2020屆北京市朝陽區(qū)高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)試題

1、第1頁北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)高考練習(xí)二數(shù) 學(xué)2020.2020.6 6(考試時(shí)間 120120 分鐘滿分 150150 分)本試卷分為選擇題(共 4040 分)和非選擇題(共 110110 分)兩部分考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分(選擇題共 4040 分)、選擇題共 1010 小題，每小題 4 4 分，共 4040 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i(1+i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(A A) 第一象限(B B)第二象限(C C) 第三象限(D D)第四象限(2)(2) 函數(shù)f xln xx 1的定義域?yàn)?/p>

2、(A)(A)(0,(0,) )(B)(B)(0,1)U(1,)(C)(C) 0,0,) )(D)(D)0,1)U(1,)(3)(3) 若a,b,cR且ab c，則下列不等式疋成立的疋(A A)2acbc212 2(B B)a b2c(C C)a c2b(D D)a c bc(4(4)圓心在直線x xy y0 0上且與y軸相切于點(diǎn)(0,(0, 1)1)的圓的方程是(A A)(x(x 1)1)2(y(y1)1)21 1(B B) (x(x 1)1)2(y(y1)1)21 1(C C)(x(x 1)1)2(y(y 1)1)22 22(D D) (x(x 1)1)(y(y1)1)22 2(5)直線l過

3、拋物線y22x的焦點(diǎn)F,且I與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A(X1,yJ，B(x2, y2)若為x23，則弦AB的長(zhǎng)是(A A)4( B B)5(C C)6( D D)8(6)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，若bn2an，則“d 0”是“bn為遞減數(shù)列”的(A A)充分而不必要條件(B B)必要而不充分條件(C C)充分必要條件(D D )既不充分也不必要條件(7)已知函數(shù)f(x)= sin(2x-n)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是6(A A)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(士,0)中心對(duì)稱12第2頁(B)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x= -n對(duì)稱8(C)函數(shù)f (x)在區(qū)間(-(-n n 內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)(D)函數(shù)f (

4、x)在區(qū)間卜n,0上單調(diào)遞增2(8(8)圭表(如圖 1 1)是我國(guó)古代一種通過測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺(稱為“圭”)當(dāng)正午太陽照射在表上時(shí)， 日影便會(huì)投影在圭面上， 圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至， 日影長(zhǎng)度最短的那一 天定為夏至.圖 2 2 是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角(即ABC)為 26.526.5，夏至正午太陽高度角(即ADC)為 73.573.5。，圭面上冬至線與夏至線之間的距離(即DB的長(zhǎng))為a，則表高(即AC的長(zhǎng))為(第 8 8 題圖)oo(C

5、)(C)a tan 26.5 tan 73.5 tan 47on(9)在平行四邊形ABCD中，A= 3,AB=2,AD1，若M，N分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，且UUUrUULT滿足LBUF-!LCU-J， 貝yAMIAN的最大值為|BC| |CD|(A A) 2 2( B B) 4 4(10(10)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)任意xiD,為常數(shù))成立，那么稱函數(shù)f(x)在D上具有性質(zhì)f (x) 3x；f (x) 3x；(C C) 5 5(D D) 6 6都存在唯一的xD，使得f(xi) f(X2) m( m mm現(xiàn)有函數(shù)：f(x) log3x；f(x) tan x其中，在其定義域上具有性質(zhì)

6、m的函數(shù)的序號(hào)是夏至冬至(A(A) )asin532sin 47o(B(B)2sin 47oa sin53o(D)(D)ooasin26.5 sin73.5sin 47o第3頁(A)(B B)（第 1515 題圖）（D）第二部分（非選擇題 共 110110 分）、填空題共 5 5 小題，每小題 5 5 分，共 2525 分。(11(11)已知平面向量a (m,3),b (1,6)，若a P b，則m _（1212）在（JX丄）6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 _（用數(shù)字作答）x（第 1313 題圖）（1414） 已知雙曲線C的焦點(diǎn)為F1（0,2）,F2（0, 2）,實(shí)軸長(zhǎng)為 2 2,則雙曲線C的離心率是

