第10章03極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算(1)

1、第3節(jié) 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算在有些情形下，用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分比較簡(jiǎn)便3.1 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分設(shè)區(qū)域用極坐標(biāo)表示為（看黑板圖）（參見圖3.2，其中稱為小邊界，稱為大邊界。）要計(jì)算用下面特殊分割和特殊取點(diǎn)計(jì)算上面二重積分。用一些射線常數(shù)、一些圓弧常數(shù)分割。設(shè)第小塊的極角、極角增量、極徑、極徑增量為，則。取點(diǎn)。則我們發(fā)現(xiàn)右邊極限正好是用極坐標(biāo)計(jì)算的積分。因此這就是用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分的公式。（剛好夾在射線之間；小邊界和大邊界的找法：，射線截得截線。）注意：用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分時(shí)，總是先對(duì)后對(duì)積分；用坐標(biāo)關(guān)系，代入，并且面積元素多一個(gè)因子，即 (2)若區(qū)域的小邊界收歸極點(diǎn)（圖3.3），則

2、可表示為：，則有；(3)若極點(diǎn)包含在區(qū)域的內(nèi)部（圖3.4），可表示為：，故有圖3.3圖3.2圖3.4有時(shí)或是邊界的切線（看黑板圖）?！纠?.1】 計(jì)算，其中分別為()(1) ；(2) ；(3) 解(1) ：為圓心在原點(diǎn)，半徑為的上半圓域（圖3.5）其在極坐標(biāo)系下表示為：，故(2) ：為圓心在原點(diǎn)，半徑為的右半圓域（圖3.6）其在極坐標(biāo)系下可表示為：， 故圖3.5圖3.7圖3.6(3) ：為圓心在點(diǎn)處，半徑為的圓的上半圓域（圖3.7）極坐標(biāo)系下可表示為，故，【例3.2】 求，其中是由，所圍的位于第一象限部分的閉區(qū)域解邊界曲線在極坐標(biāo)系下的方程為：，圖3.8求邊界曲線的交點(diǎn)由，得，所以區(qū)域的大有兩

3、個(gè)不一樣的表示式，必須用射線將區(qū)域分成兩塊（圖3.8）;方法總結(jié)：當(dāng)邊界的表示式不一致時(shí)，作適當(dāng)分割?！纠?.3】 計(jì)算，其中解函數(shù)在直角坐標(biāo)系下無法直接積分利用極坐標(biāo)系，有，故圖3.9現(xiàn)利用上述結(jié)論來求得積分：設(shè)，則有（圖3.9），因，由積分的不等式性質(zhì)，有，由上例可知，故有，又因?yàn)?，所以，即稱為Euler-Poisson積分，其值為，這一結(jié)論在概率論等課程中有著重要的應(yīng)用注意：積不出來。方法總結(jié)：當(dāng)積分區(qū)域的邊界有圓弧，或被積函數(shù)有時(shí)，用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分特別簡(jiǎn)單。（測(cè)）【例3.4】 設(shè)平面上兩定點(diǎn)間的距離為，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之積為，稱動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙紐線求雙紐線所圍圖形的面積解建立直角坐

4、標(biāo)系設(shè)兩定點(diǎn)的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有，圖3.10，由題意得，即，整理方程得，令，故曲線方程為：由曲線方程知，雙紐線關(guān)于,軸是對(duì)稱的，故的面積是的面積的4倍這里利用對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化計(jì)算。當(dāng)積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)關(guān)于自變量的奇偶性相配合時(shí)，關(guān)于二重積分的計(jì)算，容易得到如下結(jié)論：(1) 若被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，則有；(2) 若被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，則有，其中為位于軸的右側(cè)的半?yún)^(qū)域(3) 若被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，則有；(4) 若被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，則有，其中為位于軸的上側(cè)的半?yún)^(qū)域(5) 若積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱，則有，我

5、們也稱這種對(duì)稱性為輪換對(duì)稱性【例3.5】 計(jì)算,其中解因積分區(qū)域是圓域，關(guān)于軸、軸對(duì)稱，故有，此處利用了上面性質(zhì)(1),(3).從而有.又因關(guān)于直線對(duì)稱，由上面性質(zhì)(5)，有，從而.思考題：1若，則有(1)；(2)；上面兩式是否成立？（1）錯(cuò)，（2）對(duì)。）2設(shè)，則是否正確？（錯(cuò)！因?yàn)榉e分過程中，積分變量在整個(gè)積分區(qū)域上變化，而不只是在的邊界上。）3.2* 二重積分的換元法上面我們介紹了利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分，當(dāng)積分區(qū)域或被積函數(shù)具有某種特點(diǎn)時(shí)，利用極坐標(biāo)變換可使二重積分的計(jì)算簡(jiǎn)化但極坐標(biāo)變換只是一種特殊的坐標(biāo)變換，有時(shí)我們還可以通過一般的坐標(biāo)變換簡(jiǎn)化積分的計(jì)算.下面我們介紹一般的坐標(biāo)變換下二

