曲線擬合問題分析

1、2013高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了全國大學生數(shù)學建模競賽章程和全國大學生數(shù)學建模競賽參賽規(guī)則（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽

2、規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權(quán)全國大學生數(shù)學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?中國人民解放軍理工大學 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 韋煒致 2. 盛 俊 3. 秦鵬飛 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 劉守生 （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資

3、格。） 日期：2014年7月21日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2013高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：通過曲線擬合的方法探究兩個相關(guān)量之間的關(guān)系一、摘要本文采用最小二乘法、最小一乘法的分析方法，通過建立線性規(guī)劃模型與非線性規(guī)劃模型等多種形式，利用Matlab、Lingo編程實現(xiàn)曲線擬合，以探究兩個相關(guān)量量與量之間的關(guān)系。對于問題一，在擬合準則為偏差平方和最小的前提下，采用最小二乘法，

4、通過Matlab編程得到0.012，0.803，即可得擬合直線。對于問題二，在擬合準則為絕對偏差總和最小的前提下，采用最小一乘法，并將無約束不可微最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為解決線性規(guī)劃問題，通過Matlab編程得到0.750，0.575，即可得擬合直線。對于問題三，在擬合準則為最大偏差極小化的前提下，采用線性規(guī)劃模型，通過 Matlab編程得到-4.758，1.130，即得擬合直線。對于問題四，在擬合準則為偏差平方和最小的前提下，繼續(xù)采用最小二乘法，得到1.425，-0.139，0.097，則為所擬合的曲線。在擬合準則為絕對偏差總和最小的前提下，構(gòu)造非線性規(guī)劃模型，得到1.000，-0.805，0.16

5、0，則為所擬合的曲線。在擬合準則為最大偏差極小化的前提下，也是構(gòu)造非線性規(guī)劃模型，得到0.469，0.766，0.025，則為所擬合的曲線。對于問題五，重新觀察散點圖的圖像特征，采用最小二乘法，擬合出相應的指數(shù)函數(shù)曲線圖像和對數(shù)函數(shù)曲線圖像，發(fā)現(xiàn)的指數(shù)函數(shù)曲線方程較對數(shù)函數(shù)曲線方程更準確地表現(xiàn)出量與量之間的關(guān)系。關(guān)鍵詞 最小二乘法 最小一乘法 線性規(guī)劃 曲線擬合二、問題重述已知一個量依賴于另一個量，現(xiàn)收集有數(shù)據(jù)如下：0.00.51.01.51.92.53.03.54.04.51.00.90.71.52.02.43.22.02.73.55.05.56.06.67.67.68.59.010.01.

6、04.07.62.75.74.66.06.812.3（1）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線。目標為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預期的值的偏差平方和為最小。（2）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線，目標為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預期的值的絕對偏差總和為最小。（3）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線，目標為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預期的值的最大偏差為最小。（4）求擬合以上數(shù)據(jù)的曲線，實現(xiàn)（1）（2）（3）三種目標。（5）試一試其它的曲線，可否找出最好的？三、問題分析由題目可知，量依賴于量，也就是說量與量之間存在著必然的聯(lián)系。這就要求我們通過曲線擬合的方式來探究量與量之間的關(guān)系。對于問題一，擬合題中所給數(shù)據(jù)的直線，目標為使的各個觀

7、察值同按直線關(guān)系所預期的值的偏差平方和為最小。擬合準則偏差平方和最小，即為最為常用的最小二乘準則，故該問就轉(zhuǎn)化為了在最小二乘準則下的曲線擬合問題，也就是一個多元函數(shù)的最小值問題，故而可采用最小二乘法，利用Matlab編程進行曲線擬合進行求解。對于問題二，擬合題中所給數(shù)據(jù)的直線，目標為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預期的值的絕對偏差總和為最小。對于要在擬合準則絕對偏差總和最小的情況下擬合曲線，應采用最小一乘法原理，又因求解存在一定的困難，其困難就在于絕對值的存在，應設(shè)法化去絕對值，所以在所要求擬合的曲線函數(shù)形式簡單的前提下，將問題轉(zhuǎn)化為了線性規(guī)劃的求解問題。對于問題三，擬合題中所給數(shù)據(jù)的直線，目標

