2019屆江蘇省南通市高三模擬練習(xí)卷(四模)數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、的值.第 1 頁(yè)共 22 頁(yè)2019屆江蘇省南通市高三模擬練習(xí)卷(四模)數(shù)學(xué)試題一、填空題1 1 .已知集合A = xx蘭2，B =x x 0，則A| 8 =_ .【答案】x_1vxc0【解析】由集合交集的定義運(yùn)算即可【詳解】已知集合A = x,B =x x 0，貝 y AB=x1cxv0故答案為：x1cx10= 30.故答案為：30.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，解題的關(guān)鍵是理解直方圖中各個(gè)小矩形的面積的意義及各個(gè) 小矩形的面積和為 1,屬于基礎(chǔ)題.2 25 5 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線 % -吿=1（a 0，b0）的兩條漸近線的a b方程為y=2x，則該雙曲線的離心率為 _

2、.【答案】第3頁(yè)共 22 頁(yè)【解析】由雙曲線的兩條漸近線方程是 y = 2x，得 b = 2a,從而 c = .a2 b2= 5a， 即可求出雙曲線的離心率.【詳解】2 2雙曲線 篤一爲(wèi)a 0,b0）的兩條漸近線方程是 y=2x,a bb_ c,2，即b=2a，c =“；a2b2= . 5a，二e 5.aa故答案為：,5 .【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6 6現(xiàn)有 3 3 個(gè)奇數(shù)，2 2 個(gè)偶數(shù)若從中隨機(jī)抽取 2 2 個(gè)數(shù)相加，則和是偶數(shù)的概率為 _.2【答案】-5【解析】 從中隨機(jī)抽取 2 個(gè)數(shù)相加，基本事件總數(shù)n = Cf =10，和是偶

3、數(shù)包含的基本 事件的個(gè)數(shù) m =C3C2=4，由此能求出和是偶數(shù)的概率.【詳解】2現(xiàn)有 3 個(gè)奇數(shù)，2 個(gè)偶數(shù).從中隨機(jī)抽取 2 個(gè)數(shù)相加，基本事件總數(shù)n二C；=10， 和是偶數(shù)包含的基本事件的個(gè)數(shù)m = C3C =4，則和是偶數(shù)的概率為m 42P =n 1052故答案為：-.5【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型計(jì)算公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7 7.已知圓錐的軸截面是直角邊長(zhǎng)為2 2 的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為 _.【答案】2&n【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為 r，依題意，2r =2、2，即r=、一2，所以該圓錐的側(cè)面 積為rl=2 2

4、-.【詳解】第4頁(yè)共 22 頁(yè)依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為 r，已知圓錐的軸截面是直角邊長(zhǎng)為2 的等腰直角三角形，如圖所示，所以2r=2222= 22，即 2，又因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為1=2，所以該圓錐的側(cè)面積為 川=2、.2二.故答案為：2 2.【點(diǎn)睛】 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，圓錐的側(cè)面積屬于基礎(chǔ)題.118 8 .給出下列三個(gè)函數(shù)： y:y =sinx:y=ex，則直線y x b（b R）x2不能作為函數(shù)_的圖象的切線（填寫(xiě)所有符合條件的函數(shù)的序號(hào)）【答案】【解析】分別求得三個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解方程可得不滿(mǎn)足題意的函數(shù).【詳解】d1直線y x b的斜率為 k =221ii1i對(duì)于

5、y,求導(dǎo)得：y2,對(duì)于任意x- = 無(wú)解，所以，直線y x bxxx22不能作為切線；1對(duì)于y =sin x，求導(dǎo)得：y=cos浪=了有解，可得滿(mǎn)足題意；對(duì)于y=ex，求導(dǎo)得：y= ex=刁有解，可得滿(mǎn)足題意； 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及方程思想、運(yùn)算能力，屬于中檔題.9 9如圖，在平面四邊形ABCD中，CBA = /CAD=90,ACD =30,AB = BC, 點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)若+ azR），則人卩的值為_(kāi).第5頁(yè)共 22 頁(yè)A B【答案】4衛(wèi)9【解析】以 A 為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) AB = BC = 2 后，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，用向

