2019屆江蘇揚(yáng)州中學(xué)高三下學(xué)期4月質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題文(含解析)

1、12019 屆江蘇揚(yáng)州中學(xué)下學(xué)期 4 月質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題文（含解析）一、填空題1. 已知集合Q=x|2x2 5xw0,xh，且P Q,則滿足條件的集合P的個(gè)數(shù)是 _.2. （2019 海安期中）已知復(fù)數(shù)z滿足z（1 + i） = 4 3i（i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模為2 2x y7.已知點(diǎn)A 1,1）和橢圓 C: - + 3 = 1,M是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C上的右焦點(diǎn)，則MAF2MF勺最小值為 _ .8. （2019 海安期中）如圖，在棱長(zhǎng)為 2 的正方體ABCA1B1CD中，O為底面ABCD勺中心,3.在厶ABC中，角A,B, C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若3cosBasinA則 co

2、sB=24._ 函數(shù)f（x） = excosx在點(diǎn)（0 ,f（0）處的切線方程是 _5._ 已知函數(shù)f（x） =x cosx，則f（x）在0,2n上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 _6.如圖所示給出的是計(jì)算1 + 3+*+ 2019 的值的一個(gè)流程圖，則判斷框內(nèi)可以填入的條352019件是_3則三棱錐O- ABG的體積為_(kāi)若關(guān)于x的方程|f(x) nm = 1( R)恰有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是49.若正數(shù)x,y滿足&+廠 1，則口 +尸的最小值為 -4x7110.已知函數(shù)f(x) =x+一，g(x) = 2 +a,右?xi 2,?X2 2,3，使得f(xi) g(x2),則實(shí)數(shù)a的取

3、值范圍是_2 211.已知雙曲線X2-y2= 1(a0,b0)的一條漸近線被圓(xc)2+y2= 4a2截得弦長(zhǎng)為 2b(其中ca b為雙曲線的半焦距)，則該雙曲線的離心率為 _.12.若不等式x+yW2所表示的區(qū)域?yàn)閤y 0,M不等式組ix+y0,y2x6表示的平面區(qū)域?yàn)?N,現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域13.已知向量a,b,其中 |a| = 2, |b| = 1,且(a+b)丄a,則 |a- 2b| =_14.對(duì)于實(shí)數(shù)a2ab, awb,a*b=2bab, ab,D_Ci4二、解答題15.在厶ABC中，內(nèi)角A B, C的對(duì)邊分別是a,b, c,已知A為銳角，且bsinAcosC+csinAcosB(1)求

4、角A的大?。?設(shè)函數(shù)f(x) = ta nAsinwxcoswx 2cos2wx(w0)，其圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離nn為萬(wàn)，將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移 了個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)g(x) 在區(qū)間n4,T上的值域16.如圖，圓O的半徑為 2，點(diǎn)A B,C, D, E是圓O的六等分點(diǎn)中的五個(gè)點(diǎn).(1) 從A,B, C, D, E中隨機(jī)取三點(diǎn)構(gòu)成三角形，求這三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形的概率;(2) 在圓O上隨機(jī)取一點(diǎn)戸，求厶PAC的面積大于 2 3 的概率.517.(2019 海安期中)如圖，在四棱錐PABCDK底面ABCD是菱形，/ABC=60,PA= AC,P

5、B=PD=2AC E是PD的中點(diǎn)，求證：(1)PB/平面ACE平面PACL平面ABCD18.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為數(shù)列5是公比大于 2a1= 2,a3+b2= 1, S?+ 2b3= 7.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；2 n 為奇數(shù)，設(shè) 6= 2an求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.,n為偶數(shù)，1)0 的等比數(shù)列，且 b =62 2XV孑+詁=1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,- 2)，離心率(1)求橢圓C的方程;(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的任一直線(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P)與橢圓交于兩點(diǎn)A, B,設(shè)與直線I相交于點(diǎn)M記PA PB PM的斜率分別為ki,k2，k3，問(wèn)是否存在常數(shù) 入，使得ki+k2=入k3

6、?若存在,求出入的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20.已知函數(shù)f(x) =xeX-aqx2+x(a R).(1)若a= 0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1 ,f(1)處的切線方程；若？x ( - 2,0) ,f(x)0 時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.19.已知橢圓 C:e=，直線I的方程為x= 4.71.7解析 集合Q=x|2x2 5xw0,x N ,Q=0,1,2，共有 3 個(gè)元素, P Q又集合Q的真子集的個(gè)數(shù)為23- 1 =乙.集合P的個(gè)數(shù)為 7.i3.2=.A,又由正弦定理可得3cosBsinAb _= _-，解得3cosB= sin B,. tanB=3,3cosBsinB/ 0Bn ,n1B