7、_ ;若點(diǎn)Q是雙曲線C的漸近線上一點(diǎn)，且FQF?Q，則QF1F2的面積為_.CC（1515） 顆粒物過濾效率 是衡量口罩防護(hù)效果的一個(gè)重要指標(biāo)，計(jì)算公式為弋巴100%，其中CoutCout表示單位體積環(huán)境大氣中含有的顆粒物數(shù)量（單位：in d./ L）,Cin表示經(jīng)口罩過濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數(shù)量（單位：ind./ L）.某研究小組在相同的條件下，對(duì)兩種不同類型口罩的顆粒物過濾效率分別進(jìn)行了4 4 次測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如圖所示.圖中點(diǎn)Aj的橫坐標(biāo)表示第i種口罩第 j j 次測(cè)試時(shí)Cout的值，縱坐標(biāo)表示第i種口罩第 j j 次測(cè)試時(shí)Cn的值（i 1,2, j 1,2,3,4）.Cjuul

8、/L) 4口加* AHc第 3 頁該研究小組得到以下結(jié)論:（C C）（1313） 某四棱錐的三視圖如圖所示,1,那么該四棱如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為IL_卜_J._Lr!第5頁1在第 1 1 種口罩的 4 4 次測(cè)試中，第 4 4 次測(cè)試時(shí)的顆粒物過濾效率最高；2在第 2 2 種口罩的 4 4 次測(cè)試中，第 3 3 次測(cè)試時(shí)的顆粒物過濾效率最高；3在每次測(cè)試中，第 1 1 種口罩的顆粒物過濾效率都比第2 2 種口罩的顆粒物過濾效率高；4在第 3 3 次和第 4 4 次測(cè)試中，第 1 1 種口罩的顆粒物過濾效率都比第2 2 種口罩的顆粒物過濾效率低.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 _ .注：本題給

9、出的結(jié)論中，有多個(gè)符合題目要求.全部選對(duì)得 5 5 分，不選或有錯(cuò)選得 0 0 分，其他得 3 3 分.三、解答題共 6 6 小題，共 8585 分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(1616)(本小題 1414 分)已知an是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,且a51 , _若存在正整數(shù)n，使得Sn有最小值.(I)求an的通項(xiàng)公式；()求Sn的最小值.從a31，d 2，d 2這三個(gè)條件中選擇符合題意的一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面問題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分第6頁(17(17)(本小題 1414 分)如圖，在五面體ABCDEF中，面ABCD是正方形,?EDC

10、n. .3(I)求證：ADA平面CDEF；(n)求直線BD與平面ADE所成角的正弦值；(川)設(shè)M是CF的中點(diǎn)，棱AB上是否存在點(diǎn)G, 使得MG/平面ADE?若存在，求線段AG的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.(18(18)(本小題 1414 分)近年來，隨著5G網(wǎng)絡(luò)、人工智能等技術(shù)的發(fā)展，無人駕駛技術(shù)也日趨成熟為了盡快在實(shí)際生活中應(yīng)用無人駕駛技術(shù)，國(guó)內(nèi)各大汽車研發(fā)企業(yè)都在積極進(jìn)行無人駕駛汽車的道路安全行駛測(cè)試.某機(jī)構(gòu)調(diào)查了部分企業(yè)參與測(cè)試的若干輛無人駕駛汽車，按照每輛車的行駛里程( (單位：萬公里) )將這些汽車分為4組:5,6),6,7),7,8),8,9并整理得到如下的頻率分布直方圖：(I)求 a

11、 a 的值；(n)該機(jī)構(gòu)用分層抽樣的方法，從上述4組無人駕駛汽車中隨機(jī)抽取了10輛作為樣本.從樣本中行駛里程不小于7萬公里的無人駕駛汽車中隨機(jī)抽取2輛，其中有X輛汽車行駛里程不小于8萬公里，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(川)設(shè)該機(jī)構(gòu)調(diào)查的所有無人駕駛汽車的行駛里程的平均數(shù)為駕駛汽車中隨機(jī)抽取10輛作為樣本，其行駛里程的平均數(shù)為1；若用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從上述無人駕駛汽車中隨機(jī)抽取10輛作為樣本，其行駛里程的平均數(shù)為2.有同學(xué)認(rèn)為ADADE,AD= 4,DE = EF = 2，且0若用分層抽樣的方法從上述4組無人第7頁你認(rèn)為正確嗎？說明理由.(19(19)(本小題 1414 分)(n)已知過點(diǎn)P(4

