有關(guān)實(shí)數(shù)系一些基本等價(jià)性質(zhì)的互證

1、有關(guān)實(shí)數(shù)系一些基本等價(jià)性質(zhì)的互證柯華忠 中山大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)04級(jí) 實(shí)數(shù)系的七個(gè)基本性質(zhì)的互相推證似乎不易掌握（要證次），但細(xì)細(xì)分析證明的思路，可發(fā)現(xiàn)一些共同的模式。但凡事有了套路都容易使人的思維產(chǎn)生慣性，十分不利于多角度、多側(cè)面地認(rèn)識(shí)客體。為此，本文在敘述筆者總結(jié)的模式以外，還提供幾個(gè)不在模式內(nèi)的證明。 I;三種模式 (i)“切” 所謂“切”，是指運(yùn)用Dedekind分割的思路，根據(jù)實(shí)數(shù)連續(xù)性得到一個(gè)特殊的臨界點(diǎn)。此思路最典型的運(yùn)用非實(shí)數(shù)基本定理莫屬。但考慮到實(shí)數(shù)基本定理中構(gòu)造上類（或下類）往往循以下形式：B=x | x是滿足性質(zhì)P的數(shù)集的上界（或A=x | x是滿足性質(zhì)P的數(shù)集的下界），于是A

2、|B所確定的唯一實(shí)數(shù)r是B的下確界（同時(shí)也是A的上確界），所以可運(yùn)用實(shí)數(shù)基本定理的地方均可用確界定理處理?？紤]到用確界定理敘述起來較方便，以下證明均采用確界定理。 單調(diào)有界定理和區(qū)間套定理：分別見課本P295-296 及P297 。 由此二處證明可見，證明的關(guān)鍵是存在性，而點(diǎn)的唯一性是由被證明定理本身的條件所保證的。這是一種一般性現(xiàn)象。除Borel有限覆蓋定理外，其余六條基本性質(zhì)均斷言某種特殊點(diǎn)的“唯一存在”性質(zhì)：這在實(shí)數(shù)基本定理是上類的最小值點(diǎn)或下類的最大值點(diǎn)，在確界定理是確界點(diǎn)，在單調(diào)有界定理是極限點(diǎn)，在區(qū)間套定理是公共點(diǎn)，在致密性定理是某子列的收斂點(diǎn)，在Cauchy收斂準(zhǔn)則是極限點(diǎn)。對(duì)這

3、些定理的證明的關(guān)鍵是推出上述特殊點(diǎn)的存在性，而唯一性總可由定理本身的約束條件得到。這從一個(gè)側(cè)面反映了這些實(shí)數(shù)基本性質(zhì)不外是對(duì)實(shí)數(shù)這一對(duì)象的不同角度的描述而已。 Borel定理 設(shè)是的一個(gè)覆蓋。設(shè)B=x |有E的有限子覆蓋 。由于Ea s.t. Ea，故在a右側(cè)有B中元素，即B非空。設(shè)=supB, 下證<b不成立。否則>0,>0，s.t. -+。不妨設(shè)=-, 則 。由B的構(gòu)造知有E的有限子覆蓋，則構(gòu)成了上的一個(gè)有限覆蓋，這與矛盾。故，則構(gòu)成的一個(gè)有限子覆蓋。因此命題成立。 此處證明使用了反證法。細(xì)細(xì)分析證明Borel定理或用Borel定理證明的處理思路，都用上了反證法。原因是其

4、余六條基本性質(zhì)均是局部性質(zhì)，而Borel定理描述的是整體性質(zhì)（均對(duì)閉區(qū)間而言）。由局部推整體困難，但由被否定的整體推被否定局部則相對(duì)簡單；由整體推局部殊不簡單，但由被否定的局部推被否定的整體則不那么困難。因此，認(rèn)為Borel定理是其余六條基本性質(zhì)的逆否形式是合理的。 致密性定理和Cauchy收斂準(zhǔn)則 下證致密性定理。設(shè)序列有界，則。設(shè)中只含的有限項(xiàng)或不含的任意項(xiàng)。由于中不含的任意項(xiàng)，故B非空。設(shè)，則中總含的無窮項(xiàng)。對(duì)，任意取定，使序列滿足。于是是的子列，又，當(dāng)時(shí)，總有，于是，故是的收斂子列。 Cauchy收斂準(zhǔn)則的證明與此相仿，不再贅述。 由致密性定理的證明過程可知，有界數(shù)列的收斂點(diǎn)所組成的數(shù)