8、為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預期的值的最大偏差為最小。對于要在擬合準則最大偏差為最小的情況下擬合曲線，可以在第二問的基礎(chǔ)上加以改進，繼續(xù)采用線性規(guī)劃模型，并利用Lingo編程進行問題的求解。對于問題四，擬合題中所給數(shù)據(jù)的曲線，分別實現(xiàn)問題一、問題二、問題三中的三種目標。針對這一問題，只需將前三問中的原理加以改進，將原理中的線性部分轉(zhuǎn)化為非線性部分，即可對該問進行求解。對于問題五，因為前三問要求擬合的都是直線，第四問要求擬合的是二次曲線，擬合完后發(fā)現(xiàn)均呈現(xiàn)函數(shù)值與觀測值都存在一定的偏差，說明擬合的曲線并非是關(guān)于量和量的最佳擬合曲線。故而可以重新觀察散點圖的圖像特點，充分考慮之前擬合曲線中的奇異

9、點的位置，分別嘗試擬合指數(shù)函數(shù)曲線和對數(shù)函數(shù)曲線，以找到關(guān)于量和量的最佳擬合曲線。四、模型的建立與求解設(shè)表示按擬合曲線求得的近似值，它不同于實測值，兩者之間的差值就是大家熟知的偏差（或殘差）。通常我們構(gòu)造擬合曲線有3種準則可供選擇（即如題所問），具體內(nèi)容如下：1、最大偏差達到最小：；2、偏差的絕對值之和達到最小：；3、偏差的平方和達到最小：。6.1 問題模型的建立和解答6.1.1 問題模型的建立直線擬合數(shù)據(jù)點的最小二乘法，即找一個一次函數(shù)，使二元函數(shù)達到最小。由多元函數(shù)取得極值的必要條件知，由方程組：，化簡可得正規(guī)方程組：。6.1.2問題模型的解答要求解最小二乘線性回歸方程，運用Matlab實

10、現(xiàn)極為簡潔（具體程序詳見附錄1）。得出0.803，-0.012。也就是說擬合成的直線為。擬合后的圖像見下圖1：圖1 問題一函數(shù)擬合結(jié)果4.2問題模型的建立和解答4.2.1 建立最小一乘線性回歸模型設(shè)觀測數(shù)據(jù)為，即樣本個數(shù)大于變量個數(shù)，線性模型為，（1）其中為元素全為1的維列向量，為回歸系數(shù)向量，。接下來是確定對最小一乘線性回歸系數(shù)的估計，這就需要求解下面的無約束不可微最優(yōu)化問題，（2）即要求超定矛盾線性方程組，（3）的的范數(shù)極小解。令，可以看做兩個非負的維列向量之差，令，又設(shè)為非負的維列向量，則（3）可以變成一個相容性的線性方程。（4）問題（2）變?yōu)榍笞钚〉膯栴}，再設(shè)分別表示含有個0，個1的列

11、向量，于是問題轉(zhuǎn)化為求解如下的線性規(guī)劃問題模型目標值為， （5）約束條件為， （6）接著利用求解線性規(guī)劃的算法，求出問題（5）的最優(yōu)解后，即可得到問題（1）的最優(yōu)解。4.2.2求解最小一乘線性回歸模型要求解最小一乘線性回歸方程，關(guān)鍵就是計算出最小一乘線性回歸系數(shù)向量，而計算值運用Matlab實現(xiàn)極為簡潔。故下面就利用Matlab優(yōu)化工具箱中的線性規(guī)劃命令linprog求解最小一乘線性回歸系數(shù)向量（具體程序詳見附錄1）。得出0.5750,0.6500，即0.575，0.750。也就是說擬合成的直線為。擬合后的圖像見下圖2：圖2 問題二函數(shù)擬合結(jié)果4.3問題模型的建立和解答4.3.1 問題模型的建