6、量的坐標(biāo)運(yùn)算可得.【詳解】以 A 為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB = BC = 2,則有 A ( 0,0), B (2,0), C (2,2), E (2,1), AC =2 近,AD = 2J2 Xan30 =?晶，過(guò)D作 DF 丄 x 軸于 F, / DAF =180 90 -45= 453262遷，所以 D (一心,至),33326，一-DF =n45 =332AC=( 2,2),AD=(_麵3,土),忑=(2,1),因?yàn)門(mén)C-TD眾3所以，(2,2)= (一 ,乙3) + (2,1),332亦 口-九+ 2 2所以，?，解得：.3Z_ 3扎卩的值為蘭349卩=-3故答

7、案為：4衛(wèi)第6頁(yè)共 22 頁(yè)本題考查了平面向量的基本運(yùn)算，建系用坐標(biāo)表示是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.1010 .已知實(shí)數(shù)x, y滿(mǎn)足(x + y 2)(x2y+3)蘭 0，貝V # + y2的最小值為 _9【答案】95【解析】畫(huà)出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】x y-2 _ 0丄x y-2豈0由(x y2)(x _2y3) _0,得：或，不等式組表示、x-2y+3X0、x-2y+3蘭0的平面區(qū)域如圖所示；2 22 2X= x-0y-0，表示平面區(qū)域內(nèi)取一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方， 即原點(diǎn)到x+y2=0的距離為d0+二2=72，原點(diǎn)到X2y+3 = 0的距離為:42【點(diǎn)睛】

8、本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3(311111已知 f (x)是定義在R上且周期為-的周期函數(shù)，當(dāng)X，0,時(shí)，2I 2f(x)=12X1.若函數(shù)y=f(X)TogaX( (ar1) )在(0,耘)上恰有4個(gè)互不相同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值_.【答案】所以,027+33352 2x y 的最小值為9故答案為：9第7頁(yè)共 22 頁(yè)【解析】根據(jù)題意得y = f (x)與y =lOQ x有 4 個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù) y= f (x)與 y= logax(a 1 )在(0, +s)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可得答案.【詳解】3且 f(x)是定

9、義在R上且周期為蘭的周期函數(shù)，2丫函數(shù) y =f(x)-logax(a 1)在(o，:：)上恰有 4 個(gè)互不相同的零點(diǎn),-函數(shù)y = f (x)與y = loax(a 1)在(0，:)上恰有 4 個(gè)不同的交點(diǎn),11212 .已知正項(xiàng)等比數(shù)列 N;的前n項(xiàng)和為Sn.若= S32S6，則S6取得最小S3值時(shí)，S9的值為_(kāi) .【答案】3936【解析】因?yàn)镾9=5十2?6，所以q巳所以a1(1q)=9)+2a1(1q)，即1-q1-q1-q當(dāng)X.0,3時(shí)得f (x) =1 2x12x , 022x,1:x :2分別畫(huà)出兩函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)故答案為：72x=-時(shí)，有2log = 1,所以 a

10、 = -a2第8頁(yè)共 22 頁(yè)633小13aiq -1(q6_1)(q3一2) =0,得q3=2化簡(jiǎn)得SJ-，由基本不等式得其最S3q -a-小值，即可得到S9【詳解】由W2Q，得：q巳所以宜皿=牡唱+2牡亡,1 -q1 -q1 -q化簡(jiǎn)得：1 _q9=1 q32(1 q6)，即q9- 2q6q32 =0，即卩(q6一1)(q3一2) = 0， 得q=2,化簡(jiǎn)得&丄=印(176)彳=邑止_2、.3,S31_q&1(1 q)q1 a199a1(1-q) _q-1迸(q - = A/31 -q .3 q-13故答案為:7.33【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式的

