2020屆湖北省部分重點中學高三第二次聯(lián)考數(shù)學(理)試題(解析版)

1、第1頁共 20 頁2020 屆湖北省部分重點中學高三第二次聯(lián)考數(shù)學(理)試題一、單選題1 設集合A x|y,B x|(x 1)(x 3) 0，則eRA I B()A.1,3)B.(1,3)C.( 1,0 U1,3)D.( 1,0U(1,3)【答案】B【解析】A是函數(shù)的定義域，B是不等式的解集，分別求出后再由集合的運算法則計算.【詳解】由題意Ax|1 x 0 x|x 1,Bx| 1 x 3,CRAx|x 1,- (CRA)IB x |1 x3 (1,3).故選：B.【點睛】本題考查集合的運算，解題時需先確定集合AB中的元素，然后才可能利用集合運算法則計算.2 .復數(shù) z滿足(1 i)z |2i

2、|，則z().A.2 2iB.1 iC.2 2iD. 1 i【答案】D【解析】根據(jù)復數(shù)的模與代數(shù)形式的運算性質求解即可.【詳解】解：-(1 i)z | 2i| 2,故選：D.【點睛】 本題主要考查復數(shù)的模以及復數(shù)代數(shù)形式的運算性質，屬于基礎題.3 若實數(shù)x,y滿足2s+ 2: = ,則 X r 的最大值是()第2頁共 20 頁B. -2【答案】B【解析】利用基本不等式求 x+y 的最大值得解【詳解】由題得于 7、巳訃曠孑=2護（當且僅當 x=y=-1 時取等）所以 1* _1斗二怎、 a = “所以 x+y=2.所以 x+y 的最大值為-2.故選：B【點睛】本題主要考查基本不等式，意在考查學生

3、對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力4非零向量a,b滿足ab77尚且（vb）v【答案】C算可得所求值.【詳解】由a b肖得，護Z220ib 7護又由（aV）a0得，a bvvr r將代入式，整理得：b24a2，即 b 2 a故選C.【點睛】屬于中檔題.5 .中華人民共和國國歌有84個字，37小節(jié)，奏唱需要46秒，某校周一舉行升旗儀式, 旗桿正0,a,b的夾角為（A . 30B.45C.60D .90【解析】 運用向量的平方即為模的平方，求得b 2 a，由向量數(shù)量積的夾角公式，計又因為cosV，bVI2Va 2a彳，即Vb的夾角為60本題考查向量考查向量的平方即為模的平方， 考查運算能力,第3

4、頁共 20 頁好處在坡度15的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和 30 ,第一排和最后一排的距離為10、2米（如圖所示），旗第4頁共 20 頁桿底部與第一排在同一個水平面上.要使國歌結束時國旗剛好升到旗桿頂部，升旗手升【答案】B【解析】如解析中圖形，可在HAB中，利用正弦定理求出HB，然后在Rt HBO中 求出直角邊H0即旗桿的高度，最后可得速度.【詳解】如圖，由題意HAB 45 , HBA 105,二AHB 30,故選 B.【點睛】本題考查解三角形的應用，解題關鍵是掌握正弦定理和余弦定理，解題時要根據(jù)條件選用恰當?shù)墓剑m當注意各個公式適合的條件.

5、6.孫子算經(jīng)中曾經(jīng)記載，中國古代諸侯的等級從高到低分為：公、侯、伯、子、男,共有五級 .右給有巨大貝獻的甲、 乙兩人進行封爵，則甲比乙獲封等級高的概率為（）2143A .B.-C.D.-5555【答案】A3 323237 J3238.323在HAB中,HBsin HAB AB，即sin AHBsin 45,HB 20.sin 3010、3v465込23（米 /秒）.旗的速度應為（米/秒）第5頁共 20 頁8.已知sin3cos，則tan2()36B.2 3D.2、3【解析】 利用組合數(shù)求出基本事件總數(shù)以及事件甲比乙獲封等級高”包含的基本事件 數(shù)，再用古典概型的的概率計算公式求解即可.【詳解】解