7、=3,cosB=2.4.xy+ 1 = 0解析 函數(shù)f(x) = excosx的導(dǎo)數(shù)為f(x) = ex(cosxsinx),即在點(diǎn)(0 ,f(0)處的切線斜率為k= e0(cos0 sin0) = 1,切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),則在點(diǎn)(0 ,f(0)處的切線方程為y 1 =x 0，即為xy+ 1= 0.5.3解析令f(x) = 0，得)=cosx,合案精析解析所以,4 3i4打Z= 1 + i =2復(fù)數(shù)z的模為、+44=警72i，解析sinAsin B8 f（X）在0,2n上有 3 個(gè)零點(diǎn).6.i 1010解析第 1 次循環(huán)，S= 0+ 1,i= 2;1第 2 次循環(huán)，S= 1 + 3,i= 3

8、;1 1第 3 次循環(huán)，S= 1 + 3 + 5，i=4.1 1 1 1依此類推，第 1010 次循環(huán)，S= 1 + ；+：+,i= 1011,3 52017 2019滿足題意，退出循環(huán)故判斷框內(nèi)可以填入的條件是“iANh4+ 1 = 5,MAF2MF的最小值為 5.484解析連結(jié)AC10因?yàn)閹缀误w是正方體，所以B(XAC B(XCG,又因?yàn)锳S CC=C, AC CC?平面AOC,故BOL平面AiOC,OB是棱錐的高，則三棱錐O- ABC的體積為 蘇蘇2. 2X2X2 =4.9.41 1解析 因?yàn)閤,y為正數(shù)，且-+-= 1,所以x 1,y 1，令x ya0,1 1則由 -+ -= 1，得x

9、+y=xy,即a+b+ 2 =ab+a+b+ 1,b0,x y整理得ab= 1,x=3,14即2時(shí)取等號(hào)，所以 +的最小值為 4.x- 1y- 1y= 310.awl4解析由f(x) =x+x得, z.,x2- 4f (x)=f(X)在 2， i 上單調(diào)遞減，f=5 是函數(shù)f(x)在|2, 1 上的最小值，當(dāng)X2 2,3時(shí)，g(x) = 2X+a為增函數(shù)，g(2) =a+ 4 是函數(shù)g(x)在2,3上的最小值,cx-1=a,y-1=b,所以x- 11a=2 ,4u= 4,當(dāng)且僅當(dāng)blb= 2 ,4144尸=a+b=b+b當(dāng)x1LJ11又 ?xi ,1, ?X2 2,3，使得f(xi) g(X2

10、),可得f(x)在xg, 1 上的最小值不小于g(x)在x 2,3上的最小值,即 5a+ 4,解得aw1.11. 32 2解析 雙曲線?蒼=1(a0,b0)的一條漸近線方程為bx+ay= 0,圓(xc)2+y2= 4a2的圓心到雙曲線的漸近線的距離為漸近線被圓(xc)2+y2= 4a2截得的弦長(zhǎng)為 2b,.2. 2,2. 2小2b+b= 4a,b= 2a, e = J 3.12.24n所以豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概率為 24.13.26解析向量a,b中，|a| = 2, |b| = 1,且(a+b)丄a, (a+b)a=a2+ab=0,ab=a2=4,222(a2b)=a4ab+4b=44x(4)+

11、4x1=24,Ia2b|=2 6.14.(1,1)U(2,4)解析 根據(jù)題意得，圖中Q6,6),1D(2 , 2)，所以SN= X6bc_a2+b2=b，即c2=3a12解析解不等式X-40,3x2+ 3x,x0,所以f(x)=畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示因?yàn)殛P(guān)于x的方程 If(x) m) = 1(m R),即f(x) =n 1( mfER恰有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，所以兩直線y=n 1(n R)與曲線y=f(x)共有四個(gè)不同的交點(diǎn),?n 13,0m 13,十或*0n 13n 107n1= 3或=n 1= 0解得 2n4 或1nT1.15.解(1)TbsinAcosC+csinAcos B

12、=-a,由正弦定理可得 sinBSinAcosC+ sinCSinAcosB=23sinA,/ A為銳角，sinAM0, sinBcosC+ sinCcosB=TA=3，-tanA=羽,f(x) =3sin13xcos3xqcos 23x16X一3x,x 90 ,由題意知CD是 60弧，其所對(duì)的圓周角/所以 CO 2 , AO ,42-22= 2 ,3 ,當(dāng)APAC的面積大于 2 3 時(shí)，設(shè)點(diǎn)P到AC的距離為d,1則有SPA=qACd= 3d2 3,即d2,由題意知四邊形ACDF是矩形，ty=g(x) n x |- 24，n4,n5n_4，6，r n、71g(x)=sin嚴(yán)+y| gn廠2x+