11、靈活運(yùn)用，基本不等式求最小值的條件，屬于中檔題.1313 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A X1,y1,B臨百為圓x y=1上兩點(diǎn),1r T且x 丫1丫2.若C為圓上的任意一點(diǎn)，貝U CACB的最大值為 _3【答案】32【解析】因?yàn)镃為圓x2+y2=1上一點(diǎn)，設(shè)C(sin,0cos ),則利用坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)镃為圓 x2+y2= 1 上一點(diǎn)，設(shè)C(sin0cos0,則% -COST,CB二x2-sin, y2-cos,22 A x1, yi,B X2, y2為圓x y = 1上兩點(diǎn)，二x2y；=1, x；y；=1,又x,X2y“2二 ,當(dāng)胡_qq -1a1即 a -1時(shí),Sr丄取得最

12、小值,S3CA二咅-sin.第9頁(yè)共 22 頁(yè)2第10頁(yè)共 22 頁(yè)CACB=滅必2+%y2(XI+x2)si(yi+y2)cos& +sin20 + cos202 .XiX2 yiy2彳sinj1 Xy-iX2y22X1X22%y2si n( vJ2=丄-sin(日+)其中tan電,2，八X-I X2 sin(二:) - 1,1,3故答案為：-2【點(diǎn)睛】1414 在.ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)，S為-ABC的面積若不等式kS乞3b2 3c2- a2恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為【答案】4. 31【解析】在匚ABC中，面積公式Sbcsi nA，余弦定理b2 c2a2=

13、 2bccos A,2代入kS乞3b2 3c2- a2化簡(jiǎn)得k一4b一4c4bc cos A，由基本不等式得當(dāng)sin(r:)= 1 時(shí)，CACB的最大值為本題考查了平利用坐標(biāo)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵， 屬于中檔題.4b2 4c2 4bccosLcosA ；bcsin Asin A令廠口吐，得ysinA-4cosA=8,sin A由輔助角公式得,y廠16sin(A - J=8，進(jìn)而得sin(A J二出y即可得答案【詳在ABC中，面積公式12 2 2Sbcsi nA，余弦定理b c -a =2bccosA，代入2kS乞3b23c2- a2，12有k bcsin A匚2b222c 2bccos A，即k -

14、4b2化2WsA恒成立,bcsin A求出4b24c24bccosA的最小值即可，而bcsin A第11頁(yè)共 22 頁(yè)bcsin A3第12頁(yè)共 22 頁(yè)2 24b 4c 4bccosA 8bc 4bccosA 8 4cos A-3 - =-bcsin Abcsin Asin Ay4即，y 16（,si nA cos A） =8，令Jy2+16Jy2+16解得：2 2y _=4 3，即4b 4c 4bccosA的最小值為4 3，所以，k乞4 3 bcsin A故答案為：4、3【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式，余弦定理，以及基本不等式求最小值，輔助角公式的化簡(jiǎn)，也考查了計(jì)算能力，屬于中檔題二、

15、解答題1515已知函數(shù)f(x)=sin(x)( -o, |；：)的圖象關(guān)于直線x二丄對(duì)稱(chēng)，兩個(gè)26相鄰的最高點(diǎn)之間的距離為2n(1) 求 f(x)的解析式；3(2) 在ABC中，若f (A)，求sin A的值.5【答案】(1)f x二sin xn; (2)43一3.I 3丿10【解析】(1)由題意可求正弦函數(shù)的周期，利用周期公式可求3,由圖象關(guān)于直線當(dāng)且僅當(dāng)b=c取等號(hào)令y Ssin A，得:ysin A = 8 4cos A，即y sin A4cos A = 8得:.y216s in （A -：）=8，8.y216，所以8.y216乞1，兩邊平方，得:64 _ y216,對(duì)稱(chēng)，可求JIJI_