6、：甲、乙兩人進行封爵共有C5C；25種,11111甲比乙獲封等級咼有C5C4C3C2C110種，10 2所求概率為P -255故選：A.【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算公式，屬于基礎題.7 .已知0.80.8,則實數(shù)a 的取值范圍是（）A .(,0)B.0,1C.(1,)D.1,)【答案】 A【解析】 由0.8a0.8a可得0.8a0.81，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案.【詳解】解：/0.810.8 0,0.80.81,又0.8a0.8a0.8a0.8x0.81,而函數(shù)y0.8在R上單調(diào)遞增， a 0 ,故選：A.【點睛】本題主要考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于基礎題.第

7、6頁共 20 頁【答案】A解：Tsin1.3Q驏31 .sina- cosa = - 3 cosa+s ina22琪22tan- tan2【點睛】 本題主要考查簡單的三角恒等變換和二倍角的正切公式，屬于基礎題.1,x 0,329.已知符號函數(shù)sgn x 0, x 0,那么y sgn x 3x x 1的大致圖象是（）1,x 0,【解析】令f3x x3x2x 1,則f xx 12小x 2x1x 1 x 1Jx 121,x 0f 10, f 1 20, f 1-20,Q sgn x0,x01,x0sgn f 10，可排除 A,B，又sgn f 120 , sgn f 120,可排除C，故選D.【解析

8、】由sin出結論.【詳解】3cos6可得tan丄3，再用二倍角公式即可求23cos，即2sin2ta n1 tan243【答案】D22【詳解】第 6 頁共 20 頁x10 .已知A, B為橢圓4-1上的兩個動點,3M 1,0，且滿足MA MB,則uuirMAUUU ,+卄,BA的取值范圍為3,4B.491,9D.9,44【答案】C【解析】由題可得MABAUULTMAuuu(MAuurMB)UUU2MA，設M(x, y)，由兩點間距離公式結合x2,2可得解.【詳解】A, B為橢圓1上的兩個動點,M 1,0為其左焦點.MAMB，則有UULTMAUULTMB 0.uuuMAULUUUT BAMAUU

9、T(MAUULT UJU2MB) MA.設M (x, y)，則3(1UULT2MA(x 1)2(x1)223(1 y)42x 4(x44)2.UULT22,2，得MA14(x24)1,9.故選C.【點睛】本題主要考查了橢圓方程的應用及數(shù)量積的坐標運算, 屬于中檔題11 .設數(shù)列an的前項和為Sn，且ai1,an2(n 1) n2，則nSn2n的最小值是(B. 2【答案】【解析】由題意得當n2時，SnSn1)，得Sn2，從而求出2Sn2n2n22n33n2利用導數(shù)得數(shù)列nSn2n2個遞增數(shù)列,從而可求出答案.22【詳解】第 6 頁共 20 頁第9頁共 20 頁an魚2(n 1),nSn當n 2時

10、,SnSn12(n1),nn1 SnSn 12(n 1),n-n1 &512n(n 1),.SnSn 12,nn 1又Sa111數(shù)列Sn是以 1為首項，2 位公差1的等差nSn1 2n 12n 1,nSn22n n,nSn2n22n3n22n22n33n2,令yr3小22x 3x ,x21，則y 6x6x數(shù)列nSn2n2是一個遞增數(shù)列，當n1時,nSn22n有最小值23故選： A.解：1,【點睛】6x x 10,本題主要考查地推數(shù)列的性質，考查等差數(shù)列的證明，屬于中檔題.12 .如圖，已知四面體 ABCD 的各條棱長均等于 4, E , F 分別是棱 AD、BC 的中點.若用一個與直線

11、 EF 垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為(4【答案】B第10頁共 20 頁uur13 .設D為ABC所在平面內(nèi)一點，AD1uuu4uuuUUV AC，若BC3uuvDC R,【答案】-3【解析】直接利用向量的線性運算求出結果.【詳解】D為ABC所在平面內(nèi)一點uuv,AD1 uuv AB34 uuu/-AC,3-B, C, D 三點共線若BCuuv DCR ,uuv二ACuuvuuvACuavAD，【解析】將正四面體補成正方體，由此可得截面為平行四邊形KL KN 4，且KN KL,禾U用基本不等式即可求出結論.【詳解】可得EF

