2019屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校高三下學期第一次模擬考試數(shù)學(文)試題(解析版)

1、第1 1頁共 2323 頁2019 屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校高三下學期第一次模擬考試數(shù)學（文）試題一、單選題1 1.若復數(shù) Z Z 滿足z 1 i 5 3i，其中i為虛數(shù)單位，則 z z 的虛部為（）（）【答案】C C【解析】利用復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)即可求解【詳解】所以復數(shù) z z 的虛部為-1.-1.故選：C C【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算和概念；考查運算求解能力；屬于基礎題【解析】利用對數(shù)函數(shù)y log2X的單調性和分式不等式的解法求出集合代B,再由補集的定義和集合的交運算求解即可 【詳解】由題意知，A x|x 2,B x| 1 x 5,由補集的定義知，x| x

2、2,所以B qA x | 1 x 2. .故選：D DB B.iC C. -1-15 3iz1 i(5 3i)(1 i)22 2.已知集合A x|log2x 1,BA A.x|2 x 5C C.x| 1 x 2【答案】D Dx 5x|0，則BERA( () )x 1B B.x| 1 x 5D D.x| 1 x 2第2 2頁共 2323 頁【點睛】利用對數(shù)函數(shù)的單調性解不等式和簡單分式不等式的解法；考查運算求解能力；屬于基礎題 3 3 如圖為某市國慶節(jié) 7 7 天假期的商品房日認購量（單位：套）與日成交量（單位：套）亠認購成交A A .日成交量的中位數(shù)是 1616B B .日成交量超過日平均成交

3、量的有1 1 天C C .日認購量與日期是正相關關系D D .日認購量的方差大于日成交量的方差【答案】D D【解析】 根據(jù)折線圖中的數(shù)據(jù)進行逐項分析即可 【詳解】7 7 天假期的商品房認購量為： 9191、100100、105105、107107、112112、223223、276276;對于選項 A A : 7 7 天 假期的日成交量為： & & 1313、1616、2626、3232、3838、119119，所以日成交量的中位數(shù)是 2626,故 選項 A A 錯誤；對于選項 B B :日平均成交量為：13 8 32 16 26 38 11936，有 2 2 天日成交7量超過

4、日平均成交量，故選項B B 錯誤；對于選項 C C：根據(jù)圖形可得，隨著日期變大，日認購量是先下降后上升，所以日認購量與日期不是正相關，故選項 C C 錯誤；對于選項 D D :由圖中的數(shù)據(jù)可得，日認購量的波動程度明顯大于日成交量的波動程度，所以日認購量的方差大于日成交量的方差，故選項D D 正確. .故選：D D【點睛】本題考查利用折線圖求樣本的中位數(shù)、平均數(shù)及方差等數(shù)字特征；考查運算求解能力和數(shù)據(jù)分析能力；熟練掌握樣本數(shù)字特征的有關概念和計算公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題. .xx114 4 .已知命題p:X N*, -1（e e 為自然對數(shù)的底數(shù)）；命題q:x R,本題考第3 3頁共 2

5、323 頁2e第4 4頁共 2323 頁31 x2 3 則下列命題是真命題的是 （）B B.x1- 對x N*成立，故命題P為真命題;e2. 3x31x2 3，當且僅當3x31 x取等號,1時等號成立，故命題q為真命題. .2由復合命題真假判斷方法可知，故選：A A【點睛】解能力和知識的綜合運用能力；正確判斷命題p,q的真假是求解本題的關鍵；屬于中檔5 5 已知函數(shù)f x x 2 ax b為偶函數(shù)，且在0,上單調遞減，則x x 0 0 的解集為（）1,3,1 U 1,【答案】2，解關于x的不等式即可 【詳解】使得3x【答【解利用條件判斷命題P,q的真假，結合復合命題真假關系的判斷方法進行判斷即