16、+半= =+ +k k 兀，結(jié)合范圍半62n，可求：，即可求得函數(shù)解析式.2冗x二6第13頁(yè)共 22 頁(yè)-3-由已知可求sin A-3：0，結(jié)合范圍Aq函數(shù)基本關(guān)系式可求cos (A+ ),根據(jù)兩角差的正弦函數(shù)公式可求3【詳解】n(1)T函數(shù)f(x)=si n(x；：)(30,2)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為2n2函數(shù)的周期 T= 2n,二- =2n,解得w=1,二 f (x) = sin (x+),n又函數(shù) f (x)的圖象關(guān)于直線X對(duì)稱(chēng)，k二，k Z,6 6 2 ：n ：= 一 , - f (x) = sin (x+ ).2333. f兀)3(2) 在 ABC 中，Tf (A), A (

17、0,n, sin A0,5V 3丿5A=二，生” cos A =l-sif A上3.335sin A =sin |(A + )_i=sin| A+ cos_cos(A+)sin 33V 3)333_ 3 1 _ 43 43-3_ _5 2 _ _52 _ 10【點(diǎn)睛】 本題主要考查由y =Asinx 的部分圖象確定其解析式，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.1616如圖，在直三棱柱ABC-ABG中，AB_AC,AC=AA,D是棱AB的中點(diǎn).(1(1)求證：BC丄平面ACD;(2(2)求證：BG AC【答案】見(jiàn)詳解；(2)見(jiàn)詳解.),利用同角三角si nA

18、的值.第14頁(yè)共 22 頁(yè)【解析】(1)連接 AC1,設(shè) AC1QA1C = O,連接 OD，可求 O 為 AC1的中點(diǎn)，D 是棱AB 的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)可證 OD / BC1,根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明BC1/平面 A1CD (2)由(1)可證平行四邊形 ACC1A1是菱形，由其性質(zhì)可得 ACA1C，禾 ij 用線面垂 直的性質(zhì)可證 AB 丄 AAi，根據(jù)AB 丄 AC ,禾 U 用線面垂直的判定定理可證AB 丄平面ACCiAi，禾 U 用線面垂直的性質(zhì)可證 AB 丄 AiC，又 ACAiC，根據(jù)線面垂直的判定定 理可證AiC 丄平面 ABCi，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明BCi丄

19、AiC.【詳解】(1) 連接 ACi,設(shè) ACiAAiC= O,連接 0D,在直三棱柱 ABC - AiBiCi中，側(cè)面 ACCiAi是平行四邊形，所以：0 為 ACi的中點(diǎn)，又因?yàn)椋篋 是棱 AB 的中點(diǎn)，所以：0D / BCi,又因?yàn)椋築Ci?平面 AiCD , 0D?平面 AiCD，所以：BCi/平面 AiCD .(2) 由(i)可知：側(cè)面 ACCiAi是平行四邊形，因?yàn)椋?AC = AAi,所以：平行四邊形ACCiAi是菱形，所以：ACi丄 AiC，在直三棱柱 ABC - AiBiCi中，AAi丄平面 ABC，因?yàn)椋篈B ?平面ABC，所以：AB 丄 AAi,又因?yàn)椋篈B 丄 AC ,

20、 ACH AAi= A , AC?平面 ACCiAi, AAi?平面 ACCiAi,所以：AB 丄平面 ACCiAi,因?yàn)椋篈iC?平面 ACCiAi，所以：AB 丄 AiC,又因?yàn)椋篈Ci丄 AiC, ABHACi= A , AB?平面 ABCi, ACi?平面 ABCi，所以：AiC 丄 平面 ABCi,因?yàn)椋築Ci?平面 ABCi，所以：BCi丄 AiC.【點(diǎn)睛】第 i2 頁(yè)共 22 頁(yè)本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題.1717.如圖，在寬為i4 m的路邊安裝路燈，燈柱0A高為8m,燈桿PA是半徑為r m的 圓C的