5、集的上下確界是可以取得的，即收斂點(diǎn)所組成的數(shù)集有最大值和最小值。而這由區(qū)間套定理去證明是難以看出的（當(dāng)然看出后去證明亦是不難的）。由此可見，用不同方法處理同一問題，相當(dāng)于從不同側(cè)面、不同角度去認(rèn)識(shí)客體，其意義不可小覷。而結(jié)合Cauchy收斂準(zhǔn)則，收斂點(diǎn)所組成的數(shù)集的最大值與最小值相等，由此可見致密性定理與Cauchy收斂準(zhǔn)則的聯(lián)系。 (ii) “套” 所謂“套”，即是運(yùn)用區(qū)間套的思路，套出一個(gè)特殊點(diǎn)。區(qū)間套的構(gòu)造總是相同的，但如何引出這個(gè)特殊點(diǎn)，卻有一點(diǎn)小技巧。事實(shí)上，不僅區(qū)間套定理，我們可以發(fā)現(xiàn)用確界定理、單調(diào)有界定理、致密性定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則的過程中均可通過構(gòu)造區(qū)間套來處理問題。由

6、于平時(shí)課本上運(yùn)用得比較多，此處不再贅述。 (iii) “蓋” 所謂“蓋”，是指運(yùn)用Borel有限覆蓋定理。如I.所述，證明須結(jié)合反證法。 實(shí)數(shù)基本定理 設(shè)是的一個(gè)分劃，下用反證法證明，有，即假設(shè)A無最大值，B無最小值。 任取，得閉區(qū)間。由假設(shè)，或者，或者，二者有且只有一個(gè)成立。若是前者，必有；若是后者，則必有 。于是開區(qū)間，且中有且只有一個(gè)成立。則構(gòu)成的一個(gè)覆蓋，則有的有限子覆蓋。不妨設(shè)且沒有一個(gè)開區(qū)間包含另外某個(gè)開區(qū)間。則，否則不妨設(shè)，則不在的任一個(gè)開區(qū)間中，這與覆蓋矛盾。于是不妨設(shè)，則由知，從而，從而，從而，如此繼續(xù)下去，經(jīng)過有限次可得，于是，于是，這與矛盾。于是，有。唯一性易證。 確界定

7、理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理 顯然均可用的方法處理。仔細(xì)分析中待證定理的條件，不難發(fā)現(xiàn)它們都有一個(gè)良好的易于應(yīng)用Borel定理的條件：所證特殊點(diǎn)賴以形成的數(shù)集涇渭分明地分居特殊點(diǎn)兩側(cè)（或一側(cè)有，一側(cè)無）?？紤]課本用Borel定理證明區(qū)間套定理的思路，可發(fā)現(xiàn)亦可作為處理所述性質(zhì)的統(tǒng)一方法。下證實(shí)數(shù)基本定理作為例子，亦是結(jié)合反證法。 任取，得閉區(qū)間。，有開區(qū)間 ，于是 這時(shí) 構(gòu)成了的一個(gè)覆蓋。由有限覆蓋定理， 不妨假設(shè)，這就推出了是空集，而這是不可能的。故，有。唯一性易證。 分析此證明思路，不妨設(shè)，則如上構(gòu)造的不可覆蓋。從這個(gè)角度可更清晰的看出Borel定理是所述性質(zhì)的逆否形式：若待證特殊點(diǎn)不存在

8、，如上構(gòu)造的可覆蓋比區(qū)間，但此時(shí)Borel定理不成立。 致密性定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則 兩個(gè)定理均是基于收斂點(diǎn)的存在而得證。此時(shí)收斂點(diǎn)具有這樣一個(gè)有趣的性質(zhì)：在該點(diǎn)的任意小鄰域內(nèi)均有數(shù)列的無窮項(xiàng)。反之，非收斂點(diǎn)則有相反的性質(zhì)：該點(diǎn)有一個(gè)鄰域，其中只有數(shù)列的有窮項(xiàng)（或不含數(shù)列的任意項(xiàng)）。利用后一性質(zhì)可輕易用Borel定理反證。此處從略。 比較與，可發(fā)現(xiàn)不具有所通有的性質(zhì)，即中待證特殊點(diǎn)所賴以形成的數(shù)集并不涇渭分明的分居特殊點(diǎn)兩側(cè)，因此難以仿照構(gòu)造覆蓋。 由(i)(ii)(iii)，我們可以有把握地宣稱已掌握了任意兩個(gè)基本性質(zhì)的互相推證。然而，程式化、模式化的工作雖然重要，但從它完成那一刻起，它

