2R(2)2RsinB2RsinCsinAsinBsinC2(1)b2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosCa2b2(2)><(3)互化sin2Csin2A2sinCsinAcosBsin2Asin2B2sinAsinBcosC3(1)正弦(2)正弦一解、兩解或無(wú)解一解二解一解一解(3)余弦(4)余弦4(1)absinCbcsinAacsinB(abc)r(2)(BC)sin(BC)cos(BC)tan(BC)cossintanAtanBtanC(3)acsinAsinC在ABC中，A>B

5、是sinA>sinB的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解：因?yàn)樵谕蝗切沃?，角大則邊大，邊大則正弦大，反之也成立，故是充要條件故選C.在ABC中，已知b6，c10，B30°，則解此三角形的結(jié)果有()A無(wú)解 B一解C兩解 D一解或兩解解：由正弦定理知sinC，又由c>b>csinB知，C有兩解也可依已知條件，畫出ABC，由圖知有兩解故選C.()設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定解：由已知和正弦定理可

6、得sinBcosCsinCcosBsinA·sinA，即sin(BC)sinAsinA，亦即sinAsinAsinA.因?yàn)?<A<，所以sinA1，所以A.所以三角形為直角三角形故選B.()在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a2，B，c2，則b_解：由余弦定理知b2a2c22accosB2222×2×2×cos4，b2.故填2.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b2，sinBcosB，則角A的大小為_解：sinBcosB，sin，即sin1.又B(0，)，B，B.根據(jù)正弦定理，可得sinA.ab，AB.

7、A.故填.類型一正弦定理的應(yīng)用ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知AC90°，acb，求C.解：由acb及正弦定理可得sinAsinCsinB.又由于AC90°，B180°(AC)，故cosCsinCsinAsinCsin(AC)sin(90°2C)sin2(45°C)sin(45°C)2sin(45°C)cos(45°C)，即cos(45°C).又0°C90°，45°C60°，C15°.【評(píng)析】利用正弦定理將邊邊關(guān)系轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系，這是解此

8、題的關(guān)鍵()在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求證：BC；(2)若a，求ABC的面積解：(1)證明：對(duì)bsincsina應(yīng)用正弦定理得sinBsinsinCsinsinA，即sinBsinC，整理得sinBcosCsinCcosB1，即sin1.由于B，C，BC.(2)BCA，又由(1)知BC，B，C.a，A，由正弦定理知b2sin，c2sin.SABCbcsinA×2sin×2sin×sinsincossinsin.類型二余弦定理的應(yīng)用在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且.(1)求B的大?。?2)若b

9、，ac4，求ABC的面積解：(1)由余弦定理知，cosB，cosC，將上式代入得·，整理得a2c2b2ac.cosB.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accosB，得13422ac2accos，解得ac3.SABCacsinB.【評(píng)析】根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用若ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足(ab)2c24，且C60°，則ab的值為()A. B84 C1 D.解：由余弦定理得c2a2b22abcosCa2b2ab

10、，代入(ab)2c24中得(ab)2(a2b2ab)4，即3ab4，ab.故選A.類型三正、余弦定理的綜合應(yīng)用()ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知abcosCcsinB.(1)求B；(2)若b2，求ABC面積的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinB.又A(BC)，故sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由，和C(0，)得sinBcosB.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面積SacsinBac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立因此ABC面積的最大值為1.【評(píng)析】

11、(1)化邊為角與和角或差角公式的正向或反向多次聯(lián)用是常用的技巧；(2)已知邊及其對(duì)角求三角形面積最值是高考中考過(guò)多次的問(wèn)題，既可用三角函數(shù)求最值，也可以用余弦定理化邊后用不等式求最值()設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ac6，b2，cosB.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accosB，得b2(ac)22ac(1cosB)，又ac6，b2，cosB，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sinB，由正弦定理得sinA.因?yàn)閍c，所以A為銳角，所以cosA.因此sin(AB)sinAcosBcosAsinB.類型四判斷三