21、一段劣弧路燈采用錐形燈罩，燈罩頂P到路面的距離為i0m，到燈柱所在直2第16頁(yè)共 22 頁(yè)線的距離為2m設(shè)Q為燈罩軸線與路面的交點(diǎn)，圓心C在線段PQ上.(1)(1) 當(dāng)r為何值時(shí)，點(diǎn)Q恰好在路面中線上?(2)(2) 記圓心C在路面上的射影為 H H，且 H H 在線段 0Q 上，求 HQ 的最大值.【答案】當(dāng)r為2、5時(shí)，點(diǎn)Q在路面中線上；(2)12-4.5.【解析】(1 )以 0 為原點(diǎn)，以0A所在直線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出PQ 的方程，設(shè) C (a, b),根據(jù) CA = CP= r 列方程組可得出 a, b 的值，從而求出 r 的值；(2)用 a 表示出直線 PQ 的斜率，得

22、出 PQ 的方程，求出 Q 的坐標(biāo)，從而可得出|HQ| 關(guān)于 a 的函數(shù)，根據(jù) a 的范圍和基本不等式得出|HQ|的最大值.【詳解】(1)以 0 為原點(diǎn)，以 0A 所在直線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則 A (0, 8) , P (2,10), Q (7, 0),; 2 2 2直線 PQ 的方程為 2x+y 14= 0.設(shè) C ( a, b),則卍一2)(?一10),g2+(b-8)2= r2兩式相減得：a+b 10= 0，又 2a+b 14= 0，解得 a= 4, b= 6,=42 (6 -8)2= 2 5二當(dāng)r =2,5時(shí)，點(diǎn) Q 恰好在路面中線上.(2)由(1)知 a+b 10= 0,

23、當(dāng) a= 2 時(shí)，燈罩軸線所在直線方程為 x = 2,此時(shí) HQ = 0.當(dāng) a 工 2 時(shí)，燈罩軸線所在方程為： y- 10=(x-2),a-22020令 y = 0 可得 X = 12，即 Q ( 12, 0),aa20 H 在線段 0Q 上, 12- a 解得 2 aw.10a2020 _ |HQ|= 12 a= 12(+a) b b0)0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0(0, _、3) ),a b點(diǎn) F F 是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn) F F 到左頂點(diǎn)的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等.過(guò)點(diǎn) F F 的直線|交橢圓于 M M , N N 兩點(diǎn).(1) 求橢圓 C C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 當(dāng) MFMF = 2FN2FN 時(shí)

24、，求直線|的方程；(3)若直線|上存在點(diǎn) P P 滿(mǎn)足 PM-PM- PNPN = PFPF2 2，且點(diǎn) P P 在橢圓外，證明：點(diǎn) P P 在定直線 上.2 2【答案】(1) =1=1 ； (2) 、5x _2y - 5 = 0; ( 3)見(jiàn)解析.43【解析】(1)由題意，b= . 3，再由點(diǎn) F 到左頂點(diǎn)的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等，得2a+c= -c，結(jié)合隱含條件解得 a= 2, c= 1，則橢圓方程可求；c(2)當(dāng)直線 l 與 x 軸重合時(shí)，求得 MF = 3NF，不合題意；當(dāng)直線 l 與 x 軸不重合時(shí)， 設(shè)直線 l的方程為 x= my+1 , M (X1, y , N (X2, y2

25、),聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化 為關(guān)于 y 的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及 MF = 2FN 求得 m 值，則直線方程可求；5(3) 當(dāng)直線 l 的斜率為 0 時(shí)，設(shè) P (Xo, yo),由 PM?PN = PF2，求得 x0=，當(dāng)直線 l2第18頁(yè)共 22 頁(yè)的斜率不為 0 時(shí)，由(2)中的根與系數(shù)的關(guān)系及 PM?PN= PF2，求得 y -，代入2m55直線方程得Xo，由此可得點(diǎn) P 在定直線X上.22【詳解】(1)設(shè)橢圓的截距為 2c,由題意，b=、3,2由點(diǎn) F 到左頂點(diǎn)的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等，得a+c= L _c ,c又 a2= b2+c2，聯(lián)立解得 a= 2, c= 1.