12、立問題三歸結(jié)為求直線。目標為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預期的值的最大偏差為最?。醋畲笃顦O小化）。則對于任意的，令那么，可建立線性規(guī)劃模型如下：4.3.2 問題模型的解答要求解上述線性規(guī)劃的方程，運用Lingo實現(xiàn)極為簡潔（具體程序詳見附錄2）。得出1.130，-4.758。也就是說擬合成的直線為。擬合后的圖像如圖3：圖3 問題三函數(shù)擬合結(jié)果4.4 問題模型的建立和解答問題四歸結(jié)為求非線性曲線，其要求分別從問題一、問題二、問題三的擬合準則出發(fā)進行求解，故而可繼續(xù)采用前三問中的原理，將線性部分的約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性下的約束條件即可對該問進行求解。4.4.1 針對問題中的擬合準則求解問題對于擬

13、合準則為偏差平方和最小，采用最小二乘法，用Matlab編程（詳見附錄1）得出1.425，-0.139，0.097，即可得出擬合的函數(shù)曲線方程為，圖4 問題四（1）函數(shù)擬合結(jié)果擬合后的圖像如下圖4：4.4.2針對問題中的擬合準則求解問題對于擬合準則為絕對偏差總和最小，通過建立如下非線性規(guī)劃模型，和利用Matlab編程（詳見附錄1）得出1.000，-0.805，0.1601，即可得出擬合的函數(shù)曲線方程為。擬合后的圖像如下圖5：圖5 問題四（2）函數(shù)擬合結(jié)果4.4.3針對問題中的擬合準則求解問題對于擬合準則為絕對偏差總和最小，通過非線性規(guī)劃模型，和利用Lingo編程（詳見附錄2）得出0.025，-0

14、.766，0.469，即可得出擬合的函數(shù)曲線方程為，圖6 問題四（3）函數(shù)擬合結(jié)果擬合后的圖像如下圖6：4.5 問題模型的建立和解答重新觀察散點圖的圖像特點，充分考慮之前擬合曲線中的奇異點的位置，分別嘗試擬合指數(shù)函數(shù)曲線和對數(shù)函數(shù)曲線，以找到關(guān)于量和量的最佳擬合曲線(采用最小二乘法)。4.5.1 擬合指數(shù)函數(shù)曲線利用Matlab編程（詳見附錄1）得出擬合的函數(shù)曲線方程為擬合后的圖像如下圖7：圖7 問題五（1）函數(shù)擬合結(jié)果4.5.2擬合對數(shù)函數(shù)曲線利用Matlab編程（詳見附錄1）得出擬合的函數(shù)曲線方程為圖8 問題五（2）函數(shù)擬合結(jié)果擬合后的圖像如下圖8：由圖像觀察可得，因擬合得的指數(shù)函數(shù)的圖像

15、較對數(shù)函數(shù)圖像，以及前四問中擬合的直線函數(shù)圖像、二次函數(shù)圖像而言，指數(shù)函數(shù)的圖像中的分散點在曲線上更為均勻地分布，奇異點較少，且更為美觀，故而將量與量之間的關(guān)系擬合為指數(shù)函數(shù)的曲線更為合適。五、模型的評價5.1.1 優(yōu)點1、曲線擬合轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學規(guī)劃模型，降低了算法的難度，增強了結(jié)果的準確性。2、建立的模型對于實際應用具有一定意義。5.1.2 缺點1、算法較為簡單，不夠嚴謹。2、第五問中曲線擬合方法只采用了最小二乘法，方法較為單一，應嘗試多種方法，以求得更為完善的模型。六、參考文獻1王福昌，胡順昌，張艷芳，最小一乘回歸系數(shù)估計及其MATLAB實現(xiàn)，防災科技學院學報，2007年12月。2張小勇，徐香

