2020屆浙江省浙南名校聯(lián)盟高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題(解析版)

1、第1 1頁共 2121 頁2020 屆浙江省浙南名校聯(lián)盟高三上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1 1.已知集合A = xx2蘭1,B=x Igx。，則A|B=()A.A.0,11B.B.0,1C.C.0,1DJ- 1,101【答案】B B【解析】先分別計算集合 A A 和 B B，再計算ARB【詳解】A=x x2蘭1 = x-1蘭x蘭1B = & lg x蘭1 = & 0 x蘭1。A - B = 1 x 0：x冬11故答案選 B B【點睛】本題考查了集合的運算，屬于簡單題型2 2 _2 2 .已知雙曲線C:篤-當=1玄0,b0的離心率為2，其右焦點為F22.3,0,a b則雙曲

2、線C的方程為()2222222 2xA.A.y=1xB.B.y=1C.-y=1x y D.D.3993412124【答案】A A【解析】直接利用離心率和焦點公式計算得到答案 【詳解】雙曲線2 2C:=1a0,b0的離心率為2,其右焦點為F22、3,0a b則a得到a二、3,b = 32 32 2雙曲線方程為：-=139故答案選 A A第2 2頁共 2121 頁【點睛】本題考查了雙曲線方程，屬于基礎題型 3 3 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）【解析】根據(jù)三視圖還原立體圖形，再計算體積【詳解】 如圖所示：底面為直角邊長為 2 2 的等腰直角三角形，高DE =2114故V222=

3、-323【點睛】 本題考查了三視圖和體積的計算，通過三視圖還原立體圖是解題的關(guān)鍵X y -1,4 4 .已知實數(shù)x,y滿足x-y-2-O,則的最小值為（）心，XA.A.4【答案】D D233C.8 84D.-D.-3第3 3頁共 2121 頁【答案】C C 【解析】畫出可行域，將 丄看作點到原點的斜率，計算得到答案x【詳解】 如圖所示: 畫出可行域y=吐二k,看作點到原點的斜率x x -0311根據(jù)圖像知，當x , y時，有最小值為-223本題考查了線性規(guī)劃，將y看作點到原點的斜率是解題的關(guān)鍵x要條件【答案】A A【解析】 分別判斷充分性和必要性，得到答案【詳解】當0cxyv1時，得到0c|x

4、 y 1（x0,y式0）兩邊同時除以y得到丨x蘭點,充分A.A. -3-3B.B.3C.C.13D.-D.-5 5設x,y R,則0：xy : : 1”是1x0”的(A.A.充分不必要條件B.B.必要不充分條件C.C.充分必要條件D.D.既不充分也不必第4 4頁共 2121 頁11 1當x0,排除CD，得到答案x【詳解】In xIn xf(X)=, f (x)= =f (x ), f (x)為奇函數(shù)，排除Bx-xIn x當XA1時，f(x)=A0恒成立，排除CDx故答案選A【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷，通過奇偶性，特殊值法排除選項是解題的關(guān)鍵第 5 5 頁共 2i2i 頁7 7.設o：x：

5、2，隨機變量 的分布列如下:0 0i2P0.50.5 - xx則當x在 o,-內(nèi)增大時（）I 2丿A.A.E減小，D減小B.B.E增大，D增大C.C.E增大，D減小D.D.E減小，D增大【答案】B B【解析】分別計算E和D的表達式，再判斷單調(diào)性. .【詳解】E =0 0.5 1 (0.5-x) 2x二x 0.5, ,當x在DI：0.5 (x 0.5 -0)2(0.5 x) (x 0.5-1)2x(x 0.5 - 2)2- -x22x丄45（i D = -（x-1）25，當x在0,-內(nèi)增大時，D 增大故答案選 B B【點睛】本題考查了E 和D的計算，函數(shù)的單調(diào)性，屬于綜合題型. .8 8.設點M

6、是長方體ABCD-ABQiDi的棱AD的中點，AAi= AD=4，AB =5，點P在面BCCiBi上，若平面DiPM分別與平面ABCD和平面BCCiBi所成的銳二面 角相等，則P點的軌跡為（）隅內(nèi)增大時, ,2第6 6頁共 2121 頁A.A.橢圓的一部分B.B.拋物線的一部分C.C.一條線段D.D. 一段圓弧【答案】C C【解析】S根據(jù)公式cos得到SMDP1-SCPM1，計算得到P到直線C1M1的距離為定值，得到答案【詳解】設P在平面ABCD的投影為Pi，平面DiPM與平面ABCD所成的銳二面角為:M在平面BCCiBi的投影為BC中點Mi，平面DiPM與面BCCiB所成的銳二面角cos也S