12、角形的形狀在三角形ABC中，若tanAtanBa2b2，試判斷三角形ABC的形狀解法一：由正弦定理，得，所以，所以，即sin2Asin2B.所以2A2B，或2A2B，因此AB或AB，從而ABC是等腰三角形或直角三角形解法二：由正弦定理，得，所以，所以，再由正、余弦定理，得，化簡(jiǎn)得(a2b2)(c2a2b2)0，即a2b2或c2a2b2.從而ABC是等腰三角形或直角三角形【評(píng)析】由已知條件，可先將切化弦，再結(jié)合正弦定理，將該恒等式的邊都化為角，然后進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形，找出角之間的關(guān)系；或?qū)⒔嵌蓟蛇?，然后進(jìn)行代數(shù)恒等變形，可一題多解，多角度思考問(wèn)題，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)的熟練掌握()在ABC中，

13、若sin2Asin2B<sin2C，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不能確定解：在ABC中，sin2Asin2B<sin2C，由正弦定理知a2b2<c2.cosC<0，即C為鈍角，ABC為鈍角三角形故選C.類型五解三角形應(yīng)用舉例某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20 n mile的A處，并以30 n mile/h的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v n mile/h的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t h與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，

14、則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30 n mile/h，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由解法一：(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S n mile，則S，故當(dāng)t時(shí)，Smin10，此時(shí)v30.即小艇以30 n mile/h的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900.0<v30，900900，即0，解得t.又t時(shí)，v30.故v30時(shí)，t取得最小值，且最

15、小值等于.此時(shí)，在OAB中，有OAOBAB20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30 n mile/h，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇解法二：(1)若相遇時(shí)小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎狈较蛟O(shè)小艇與輪船在C處相遇在RtOAC中，OC20cos30°10，AC20sin30°10.又AC30t，OCvt，此時(shí)，輪船航行時(shí)間t，v30.即小艇以30 n mile/h的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)假設(shè)v30時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船在D處相遇，此時(shí)ADDO30t.又OAD60°，所以ADDOO

16、A20，解得t.據(jù)此可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度的大小為30 n mile/h.這樣，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇證明如下：如圖，由(1)得OC10，AC10，故OC>AC，且對(duì)于線段AC上任意點(diǎn)P，有OPOC>AC.而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30 n mile/h，故小艇與輪船不可能在A，C之間(包含C)的任意位置相遇設(shè)COD(0°<<90°)，則在RtCOD中，CD10tan，OD.由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為t和t，所以.由此可得，v.又v30，故sin(30°)，從而，30

17、6;<90°.由于30°時(shí)，tan取得最小值，且最小值為.于是，當(dāng)30°時(shí)，t取得最小值，且最小值為.【評(píng)析】這是一道有關(guān)解三角形的實(shí)際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題抽象成純數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)題目提供的信息，找出三角形中的數(shù)量關(guān)系，然后利用正、余弦定理求解解三角形的方法在實(shí)際問(wèn)題中，有廣泛的應(yīng)用在物理學(xué)中，有關(guān)向量的計(jì)算也要用到解三角形的方法近年的高考中我們發(fā)現(xiàn)以解三角形為背景的應(yīng)用題開始成為熱點(diǎn)問(wèn)題之一不管是什么類型的三角應(yīng)用問(wèn)題，解決的關(guān)鍵都是充分理解題意，將問(wèn)題中的語(yǔ)言敘述弄明白，畫出幫助分析問(wèn)題的草圖，再將其歸結(jié)為屬于哪類可解的三角形本題用幾何方法求解也

18、較簡(jiǎn)便()如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin的值解：(1)依題意，BAC120°，AB12，AC10×220，在ABC中，由余弦定理知BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC1222022×12×20×cos120°784，BC28.所以漁船甲的速度為v14(海里/小時(shí))(2)在ABC中，AB12，BAC120°，BC28，BCA，由正弦定理得，即，從而sin.1已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，要注