13、 2CAD-30 ,14所以AC/ DF,且AC與DF之間的距離為 2,所以點(diǎn)P在DEF上(不包括點(diǎn)D,F).故所求的概率為p(N)=DIO周長(zhǎng)長(zhǎng)=117. 證明 連結(jié)BD交AC于點(diǎn)0,連結(jié)0E因?yàn)榈酌鍭BCDI菱形，所以點(diǎn)0為BD的中點(diǎn).又E是PD的中點(diǎn)，故01/ PB又因?yàn)?E?平面ACE PB?平面ACE所以PB/平面ACE因?yàn)榈酌鍭BCDi菱形，/ABC=60 ,所以ABC為正三角形，從而AB= AC又PB=2AC PA= AC所以PB=2AB=2PA從而，PAIAB同理可證PAIAD又因?yàn)锳BA AD= A,且ABAD?平面ABCD所以PAL平面ABCD因?yàn)镻A?平面PAC所以平面P

14、ACL平面ABCD18. 解 設(shè)等差數(shù)列劉的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,又 b = - 2ai= 2 ,a3+b2=1 ,S3+2b3= 7 , a1=1, 1+2d+2q= 1,3x(1)+3d+2X2q2=7,解得d= 2 ,q= 2.an= 1 2(n 1) = 1 2n,bn= 2n.15當(dāng)n= 2k(k N)時(shí)，Tn=T2k= (Cl+C3+ +C2k 1) + (C2+C4+ +C2k)3 74k 1 =2k+ 2 + 23+入 37令八=2+尹+兩式相減得 4 人=2+414k 11 22k+1,1-42612k+13可得A= 9X2，26 12k+13Tn=T2k=2k+

15、99x2門二 2k 1(kN*)時(shí),26Tn=T2k 2+C2k 1=2(k1)+ 912k+13c9X2k 1+22612k+1=2k+792，f2612k+13丨1k+9X22k1，n=2k，Tn= *2612k+12k+99X22k3，n=2k1,k N.4219.解(1)由點(diǎn)P(2 ,2)在橢圓上，得-+2= 1，a b又e=，所以C=羋.2a2由結(jié)合a2=b2+c2得c2= 4,a2= 8,b2= 4,2,n為奇數(shù),6= $2n 1,n為偶數(shù).4k 122k-1,4k 5 4k 1+22k十1,2k 122k 1.=I+4X丄1 、4k1 +22- 22k+1162 2故橢圓C的方程

16、為x+y=1.84假設(shè)存在常數(shù) 入，使得ki+k2=入k3.由題意可設(shè)AB的斜率為k, 則直線AB的方程為y=k(x 2).2 2x y代入橢圓方程云+= 1,842 2 2 2并整理得(1 + 2k)x 8kx+ 8k 8= 0.設(shè)A(xi,yi) ,B(X2,y2),所以X1,2=21 + 2k2”8k28k2 8 -則有X1+X2=2,X1X2=2.1 + 2k1 + 2k在方程中，令x= 4 得，M4,2k),從而k= ，k2=寧捋,k3=2k-V2=k史=4 2 =2 .又因?yàn)锳 F,B共線，則有k=kAF=kBF,8k2帀48k=2k邊，1 + 2k221 + 2k2+4又k3=k

17、子,所以ki+k2= 2k3.故存在常數(shù) 入=2 符合題意.x20.解(1)當(dāng)a= 0 時(shí)，f(x) = (x+ 1)e , 切線的斜率k=f (1) = 2e,又f(1) = e,.y=f(x)在點(diǎn)(1 , e)處的切線方程為y e= 2e(x 1),y1y2即有XiF=k，所以k1+k2=里2+yX2X1 2X2 2+丄+X2 2_X1+X24_X1X2X1+X2+ 4.y1X1 2+匕=2k 2 8k2土，;64k4+ 2k28k2將代入得k2= 2k 2 88即 2exy e = 0.17/對(duì)？x( 2,0) ,f(x)W0恒成立,2ex二aw予在(一 2,0)上恒成立，人2ex令g(x)=XT2(2x0)，,2exx+2 2ex2exx +g(X)=x+2=尸，當(dāng)一 2x 1 時(shí)，g(x)0，當(dāng)一 1x0. g(x)在(2, 1)上單調(diào)遞減，在(1,0)上單調(diào)遞增,2e12g(x)min=g( 1) =_i+2 = e，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為f (x) =