7、,D1PMS,MDP1S.CPMtcc11即SMDPSCPM1得到2 5C1M1h,h= . 5SD1PMSD1PM22即P到直線CiMi的距離為定值，故P在與CiMi平行的直線上又點P在面BCCiBi上，故軌跡為一條線段. .故答案選 C C【點睛】S本題考查了立體幾何二面角，軌跡方程，通過cos可以簡化運算,SAP =xAB yAC，其中x y -i，則2x y的最大值為（貝ycos：S.MDPtS.qpM是解題的關(guān)鍵 9 9 已知正三角形ABC的邊長為2,D是邊BC的中點，動點P滿足uurPD i，且A.A.i3B.-B.-2C.C.25D.-D.-22第7 7頁共 2121 頁【答案】

8、D Dy-x = aAP =xAB yAC得到3,y + x = i _b(b蘭0)【解析】 以uurPD-i得到a2 b2乞i,由3兀52x y tsi n( )得到答262第8 8頁共 2121 頁【詳解】時有最大值，此時x=1,y，有最大值5322故答案選 D D【點睛】本題考查了向量的運算，通過建立直角坐標系的方法可以弱化技巧, 模能力和計算能力 11 _*1010 .已知數(shù)列l(wèi)aj滿足an 12anan +D.D.當B =2時，則an 1 3n 20anhlUULT設P（a,b），則PD 1得到a2b2乞1設a =tcos b-tsiCtJAP二xAB yAC得到（a,b -、3）

9、=x（-1,- . 3） y（1,-、.3）y _x = a73y x =1 b（b乞0） I3313 7312x y （x y） （y -x）b a222221sin cos：）2二3 _tsin（?。?2A.A.當01上，且PQa的最大值等于5，則橢圓的離心率的最大值等于 _,當橢圓的離心率取到最大值時，記橢圓的右焦點為F,貝U PQ + QF的最大值等于 _【答案】15 2一322 2 2 2【解析】x +y -6y+8 = 0化簡為x2+(y_3)2=1,PQ的最大值為 5 5 等價于AQ3的最大值為 4 4，根據(jù)對稱軸得到關(guān)系式X2豈-1-1 解得答案 1-a2利用橢圓性質(zhì)得到PQ

10、+|QF =|PQ +4-QFi，再根據(jù)三角形邊的關(guān)系得到答案. .【詳解】2 2 2 2x y -6y 8=0化簡為x2(y-3)2=1，圓心A(0,3). .PQ的最大值為 5 5 等價于AQ的最大值為 4 42設 Q(x,y)Q(x,y)，即x (y-3) 16，又y1 a 1 a化簡得到(1 - a2)y2-6y a2- 7 _0(-1 _ y _1)當y =-1時，驗證等號成立33對稱軸為x2滿足x2乞-1,a乞2故1 a乞21-a1-a2 2 “,1.32ca -1e22_12e ：aaa42故離心率最大值為2PQ +|QF| = PQ| +4|QF,|M|AQ+1+4 QF勻AF

11、1+5 = 5 + 2V5當A,F1,P,Q共線時取等號第 1111 頁共 2121 頁當a = 2時，離心率有最大值，此時橢圓方程為x27yT，設左焦點為F1故答案為和5 2、3-1第1313頁共 2121 頁【點睛】 本題考查了橢圓的離心率，線段和的最值問題，利用橢圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化PQ +|QF| = PQ +4-QF是解題的關(guān)鍵，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力. .4 4 44rrf-rr23 r r1616 已知非零向量a,b,c，滿足a=2,ab = j3b,2，則對任意實數(shù)t,c - tb的最小值為_ 1【答案】-4一片專兀d【解析】 根據(jù)向量夾角公式計算a, b夾角為-，以a坐在

12、直線為x軸，建立直角坐標，6 63221r r計算得到c對應的點在(x-)2+y2=上，c tb表示的是圓上一點到直線上一點的24距離，計算得到答案 如圖所示：以a所在直線為x軸，建立直角坐標系則a = (2,0)，設c = (x, y)23 r r3221c a c-2得到x2y2=3x-2即(x ) y：2y24r rc-tb表示的是圓上一點到直線上一點的距離3n11此距離的最小值為：d = si n 262 4r b-T raIT rb racos日=2 b cos日=,cos1故答案為丄4-1第1414頁共 2121 頁【點睛】第1515頁共 2121 頁本題考查了向量的運算，直線到圓