12、平面CHBG，且正方形邊長為2、2，由于EF，故截面為平行四邊形MNKL，且KL KN 4,又KL/BC,KN /AD，且AD BC,KN KL,2KN KL2當且僅當KL KN 2時取等號,【點睛】本題主要考查了面面平行的性質，考查了基本不等式的應用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.二、填空題MNKL，且-SrMNKLKN KL解：將正四面體補成正方體如圖,第11頁共 20 頁1uuv，與A- 1AB+4AC，比較可得：-，解3333.即答案為-3.【點睛】本題考查的知識要點：向量的線性運算及相關的恒等變換問題.b6ax2-的展開式中 x3項的系數(shù)為 20,則abx【答案】【詳解】b6-的展開

13、式的通項公式為xTr 1C：26 rax令123r3，得r33- C6ab20,二ab1,故答案為： 1 【點睛】6 r. r 12 3rC6a b x,本題主要考查二項式的展開式的系數(shù)，屬于基礎題.x2y215已知雙曲線 牙1 a0,b0的左、右焦點分別為Fi、F2，過點Fi作圓a b化為：AuU=-AEV+14 若【解利用二項式的展開式的通項公式求解即可.解：2ax第12頁共 20 頁x2y2a2的切線，與雙曲線的右支交于點P，且F1PF245o。則雙曲線的離心率為_ 。【答案】3【解析】【詳解】記PF1F2.則PF2F1135設切點為M則在Rt OF1M中,sina,cos c-c .

14、a2b2c第13頁共 20 頁在PF1F2中，由正弦定理得TPFJ= 2/2csine = 2 * = 2邁aIPF,I=(2b十2-2Pa = 2a呂二爲故該雙曲線的離心率為16 .為響應國家號召， 打贏脫貧致富攻堅戰(zhàn)， 武漢大學團隊帶領湖北省大悟縣新城鎮(zhèn)熊 灣村村民建立有機、健康、高端、綠色的蔬菜基地，并策劃生產(chǎn)、運輸、銷售”一體化的直銷供應模式，據(jù)統(tǒng)計，當?shù)卮迕駜赡陼r間成功脫貧蔬菜種植基地將采摘的有機蔬菜以每份三斤稱重并保鮮分裝，以每份 10 元的價格銷售到生鮮超市，每份 15 元的價格賣給顧客，如果當天前 8 小時賣不完，則超市通過促銷以每份 5 元的價格賣給顧客（根 據(jù)經(jīng)驗，當天能夠

15、把剩余的有機蔬菜都低價處理完畢，且處理完畢后，當天不再進貨）該生鮮超市統(tǒng)計了 100 天有機蔬菜在每天的前 8 小時內(nèi)的銷售量（單位：份），制成如 下表格（注：x, y N*，且x y 30）.若以 100 天記錄的頻率作為每日前 8 小時銷 售量發(fā)生的概率，該生鮮超市當天銷售有機蔬菜利潤的期望值為決策依據(jù)，若購進17份比購進 18 份的利潤的期望值大，則x 的最小值是 _前 8 小時內(nèi)銷售量15161718192021頻數(shù)10 x16161513y【答案】25【解析】 先根據(jù)條件求出分布列和期望，再根據(jù) 購進 17 份比購進 18 份的利潤的期望 值大”即可得出答案.【詳解】 解：若該超市一

16、天購進 17 份這種有機蔬菜，Y表示當天的利潤（單位：元），那么Y1的分布列為第14頁共 20 頁【解析】（I）由2Sn2Sn 12ananan 11可以得出an -21 13an 12丫1657585P10 x90 x100100100丫1的數(shù)學期望E10半65751008510090 x 8300 10 x100100 若該超市一天購進18 份這種有機蔬菜，丫2表示當當天的利潤（單位：元），那么丫2的分布列為丫260708090P10 x1674 x10010010010010 x1674 x 8540 20 x丫2的數(shù)學期望E Y2607080+90 -100 100 100 100 1

17、00購進 17 份比購進 18 份的利潤的期望值大，8300 10 x854020 x口 “二，且x 30,100 100解得24 x 30,又x N*,X的最小值為 25,故答案為：25.【點睛】 本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題.三、解答題（i）求證：數(shù)列an1為等比數(shù)列;2（n）求數(shù)列an1的前n項和Tn.n1 1n【答案】（i）詳見解析；（n）Tn1 -.43217 .已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足2Sna*n n N第15頁共 20 頁的前n項和Tn.【詳解】(1)2Snan當n 2時，2Sn 1Tn【點睛】本題考查了等比數(shù)列的證明，考查利用分組求和法求數(shù)列