12、,0)的直線I與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B，與直線x 1交于點(diǎn)Q，設(shè)uuiruuuAQ QB (,R)，求證：為定值.(2(2 0 0)(本小題 1515 分)已知函數(shù)f(x) 2sinx xcosx ax (a R).(I)若曲線y f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線的斜率為1.(i)求a的值；(ii)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,n內(nèi)有唯一極值點(diǎn)；(n)當(dāng)a 1時(shí)，證明：對(duì)任意x (0,n, f(x)f(x)0 0 .(2121)(本小題 1414 分)設(shè)集合A 3,比43,印，其中 ,a?,a3,是正整數(shù)，記SA a?比 印.ajA(1 i j 4),若存在整數(shù)k,滿足k(a a)

13、SA,則稱a,a整除SA,設(shè)皿是滿足a,的數(shù)對(duì)(i, j) (i j)的個(gè)數(shù).(I)若A 1,2,4,8,B 1,5,7,11，寫出皿，血的值；(n)求nA的最大值；2已知橢圓C:鄉(xiāng)a(I)求橢圓C的方程；2y1(a b b0)的離心率為，且橢圓2uuu uuuAP PB,對(duì)于a,aj整除SAC經(jīng)過點(diǎn)第8頁(川)設(shè)A中最小的元素為 a a,求使得nA取到最大值時(shí)的所有集合A.第9頁第一部分（選擇題共 4040 分）、選擇題（共 1010 小題，每小題 4 4 分，共 4040 分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）（I I） B B（ 2 2）B B（ 3 3）D D（ 4 4

14、）A A（ 5 5）A A（6 6）C C（ 7 7）C C（ 8 8）D D（ 9 9）C C（ 1010）A A第二部分（非選擇題共 110110 分）、填空題（共 5 5 小題，每小題 5 5 分，共 2525 分）1（IIII） （ 1212）15（ 1313）122（1414）2；2 3（ 1515）三、解答題（共 6 6 小題，共 8585 分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）（1616）（本小題 1414 分）解：（不可以選擇作為補(bǔ)充條件 . .）選擇作為補(bǔ)充條件 解答如下：（I）因?yàn)閍51,aa1，所以d 1.所以an1 （n 5） 1 n 4（n N ）.（n）由（I

15、）可知a 3.所以Sn：和和1n（n 7）.因?yàn)閚 N，所以當(dāng)n 3或4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為6.故存在正整數(shù)n 3或4，使得Sn有最小值，最小值為6.選擇作為補(bǔ)充條件北京市朝陽區(qū)高三年級(jí)高考練習(xí)二數(shù)學(xué)參考答案2020.2020. 6 61414第10頁解答如下：（I）因?yàn)閍51,d 2,所以an1 (n 5) 2 2n 9 (n N ).(n)由(I)可知a,7.所以Snn(a,a.)2n28n.所以當(dāng)n 4時(shí),Sn取得最小值，最小值為16.故存在正整數(shù)n 4，使得Sn有最小值，最小值為16.（1717）（本小題 1414 分）解：（I）因?yàn)锳BCD是正方形，所以ADACD又因?yàn)锳DA

16、DE,DEi平面CDEF,CDi平面CDEF,CD I DE = D,所以ADA平面CDEF.4 4 分(n) 由（I）知，ADA平面CDEF, ,所以平面ABCDA平面CDEF.過點(diǎn)E作EOA CD， 垂足為O, 則OEA平面ABCD.在平面ABCD內(nèi)，過O作OHACD,則OEAOH.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O- xyz,因?yàn)锳D =扌，所以DO=1,OE=3.則A(4,- 1,0),B(4,3,0),C(0,3,0),D(0,- 1,0),E(0,0,. 3),uuuuunuur所以AD = (- 4,0,0),AE= (- 4,1, . 3),BD = (- 4,- 4,0).設(shè)平面、uu

17、u加n?AD則 /uun?n?AE令y 3,ADE0,0.的一個(gè)法向量為n = （x, y, z）,4x = 0,4x+ y + . 3z= 0.1，于是n= (0, 3,- 1).設(shè)直線BD與平面ADE所成角為q,第11頁所以直線BD與平面ADE所成角 的正弦值為6. 1010 分4(川)棱AB上存在點(diǎn)G，使得MG/平面ADE，此時(shí)AG= 3理由如下：因?yàn)镈C/AB,DC?平面ABFE,ABi平面ABFE,所以DC/平面ABFE因?yàn)镈Ci平面DCFE，平面DCFEI平面ABFE = EF,所以DC/EF5&由(H)知，F(xiàn)(0,2, ,3),M(0,5,).2 2、uuuuuu5J J