26、2 2二橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1；43(2)當(dāng)直線 I 與 x 軸重合時(shí)，M (- 2, 0), N (2, 0),此時(shí) MF = 3NF，不合題意;I 的方程為 X = my+1 , M (Xi, yj, N (X2, y?),x = my 1聯(lián)立x2y2，得(3m2+4)1435x _2y f 5 =0；當(dāng)直線 I 與 x 軸不重合時(shí)，設(shè)直線2 2 2y +6my - 9= 0. = 36m +36 ( m +4) 0.6m% WR，y2口聯(lián)立得，yi =代入得,3m2412m_ 6m3m24，% _ 3m24，72m2223m249，由 MF = 2FN，得 y1=- 2y?,93m24，

27、解得m2 5. 直線方程為5(3)當(dāng)直線 I 的斜率為 0 時(shí),則 M (2, 0) , N(2, 0)，設(shè) P (X0, y。),則 PM?PN= | (X0- 2) (X0+2)|, 點(diǎn) P 在橢圓外， X0- 2, X0+2 同號(hào),又PF2=(x-1)2門(mén)25x-2 x 2=：以0-1，解得x = 2當(dāng)直線 l 的斜率不為 0 時(shí)，由(2)知，y1y2PM=丿1 + m2M -y0,PN =j1 + m2|y2-y06m9, y1y2 = _23m 43m 4PF = x/1 + m2|y0.點(diǎn) P 在橢圓外， y1- y, y2- y 同號(hào)，PM?PN=(1+m2) (y1- y) (

28、y2- y)=1口飛畑 -y y，y0+6m3m24 3m24=1m2y2,第19頁(yè)共 22 頁(yè)355整理得yo，代入直線方程得xo. 點(diǎn) P 在定直線x上.2m22【點(diǎn)睛】 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.32*佃.設(shè)函數(shù)f(x)=x ax bx(a(a, b b R)R)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)，已知Xi,x?是f (x)的兩個(gè)不同的零點(diǎn).(4)證明：a23b;(2)當(dāng) b b= 0 0 時(shí)，若對(duì)任意 x x0 0,不等式f(x)_xlnx恒成立，求 a a 的取值范圍；(3) 求關(guān)于 x x 的方程f(x) = f(勺 空)&-捲)f(

29、xj的實(shí)根的個(gè)數(shù).2【答案】見(jiàn)解析；(2)丨-1; ( 3) 1 個(gè).【解析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用 = 4a2- 12b 0，得證；In xIn x(2)分離參數(shù) a,所以 a- x對(duì)任意 x 0 恒成立，令新函數(shù)設(shè) g (x)=- xxx求最值即可，或采用 x3+ax2- Xlnx0寸求左側(cè)最值亦可.(3) 轉(zhuǎn)化函數(shù)求零點(diǎn)個(gè)數(shù)可得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù) f (x)= x3+ax2+bx (a, b R)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x)= 3x2+2ax+b .已知 X1, X2是f( x)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè) X1VX2,所以= 4a2- 12b0,所以：a23b 得證；(2)當(dāng) b= 0 時(shí)，對(duì)