6、重積分的計(jì)算公式定理3.1 設(shè)函數(shù)在平面上的有界閉區(qū)域上連續(xù)，變換,， (3.2)將面上的平面區(qū)域一一對(duì)應(yīng)地映射為平面的區(qū)域，函數(shù)，在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，時(shí)，則有二重積分的換元公式 (3.3)此公式的證明較為復(fù)雜，僅做一般的說明在上述變換下，面上的點(diǎn)可用兩曲線的交點(diǎn)來表示，即，(3.4)稱其為點(diǎn)的曲線坐標(biāo)曲線族，稱為此曲線坐標(biāo)的坐標(biāo)線，變換(3.2)稱為曲線坐標(biāo)變換用曲線坐標(biāo)的坐標(biāo)線來劃分面上的積分區(qū)域，如圖3.11，3.12所示，設(shè)的四個(gè)頂點(diǎn)的曲線坐標(biāo)分別為，對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)分別為，當(dāng)劃分足夠小時(shí)，的面積可近似看作是由與為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積圖3.11圖3.12由變換(3.2)知，利

7、用一元函數(shù)的微分，可得，同理可得，由此得的面積元素，故得由于雅可比行列式相當(dāng)于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，讀者自然可以將上述二重積分的換元公式與定積分的換元公式進(jìn)行比較若令，則即有，正是極坐標(biāo)系下的面積元素【例3.6】 證明：證令，則，設(shè)，則，故【例3.7】 求曲線，與所圍的區(qū)域的面積解，但在直角坐標(biāo)系下計(jì)算顯然很復(fù)雜，作變換：令，則邊界曲線轉(zhuǎn)化為：，而由得，即，故所求的面積為平面上由及所圍的區(qū)域的面積因由變換可得，故，得3.3* 廣義二重積分在這里我們僅考慮無界區(qū)域上的有界函數(shù)的廣義二重積分設(shè)是中的一個(gè)無界區(qū)域函數(shù)在上各點(diǎn)有定義用任意一條光滑曲線在中分割出一有界區(qū)域設(shè)二重積分存在當(dāng)曲線在中連續(xù)變動(dòng)時(shí)，所

8、劃出的區(qū)域無限擴(kuò)展而趨近于時(shí)，如果不論曲線的形狀如何，也不論擴(kuò)展的過程怎樣，恒趨近于定值，即， (3.5)則稱是函數(shù)在無界區(qū)域上的廣義二重積分，記為：此時(shí)，也稱在上的積分收斂，或在上廣義可積否則，稱積分發(fā)散為了能計(jì)算某些簡(jiǎn)單而有用的廣義二重積分，我們介紹幾個(gè)有關(guān)的結(jié)論（略去證明）：(1) 設(shè)非負(fù)函數(shù)在區(qū)域上有定義，若二次積分存在，則存在，且有公式 (3.6)(2) 如果非負(fù)函數(shù)在區(qū)域上有定義，且對(duì)任何，在上的二重積分都存在，存在，且有公式： (3.7)【例3.8】 求解因，故關(guān)于廣義二重積分的收斂性，有如下判別法：定理3.2設(shè)在無界區(qū)域上連續(xù)，若存在，當(dāng)，且時(shí)，有，其中與都為常數(shù)，則當(dāng)時(shí)，廣義

9、二重積分收斂【例3.9】 證明：無界區(qū)域上的二重積分收斂，并求其值，其中是全平面證作坐標(biāo)變換，因?qū)θ我獾?，均有，從而存在，?dāng)時(shí)，有，由上面的判別法知，收斂取曲線為：，則有由上面的結(jié)果，我們還可推出一個(gè)有用的結(jié)論：這個(gè)廣義二重積分稱為概率積分，它在概率論中占有很重要的地位若選擇曲線為的邊界，則有從而習(xí)題10A類1化下列積分為極坐標(biāo)下的二次積分：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) ；(6) 解 （5）（畫圖見黑板。）2利用極坐標(biāo)計(jì)算下列各題：(1) ，其中；(2) ，；(3) ，；(4) ，；(5) ，解 （4）（畫圖見黑板。）3求下列曲線所圍平面圖形的面積：(1) ；(2) ；*(3) ；(4) 4求下列曲面所圍成的立體的體積：(1) 及；*(2) ，及；(3) 及；(4) 及；*(5) 及B類*1作適當(dāng)?shù)淖儞Q，計(jì)算下列二重積分：(1) ，；(2) ，其中由直線，圍成(3) ，；(4) ，；(5) ，其中由曲線，圍成(6) ，其中由曲線，圍成(3) ，；解（3）。根據(jù)對(duì)稱性，其中。根據(jù)輪換對(duì)稱性，方法總結(jié)：二重積分