16、勤，基于LINGO的曲線擬合，2007年1月。3楊啟帆，何勇，談之奕，數(shù)學建模，浙江：浙江大學出版社，2006年5月。七、附錄附錄一：matlab相關(guān)程序%求解問題一、問題二、問題四（1）、問題五%數(shù)據(jù)為題目所給源數(shù)據(jù)，手動輸入%運用最小二乘算法和最小一乘算法分別滿足殘差平方極小與殘差絕對值之和極小的條件%計算結(jié)果為生成擬合函數(shù)的相關(guān)系數(shù)%大部分程序為順序結(jié)構(gòu)，部分運用了創(chuàng)建和調(diào)用函數(shù)的方法，結(jié)合循環(huán)結(jié)構(gòu)完成算法*%第一問的求解%數(shù)據(jù)輸入x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.6 7.6 7.6 8.5 9.0 10.0;

17、y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5 1.0 4.0 7.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 12.3;Y=polyfit(x,y,1);%對數(shù)據(jù)進行最小二乘擬合plot(x,y,'*r');hold onezplot('Y',0,10);*%第二問的求解clear all；clc；%定義函數(shù)functionbeta L1norm=ladregression(y,X)n=length(y);p=size(X,2);X=ones(n,1) X;f=zeros(2*(p+1),1);ones(2*n,1);b=y

18、;A=X,-X,eye(n),-eye(n);lb=zeros(2*(n+p+1),1);x,fval=linprog(f,A,b,lb);%調(diào)用線性規(guī)劃函數(shù)進行運算beta=x(1:p+1)-x(p+2:2*(p+1);L1norm=sum(abs(y-X*beta);if abs(fval-L1norm)>1e-6 options=optimset('MaxIter',100000,'LargeScale','off','Simplex','on'); x,fval=linprog(f,A,b,lb,op

19、tions); beta=x(1:p+1)-x(p+2:2*(p+1);end%分支結(jié)構(gòu)L1norm=sum(abs(y-X*beta);%計算偏差絕對值之和%數(shù)據(jù)輸入X=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.6 7.6 7.6 8.5 9.0 10.0'y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5 1.0 4.0 7.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 12.3'beta L1norm=ladregression(y,X)%調(diào)用自建函數(shù)*%第四問（1）的求解cl

20、ear all；clc；x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.6 7.6 7.6 8.5 9.0 10.0;y1=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5 1.0 4.0 7.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 12.3;c1=polyfit(x,y1,2)tp1=0:0.01:12.3;x1=polyval(c1,tp1);plot(tp1,x1,x,y1,'*r');*%第五問求解%猜測使用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)來擬合題目所給數(shù)據(jù)%數(shù)據(jù)來源同上%運用matlab的

21、擬合工具箱，以及設(shè)定擬合形式來進行最小二乘擬合%結(jié)果為函數(shù)的相關(guān)系數(shù)%程序為順序結(jié)構(gòu)*%指數(shù)函數(shù)擬合x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.6 7.6 7.6 8.5 9.0 10.0;y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5 1.0 4.0 7.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 12.3;cftool(x,y)%調(diào)用擬合工具箱*%對數(shù)函數(shù)擬合clear all;clc;x=0.0 0.5 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6

22、.0 6.6 7.6 7.6 8.5 9.0 10.0;y=1.0 0.9 0.7 1.5 2.0 2.4 3.2 2.0 2.7 3.5 1.0 4.0 7.6 2.7 5.7 4.6 6.0 6.8 12.3;f = fittype('a*log(x+b)'); %擬合自定義函數(shù)的形式fit1 = fit(x',y',f,'StartPoint',x(1) y(1);a = fit1.a; % a的值b = fit1.b; % b的值fdata = feval(fit1,x'); % 用擬合函數(shù)來計算yfigureplot(x,y,'*r'); hold onplot(x,fdata','r'); hold offlegend('Ori data',' Fitting data');%作圖例附錄二：lingo相關(guān)程序!運用線性規(guī)劃解決問題三，問題四（2）（3）;!數(shù)據(jù)為題目所給源數(shù)據(jù)，手動輸入;!運用