30、任意 x 0, f (x) xlnx 恒成立,32322所以 X +ax Xlnx 即 x +ax - xlnxQx +ax - Inx對(duì)任意 x 0 恒成立,In x所以 a- x 對(duì)任意 x 0 恒成立,x2In x1 -In x 1 -In x -x-X，則g (x)21 =XX21令 h ( x)= 1 1nx x2,貝 y h (x)=- 2xv0,x所以 h (乂)在(0, +8)上單調(diào)遞減，注意到 h (1)= 0,當(dāng) x (0, 1)時(shí)，h (x) 0, g(x) 0,所以 g (乂)在(0, 1)上單調(diào)遞增， 當(dāng) x (1, +8)時(shí)，H (x)v0, g(x)v0，所以 g

31、 (x)在(1, +8)上單調(diào)遞減, 所以，當(dāng) x = 1 時(shí)，g (x)有最大值設(shè) g ( X)第 i20頁(yè)共 22 頁(yè)g (1 )=- 1,所以 a 的取值范圍為-1, +8)；第 i21頁(yè)共 22 頁(yè)(3)由題意設(shè) F( x)= f ( x)f (xi)-f ( X1 %2) x Xj,則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) F (x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)為 f(x)= 3x2+2ax+b，已知 xi, x?是f(x)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),所以：論+x2a丫為+x2f aa2i2=, f21= f=+b，所以：23(2丿(3丿3F(x)=f(x)-f穿=3x22ax |=3 x23x 9 =3(x 3)2

32、7,所以 F (x)在(0, +s)上單調(diào)遞增，注意到 F (xi)= 0,所以 F (x)在(0, +s)上存在唯一零點(diǎn) Xi,【點(diǎn)睛】 本題考查函數(shù)的極值，最值的綜合應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)判斷，構(gòu)造新函數(shù)求最值的特點(diǎn)，屬于難題.2020 .已知在數(shù)列a an中，設(shè) a ai為首項(xiàng)，其前 n n 項(xiàng)和為 S Sn,若對(duì)任意的正整數(shù) m m, n n 都有不等式 S S2m+S+S2n 2S2Sm+n(mn)恒成立，且 2S2S60 0 且 q ql),求 a aiq q 的取值范圍.【答案】(1)1 0d【解析】(1)根據(jù)已知條件，由于數(shù)列是等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，建立不等式，進(jìn)一步求出

33、相應(yīng)的結(jié)果；(2)根據(jù)已知條件，由于數(shù)列是等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，建立不等式，進(jìn)一步求出相應(yīng)的結(jié)果.【詳解】在數(shù)列an中，設(shè) ai為首項(xiàng)，其前 n 項(xiàng)和為 Sn,若對(duì)任意的正整數(shù) m、n 都有不等式 S2m+S2n 2Sm+n(詳n)恒成立，()設(shè)an為等差數(shù)列，且公差為 d ,山c 2m(2mi)2n (2 ni)(m + n)(m + ni)則：2mai+d+2nai+d 2 ( m+n) ai+d,2 2 2整理得：(m-n)2d 0，則 dS3,整理得：9ai+27d 0,則I 3d,所以 d 0,- 0 且 q 工1,q3v1,由于 q 0,所以：0vqv1，則：ai0.即

34、有 aiq 0.【點(diǎn)睛】【詳解】九+1 2,=(入 +1 入2 =(入 +2 (入-1 ), 令 f (入)=0,貝y x=-2 或 U 1 , 矩陣 A 的特征值-2 和 1.【點(diǎn)睛】 本題考查了逆變換與逆矩陣以及矩陣特征值的求法，屬于基礎(chǔ)題.2222 .在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為2COS V - 0，直線|的方程為2m2nm+n則aq印172a11-q1 -q1 -q，整理得1 -qqa1m+n 2m 2n、2q-q-q)v0,則:aiai(qm-qn)2v0,所以一 0,由 2S6 S3,則：2q6- q3- 1v01 q解得:本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等差數(shù)列和等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的應(yīng)用，