13、距離的最值，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算能力1717.設函數(shù)f (X)= x6x?+ax+b，若對任意的實數(shù)a和b，總存在xfo,3,使得f x0- m，則實數(shù)m的最大值為_ .【答案】2 2【解析】 將函數(shù)變形為f (x )= x36x2+9x - (9 a)x b，設g(x)二x36x29x,h(x) =(9 -a)x - b，畫出函數(shù)圖像，當a=9,b = -2時取最值，得到答案 【詳解】f (x )= x3_6x2+ax +b = x3_6x2+9x - 1(9 _a)x -b 設g(x) = x3_6x29x, g (x) = 3x2_12x 9 = 3(x _1)(x _ 3)g(

14、x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，g(0)=g (3) = 0設h(x) = (9 -a)x -b根據(jù)圖像知：當a =9,b = -2時，最大值的最小值為 2 2 故實數(shù)m的最大值為 2 2答案為 2 2【點睛】本題考查了函數(shù)的存在性問題，變形函數(shù)，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵，意在考查學生 的綜合應用能力畫出函數(shù)圖像:等價于求f xx - m第1616頁共 2121 頁三、解答題f兀、fl1818.函數(shù)f(x) = 2sin(cox+申)丨0,0 c二的圖象過點 ,J2，且相鄰的2)12丿最高點與最低點的距離為戸.(I)求函數(shù)f x的解析式；(n)求f x在10,2 1上的單調(diào)

15、遞增區(qū)間. .15【答案】(I )f(x)=2si n(：x )；(n)0-和,2. .444誦析】(I)利用勾股定理得到 2，將點代入圖像得到二， 得到答案 H31(n n )f(x)=2sin(二X)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為2k x遼2k,kZ，代入k得444到0,21 1 上單調(diào)區(qū)間. .【詳解】解：(I)函數(shù) f f (x)(x)的周期T =2、.17-16=2, - =TTJT又0：一，. 24兀f (x)二2sin(二x)431(n)令2kx 2k ,k，Z解得2k x一2k , k Z24244Qx 0,215f x在0,2 l上的單調(diào)遞增區(qū)間是0,和,244【點睛】本題考查了三角函數(shù)

16、的解析式，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于?？碱}型，需要熟練掌握佃如圖，四棱錐P-ABCD中，AP_ 平面PCD,AD II BC,DAB =,21AP=AB=BC=2AD,E為AD的中點，AC與BE相交于點O. .把坐標(2代入得cos；：第1717頁共 2121 頁(n)求直線AB與平面PBD所成角的正弦值. .【答案】(I)詳見解析;【解析】(I)先證明BE_面APC得到BE_PO，再證明PO_AC得到PO _平 面ABCD. .(n)以0為原點，分別以OB,OC,OP為x軸，y軸，z z 軸的建立直角坐標系. .計算平4 4面 PBDPBD 的法向量為n =(1,3,1),再利用向量夾角公式得

17、到答案. .【詳解】解：(I)由已知AP_平面PCD，可得AP _ PC,AP _ CD,由題意得，ABCD為直角梯形，如圖所示，BCPDE，所以BCDE為平行四邊形，所以 BEBE / CDCD，所以AP _ BE. .又因為BE _ AC，且AC AP二A,所以BE_面APC,故BE _ PO. .在直角梯形中，AC=2AB，因為AP_面PCD，所以AP _ PC,所以L PAC為等腰直角三角形，O為斜邊AC上的中點,所以PO _ AC. .且ACI BE = O,(I)求證:PO_ 平面ABCD;第1818頁共 2121 頁所以PO_平面ABCD（n）法一：以O為原點，分別以OB,OC,

18、OP為x軸，y軸，z z 軸的建立直角坐標系. .不妨設BO =1A(0,1,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，D(2,0)，nPB=0，n BD =0法二：（等體積法求A到平面 PBDPBD 的距離）VA _PBD二Vp丄BD設AB=1，計算可得PF =1，PD3，BD.5，SAPBD11SAPBDhSAABDPO，33解得h =22211si n e =一V22AB 11設 n n =(x,=(x, y,z)y,z)是平面PBDPBD 的法向量 滿足所以-xz = 0-3x y =0則令x =1，解得n= (131)2 224MABnsinT =11第1919頁共 2121 頁本題