18、的前進而得出結論（n）由（i）可推導出an11，再利用分組求和法就能求出數(shù)列an12第16頁共 20 頁公比的等比數(shù)列。所以an18 .如圖，四棱錐P ABCD中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形,PD AB 2, E 為 PC 上一點，當 F 為 DC的中點時，EF 平行于平面 PAD.兩式相減，2ananan 1an13anan 1，所以數(shù)列an1為等比數(shù)列。2(n)由2S知，數(shù)列an1 1 12是以-為首項，為n 項和的求法.第17頁共 20 頁(I)求證：DE平面 PCB;【答案】(I)證明見解析;BC DE, 從而可證出DE平面PCB;(n)以點D為坐標原點，分別以直線D

19、A,DC,DP為x軸，y軸，z 軸，建立空間直角坐標系，求得各點的坐標，求出平面BDE和平面PDB的的一個法向量，再根據(jù)法向量求出二面角.【詳解】又Q DE平面PCD,BC DEQ PD CD，當F為DC的中點時,EF平行平面PAD，所以E是PC的中點,(n)解：以點D為坐標原點，分別以直線DA,DC,DP為x軸，y軸，z 軸，建uuruuur則D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1),DB (2,2,0),DE (0,1,1),DE PC,PC BC C,DE平面PCB;立如圖所示的空間直角坐標系,(n)求二面角E BDP的余弦值.【解析】(I)PD平面ABCD

20、可得PD BC，從而證出 BC 丄平面PCD，則(I)證：Q PD平面ABCD ,PDBC,又 正方形ABCD中，CD BC,PDCD D,BC平面PCD,第18頁共 20 頁(2)直線 BD 恒過 x 軸上的定點N (2, 0).證明如下rr uuu r uuur設平面BDE的法向量為 n (x, y,z)，則n DB 0,n DE0,2x 2y 0,r，令z 1，得到y(tǒng) 1,x 1,n (1, 1,1);y z 0uur又QC(0,2,0),A(2,0,0),AC ( 2,2,0)，且AC平面PDB,ur平面PDB的一個法向量為m (1, 1,0);面角E BD P的余弦值為63【點睛】

21、本題主要考查線面垂直的判定和性質，考查二面角的求法，屬于中檔題.2X219 已知橢圓C：pya(I)求橢圓C的方程;(n)設直線|過點M(1,0)且與橢圓C相交于A,B兩點.過點A作直線x 3的垂線,垂足為D證明直線BD過x軸上的定點.2【答案】(1) y21; (2)見解析3【解析】(1)由離心率列方程可求得橢圓方程；(2)當直線 AB 的斜率不存在時，直線 BD 過點(2, 0).當直線 AB 的斜率存在時， 設直線 AB 為y=k (x-1 ),聯(lián)立方程組，消去 y 整理得：(1+3k2) x2-6k2x+3k2-3=0 .利 用韋達定理、直線方程，結合已知條件求出直線BD 過 x 軸上

22、的定點.【詳解】,解得a -.3, b 1,2c2所以橢圓 C 的方程為3設二面角E BD P的平面角為，由圖可知角 為銳角,則cos| cosm,n |.21 (a1)的離心率為1癥3b2c(1)解：由題意可得一a2ay21第19頁共 20 頁(a)當直線 l 斜率不存在時，直線 I 的方程為 x=1,不妨設 A (1, -6), B( 1, -I ), D (3, -6)333此時，直線 BD 的方程為：y=5( x-2),所以直線 BD 過點(2, 0).3(b)當直線 I 的斜率存在時，設 A ( xi, yi), B (x2, y2),直線 AB 為 y=k (x-1), D ( 3

23、 , yi).y k x 1由x23y23得：(1+3k2) x2-6k2x+3k2-3=0 .2 26k3k 3八所以 X1+X2=2, X1X2=2. . ()3k213k21直線 BD: y-%=也(x-3),只需證明直線X23令 y=0，得 x-3=*X23，所以y2 *3y23y11X23比3y21X24x23 X1X2x=所以直線 BD 過點(2,【點睛】 本題考查橢圓方程求法，考查了直線恒過定點，考查推理論證能力、運算求解能力，考 查由特殊到一般的思想，是難題.20.已知函數(shù)f x ax Inx.(1)求f x的極值；(n)若a 1 , b 1 , g【答案】(i)有極小值為1B