35、也考查了運(yùn)算能力,屬于中2121 .已知矩陣2_x 0,B=；7-B的逆矩陣B滿(mǎn)足AB，=7 17. -7一(1(1)求實(shí)數(shù)x, y的值;(2(2)求矩陣A的特征值.【答案】(1)x =1,y=3； (2) _2 和1.【解析】(1)利用A=(AB)B求解即可;(2)矩陣 A 的特征多項(xiàng)式f (，)：1求出行列式，然后令 f (為=0 即可.(1)因?yàn)锳B-7y17,B-75 7 3. A=(AB)4B17 5Hi 7宀一2L；x 0_5y_14即_x7y-21一丄5y -14二x丄x =1,仏-2仁。,y=3(2)矩陣 A 的特征多項(xiàng)式f ( )二12第23頁(yè)共 22 頁(yè)2si n v-戸=

36、 0.I 6丿(1) 若直線l過(guò)圓C的圓心，求實(shí)數(shù)m的值；(2) 若m = 2，求直線I被圓C所截得的弦長(zhǎng).【答案】()m = 1；3【解析】(i)將直線與圓的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程后，利用圓心在直線上列式可得.(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式和勾股定理可得.【詳解】(1)由p+2cos 券0得p+2pcos=0O,得 x?+y2+2x = 0,則圓心為(-1, 0),半徑 r = 1.,7兀+7兀7兀由 2psin(0-) +m = 0 得 2psin0co& - 2pcos0s+ +m = 0,得直線 I 的直角坐標(biāo)66 6方程為 x-、-3y+m = 0,因?yàn)橹本€I過(guò)圓C的圓心，

37、則-1+m = 0，所以 m= 1.(2)若 m = 2,則圓心C到直線的距離d-12-,J1+32【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題.2 2 21 1 12323 已知實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足4x2 9y2 12z2=12證明：二222二-3.x +2y y +3z z【答案】見(jiàn)詳解【解析】 設(shè) a= x2+2y2, b = y2+3z2, c= z2,由題意可得 4a+b+9c= 12,再根據(jù)柯西不等式即可證明.【詳解】設(shè) a= x +2y , b= y +3z , c= z , 4 (a- 2 b+6c) +9 (b - 3c) +12c = 12，即 4

38、a+b+9c = 12,1 11 1 11所以直線I被圓C截得的弦長(zhǎng)為1 _ 12+2x 2y y第24頁(yè)共 22 頁(yè)2 -2 =11 1=丄1b c3z z ab c 12aa b 9c)14 a0a=312第25頁(yè)共 22 頁(yè)故原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的證明， 柯西不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想， 推理論證能力,屬于中檔題2424 .如圖，已知 F F 是拋物線 C C :y=4x的焦點(diǎn)，過(guò) E(E( - I I, 0)0)的直線I與拋物線分別交(1)(1) 設(shè)直線 AFAF , BFBF 的斜率分別為k1,k2，證明：k1k0；(2)(2) 若厶 ABFABF 的面積為

39、 4 4,求直線I的方程.【答案】見(jiàn)解析；x-.2y1=0.【解析】(1)設(shè)直線I的方程為 X = my - 1, A (Xi, yi), B g, y?),聯(lián)立拋物線方程利用韋達(dá)定理可得ki k2二1吐0.X_1 X?_1(2)ABF=EFB-SEFA=|yi-y2|=% y2$ - 4% y2= . 16m2- 16 = 4.m 即可.【詳解】(1)當(dāng)直線I的斜率為 0 時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意.當(dāng)直線I的斜率不為 0 時(shí)，設(shè)直線I的方程為 x= my - 1, A (X1, yj, B (X2, y2),聯(lián)立拋物線方程可得得 y2- 4my+4 = 0,可得 y1+y2= 4m , yy2= 4力.丫2_ 2m%y2-2 y yX1-1 X2-1my1-2 my2(2)SAABF=SAEFB- SEFA=|y1- y2| = 解得m=丘(負(fù)值舍去)解得/. k1k22