18、3 3設(shè)G(4, y1,0) (- 1#y13)，則 MGMG = = (4,(4, y y1- - , , - -) ) 2 2 2 2由(n)知，平面ADE的一個(gè)法向量為n =(0, .3,-1)uuul5若MG 平面ADE，則MG?n 0,即、3( y1-)+= 0,解得y1= 2，即G (4,2,0)2 2經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)MG/平面ADE所以棱AB上存在點(diǎn)G,使得MG/平面ADE,此時(shí)AG= 3(1818)(本小題 1414 分)解：(I)由題意知，1 (0.1 0.2 0.4 a) 1，所以a 0.3分(n)4組無人駕駛汽車的數(shù)量比為1:243，若使用分層抽樣抽取10輛汽車,則行駛里程在

19、7,8)這一組的無人駕駛汽車有10 4輛,10行駛里程在8,9這一組的無人駕駛汽車有10 3輛.10由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2所以X的分布列為X012P241uun則sinq= |cos |=uuu|n BD |tiuu =|n |BD|4/3 = 4624/241414 分P(X0)C72P(X1)c；cP(X 2)C；第12頁777第13頁241所以X的數(shù)學(xué)期望E(X) 0 -1- 2-777(川)這種說法不正確.理由如下:1111由于樣本具有隨機(jī)性，故1，-是隨機(jī)變量，受抽樣結(jié)果影響.因此有可能1更接近0，也有可能-更接近0,所以|01| |0-|不恒成立.所以這1414(

20、19(19)(本小題 1414 分)解：(I)由題意可知(f)21,得b22,a22 2所以橢圓C的方程為1.42分(n)由題意可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線丨的方程為y k(x 4).y k(xx 14),得1,所以Q(1,3k).k(x2y244得2(kx 4k)24. .整理得(1 2k2)x216k2x (32k24) 0. .則x-ix216k2-,x21 2k2232k241 2k2uuu因?yàn)锳Puuu uurPB,AQuuu uuuQB且APuuu(4為，yj,PB(X24, y2),第14頁故此時(shí)f (x)在區(qū)間(n,n內(nèi)有唯一極大值點(diǎn)X0.2所以因?yàn)?. .(20(20) (

21、本小題f (X)值點(diǎn);UULTAQ (1 3k yj,uuuQB (x21,y23k),4 x11 x1x24 x215(x1x2) 2X1X28(X24)(x1)5(xiX2)1515 分)2cosx(cosx2x1x280k2(4 xJ(X21) (1人)化4)(X216k21 2k2264k81 2k2cosx xsinx a.4)(X21)81 2k216k20,1414 分f (x) 2sin x xcosx ax因?yàn)榍€y f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線的斜率為所以f (0) 1，即1 a 1,故a 0.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.(ii ) )由(i)可知f (x) 2sin x

22、 xcosx,f (x)設(shè)g(x) f (x)，則g (x) xcosx.令g (x)0，又X (0,n，得Xn，、八當(dāng)x (0,-)時(shí)，g (X)0；當(dāng)Xn所以g(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，在2又g()1,g(n)nn因此，當(dāng)X (0,-時(shí),當(dāng)x(亍，n時(shí)，g(x)n且易知當(dāng)x(2必)時(shí),1,cosx xsinx.,g(n可,n時(shí),g(x) 0,n(,n內(nèi)單調(diào)遞減.2g(x) g(0)0,即f (x)0,此時(shí)0有唯一解X0，即f (x) 0有唯一解f (x)0，當(dāng)X (X0,n時(shí)，f (x)f (x)在區(qū)間(0,-上無極2X0,第15頁綜上可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,n內(nèi)有唯一極值點(diǎn).10

23、10 分(n) 因?yàn)閒 (x) cosx xsinx a，設(shè)h(x) f (x)，則h (x) xcosx.令h(x) 0,又x (0,n，得x二且當(dāng)x (0,n)時(shí)，h(x) 0；當(dāng)x (- , )時(shí)，h(x) 0,2 2 2所以f (x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增，在(匸，n內(nèi)單調(diào)遞減.2 2當(dāng)a 1時(shí)，f (0)1 a 0,f () a 0,f ( )1 a.2 2(1 1 )當(dāng)f ( )1a0，即a 1時(shí)，f (x)0.此時(shí)函數(shù)f (x)在(0,n內(nèi)單調(diào)遞增，f (x) f (0)0；(2 2)當(dāng)f ( )1a0，即1 a 1時(shí)，因?yàn)閒 (0)1 a 0,f ( ) a 0,2 2所以，在(0,n)內(nèi)f(X)0恒成立，而在區(qū)間(-,