24、D 過點(2, 0)即可.y2y1y2y1X2X4x23 X1X2 c即證H 2x2X-|，即證2 X2X1X1X23.將()代入可得2 x2X1X|X212k23k213k233k21勢3.3k21綜上所述，直線 BD 恒過 x 軸上的定點(2,0).x f x bex，求證：g x 0.In a，無極大值；(n)證明見解析X。,x第20頁共 20 頁無極大值;x，則h x（n）當a1,b 1時，g x exIn xxx 0,g x令h x gx,根據(jù)導數(shù)判斷得函數(shù)h x在0,上單調(diào)遞增，理得xA，使得h X0eX01X010，從而可得函數(shù)gg X0eX0InX0 x丄1 In X0X0X0

25、，根據(jù)單調(diào)性可得g x11 In1110，從而得出結論 -【詳解】解：（I）fX1門ax 0,X當 a 0 時，f X0恒成立，則f x在0,上單調(diào)遞減，f當a 0時，令f1X0，得x; 令fx 0，得0 x1【解析】（I由零點存在性定x的最小值x無極值;aa1）求導求定義域得f x a x 0，再分類討論即可得出結論;xex- 1,x0,1上單調(diào)遞減，在a上單調(diào)遞增,有極小值為1 In a，(n)當a1,b 1時,exInX。,x第21頁共 20 頁又b 1,f x be所以0,上單調(diào)遞增(30,所以X。,使得hxo0，即e*所以函數(shù)0，x0上單調(diào)遞減，在所以函數(shù)又函數(shù)yg X01 1X。的

26、最小值為g X0eX0In X01 In xIn1 1上單調(diào)遞增,Xo 1 In XoXo1x在 2,1 上是單調(diào)減函數(shù)，所以第22頁共 20 頁又AFBF、3 AB，則AFB .3故XA糾sin AFEf B BE sin BFEsinsin 一3sin 4431.sin 12當f B 1時,3，貝U f A可取 3, 4,，8 共六個值;當f B 2時,A 6，則f A可取 6, 7, 8 共三個值;【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.21.在三棱錐A BCD中，已知BCD、ACD均是邊長為 2 的正三角形，BCD在平面 內(nèi)，側棱A

27、B. 3 現(xiàn)對其四個頂點隨機貼上寫有數(shù)字(1)求事件“f C f D為偶數(shù)”的概率R.偶數(shù)”的事件.,33故R P M1PM22.147(2)如圖，取邊CD的中點F，連結BF、AF因為BCD、ACD均是邊長為 2 的正三角形，所以，AF CD,BF CD.因此，CD平面ABF.從而，AFE是二面角E CD A的平面角18 的八個標簽中的四個,并記對應的標號為取值為A、B、C、D),E為側棱AB上一點.(2)若BEEAf BTT，求二面角E CD A的平面角大于一”的概率P2.4【答(1)37【解【詳(1)用均為奇數(shù)”的事件，用M2表示“f Cf D均為由題意知P M1A24 3A28 7M23

28、14記 “f C f D為偶數(shù)”為事件Q.則QM1M2.、EF.第23頁共 20 頁當 fB 3 時，fA 9，則 fA 不存在.99綜上，P2星56.22在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為卜(t 為參數(shù))，以坐標原點 為極點，乂軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線匕的極坐標方程為戸2=.1 +曲9(I)求直線j的普通方程和曲線的直角坐標方程；(n)設為曲線悴上的點，：運丄：，垂足為，若|汽講的最小值為卜，求山的值.【答案】(I)十匚_ !嘰，.：i；( n)匚：；2丁或匸.【解析】(I)消去參數(shù)II可得直線 的普通方程，利用互化公式即可得曲線的直角坐標方程.第24頁共 20 頁(n)利用曲線 的參數(shù)方程設點，根據(jù)點到直線距離公式求出 日，再根據(jù)三角函數(shù) 性質求出最小值，