9、就不再有趣，難以如以往般激動(dòng)人心。這就譬如工整的大道，雖然四通八達(dá)且方便行駛，但路邊風(fēng)景終不如那待開發(fā)的崎嶇小路。甚或還不是路的路。下面提供幾個(gè)跳出模式的證明。 II.跳出模式的證明(i) 證Borel定理設(shè)是的一個(gè)覆蓋，定義函數(shù)設(shè)。若，則。顯然形如的區(qū)間中只需要有限個(gè)即可覆蓋，從而中僅用有限個(gè)開區(qū)間即可覆蓋。下用反證法證明不可能。設(shè)，則。令；令；令；如此繼續(xù)下去，得序列滿足。由致密性定理，有收斂子列滿足。由知，當(dāng)充分大時(shí)，有 及 同時(shí)成立。這時(shí) 故 ，這與矛盾。故總有。(ii)用單調(diào)有界定理證致密性定理和Cauchy收斂準(zhǔn)則只需證有單調(diào)子列即可。若有遞增子列，則命題成立。否則，中無遞增子列，

10、則；同樣，由于在序列中沒有遞增子列，于是；如此繼續(xù)下去，得遞減子列，此時(shí)命題成立。(iii)用單調(diào)有界定理證確界定理只證上確界情形。若數(shù)集有最大值，命題成立。否則，任取，按以下步驟確定：若，則令；否則，若，則令； 否則，若，則令； 按以上規(guī)則必可經(jīng)過有限步確定，否則為的最大值。確定后，經(jīng)過類似的規(guī)則可在有限步后確定：若，則令；否則，若，則令； 否則，若，則令； 如此繼續(xù)下去，可得單調(diào)遞增子列，由有上界知有上界，故收斂，記，下證。實(shí)際上，只需證明是的一個(gè)上界即可，下用反證法證之。設(shè)。記，則，亦即且。但又，從而由的構(gòu)造知，矛盾。故是的一個(gè)上界，從而易知。用此法實(shí)際上可證實(shí)數(shù)基本定理。注意區(qū)間套定理

11、可直接有單調(diào)有界定理得到，考慮(ii)，可知用單調(diào)有界定理可推出除Borel定理外的其余性質(zhì)，而且是頗具自身特色的證明，亦即不需借用諸如“區(qū)間套”的另外一套概念?？疾?ii)(iii)，發(fā)現(xiàn)二者相同之處均在于構(gòu)造數(shù)列，而相異之處在于：前者條件本身即含有數(shù)列，而后者只給出數(shù)集，因而后者之構(gòu)造較前者費(fèi)力。讀者諸君可能會(huì)發(fā)一疑問：既然用單調(diào)有界定理幾乎可全部證明余下性質(zhì)，為何不將其列入模式之一？此有兩個(gè)原因：一，筆者認(rèn)為“幾乎可全部證明”并不等于“可全部證明”，而“可全部證明”是筆者總結(jié)模式的要求之一；二，模式中的思路有很強(qiáng)的幾何直觀，而且同一模式中思路統(tǒng)一，但單調(diào)有界定理的似乎不夠直觀，而且(ii)(iii)思路之異給人感覺似乎強(qiáng)于思路之同。自揣有此二因，故不列入“模式”部分。另外，容易發(fā)現(xiàn)致密性定理、Cauchy收斂準(zhǔn)則亦可用此思路處理除Borel定理外的余下性質(zhì)。這樣，除區(qū)間套外，我們非常熟悉的數(shù)列在實(shí)數(shù)基本性質(zhì)之互證中有了一席之地。前面不說可用此推證Borel定理，非不能也，實(shí)不為也。因?yàn)樗鶚?gòu)想之種種方法，皆以確界定理思路作基本，毫無自身特色可言。本文提供了筆者總結(jié)的三種模式（或許應(yīng)為四種）及一些比較靈活的證明，并述及筆者學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)系基本性質(zhì)的一些心得體會(huì)。偏見淺陋不可避免，望讀者諸君指正。參考書目：<i> 數(shù)學(xué)分析簡明教程，鄧東皋、尹小玲編著，高等教育出版社，