19、考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力第2020頁共 2121 頁2020. .已知等比數(shù)列l(wèi)aj的公比q 1，且印a342,839是aa5的等差中項,2n數(shù)列的通項公式 0 = - - -(,n e N*. .an -1ian 1-1(I)求數(shù)列 a a / / 的通項公式；(n)證明：b1b J| b /2n 1-1，nN*. .【答案】(1 1)a* =2； (n)詳見解析. .【解析】(I)直接用等差數(shù)列，等比數(shù)列的公式計算得到(n)0nnd2 1-1-：2-1直接利用裂項求和得到2 -1亠;2 -1Sn= 2n1 -1,得證. .【詳解】a1a5=2a318,

20、所以，an=2n. .b _ 2n_ _2(. 2n_12n-1)2n_1+血十_1(2n_1+J2n+_1)(J2n_1 _ J2n41_1)2nC-J2n1-1) 2(、片一”二12n_1 _2n十+1_2n2nn -1(I)由a39是a1,a5的等差中項得所以a a3a3a318 =42,解得a3-8,8由a1a = 34，得8qq=34,解得q2=4或q2因為q 1，所以2. .(n)法 1 1 :由(I)可得bn2n,nN. .-2n- V v2n 1-1)“2n1-1 -2n-1，第2121頁共 2121 頁d d Hl bn十22-1 - .21-1)第2222頁共 2121 頁

21、C 23一22一1) L. 2n 1一1一,2n一1二,2n 1_1 _1：，2n 1-1. .法 2 2:我們用數(shù)學歸納法證明（2 2）假設n = k（k三N*）時不等式成立，即b +|l+bk cJ2k* 1 .那么，當n二k 1時，2* 1b +b2+川+bk+b“v J2k* -1 +一fJ2k1+j2k421,.-k彳2k 1(丄2k 1二1二_2k 2二1)_2 -1(：2一即當n二k 1時不等式也成立根據(jù)（1 1）和（2 2），不等式b +b2+lll+bn收卅_1，對任意n N*成立 【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的公式，裂項求和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的 靈活掌握

22、. .2121.已知點A Xo，y在拋物線y2=4x上，P,Q是直線y =x，2上的兩個不同的點,且線段AP, AQ的中點都在拋物線上由（I）可得bn二2n.2n-1、2n1-1(1)當n =1時,二 一2k 2_1不等式成立;第2323頁共 2121 頁(i)求y的取值范圍;(n)若APQ的面積等于 6.26.2，求yo的值. .【答案】(【)yo4或yo: 0；(n)y0=2 _2、.2 2【解析】(i)設P(a,a 2),Q(b,b 2),A(仏，y0),AP的中點4- C解得答案. .積公式得到答案【詳解】2(i)設P(a,a 2),Q(b,b 2),節(jié)A(匹,yo),4則AP的中點M

23、 (4a匹a)，代入y2=4x8 22 2得：a -(4 -2y)a -y4y4 =o2 2同理可得：b - (4-2yo)b - yo4yo4 =o22所以，a, b是方程x(4-2yo)x-yo4 yo，4=o的兩個根.=(4-2y。)2-4(-y；4y。4) =8y：-32yo解得：yo4或yo：o2yo:2)代入拋物線得到二次方程2 2X (4-2yo)X-yo4 yo4=0,先計算A到PQ的距離d二y2-4yo84；2，再計算PQ=心2-4y。，代入面第2424頁共 2121 頁|普-y。2|_y；-4yo8d 4d2由韋達定理可知：2a b = 4 - 2 yo,ab一- yo4yo4則|PQ2|a -b|；2 ,.(a b)2-4ab = 4、y2-4y。2SAP2|PQ|i価(n)點A到PQ的距離4.2第2525頁共 2121 頁令,y0-4y=t，則有：t38t-24 =0, 即：(t -2)(t22t 120，解得t =2,即y0_4y。-4 =0，解得:y0=2_2. 2本題考查了拋物線，面積問題，將問題轉(zhuǎn)化為二次方程解的個數(shù)問題是解題的關(guān)鍵，簡化了運算 a2222.設f xx-bln x，其中a,bR，函數(shù)f x在點1,f 1處的切線方程為e