6、【詳因為幕函數(shù)nx ,n在0,上為增函數(shù),因為3x31 x即當且僅當P q為真命題，p q,pq均為假命題. .本題考幕函數(shù)的單調性和基本不等式的運用；考查運算求1,1,【解根據(jù)題意, 由函數(shù)的解析式可得0,結合函數(shù)f x的奇偶性和單調性可得,第5 5頁共 2323 頁ax bax2b 2a x 2b為偶函數(shù),2所以f x ax 2a b x 2b f x，可得b 2a 0,22f x ax 4a ax 4,f 20. .由f x為偶函數(shù)可得，fix 0 f 2f 1 x f 2, 由函數(shù)f x在0,上單調遞減可得，1 x 2，解得-1vx2-e2x2242二直線 I I 的方程為：y y-

7、e e2= e e2(x x- 2 2),取 y y= 0 0，可得 x x= 1 1.直線 I I 在 x x 軸上的截距為 1 1.故選：B B.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查計算能力，是中檔題 (1)(1)求切線方程的方法： 求曲線在點 P P 處的切線，則表明 P P 點是切點，只需求出函數(shù)在點P P處的導數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程；求曲線過點 P P 的切線，則 P P 點不一定是切點，應先設出切點坐標，然后列出切點坐標的方程解出切點坐標，進而寫出切線方程；(2)(2)處理與切線有關的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程并 解出參

8、數(shù)：切點處的導數(shù)是切線的斜率；切點在切線上；切點在曲線上 二、填空題X 2y41313 .已知x,y滿足2xy2，則z 2x y的最大值為3xy3【答案】2 2【解析】由題意，畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，目標函數(shù)z 2x y，化為y 2x z，結合圖象可知，直線y 2x z過點A時，目標函數(shù)取得最大值，即可求解 【詳解】由題意，畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)z 2x y，化為y 2x z,結合圖象可知，直線y 2x z過點 A A 時，目標函數(shù)取得最大值，2x y 2由y，解得 A(1,0)A(1,0)，所以目標函數(shù)的最大值為z 2 1 0 2. .第1717頁共 2323

9、 頁3x y 3【點睛】本題主要考查了利用簡單的線性規(guī)劃求最小值問題，其中對于線性規(guī)劃問題可分為三類（1 1）簡單線性規(guī)劃，包括畫出可行域和考查截距型目標函數(shù)的最值，有時考查斜率型或距離型目標函數(shù)；（2 2 ）線性規(guī)劃逆向思維問題，給出最值或最優(yōu)解個數(shù)求參數(shù)取值范圍；（3 3）線性規(guī)劃的實際應用，著重考查了考生的推理與運算能力，以及數(shù)形結合思想 的應用1414.設計下面的實驗來估計圓周率的值：從區(qū)間0,1內隨機抽取 200200 個實數(shù)對x,y，其中x,y, 1 1 三個數(shù)能構成三角形且為鈍角三角形的數(shù)對x, y共有 5858 個，則用隨機模擬的方法估計的近似值為_ . .【答案】7925【解

10、析】根據(jù)三角形的性質求出x, y滿足的條件，得出數(shù)對x,y所對的平面區(qū)域，根據(jù)模擬法計算此區(qū)域的面積即可求解 【詳解】因為x,y, 1 1 組成鈍角三角形，且x, y 0,1,所以 x x y y 1 1 且x2y21, 在平面直角坐標系中作出邊長為1的正方形和單位圓，則符合條件的數(shù)對表示的點的區(qū)域為陰影部分弓形，如圖所示:1 58所以陰影部分的面積為1,42200第1818頁共 2323 頁792579故答案為：7925【點睛】本題考查利用模擬方法估計與面積有關的幾何概型的概率；考查運算求解能力和數(shù)形結合思想；熟練掌握與面積有關的幾何概型概率公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題、常 考題型 15

11、15 已知圓錐的頂點為S，母線SA與圓錐底面所成的角為 3030，若圓錐的體積為8則此圓錐的側面積為_. .【答案】8 3【解析】根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形，設圓錐的高為h，利用h表示出底面半徑和母線長，利用圓錐的體積公式求出h，代入圓錐的側面積公式求解即可 【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：設圓錐的高為h，則底面半徑為r、3h，母線長I 2h,由圓錐的體積公式可得，V圓錐=】Sh -Gh彳h 8,33解得h 2,r2,3,丨4，所以所求圓錐的側面積為S側面=rl 2、-3 4 8 3. .故答案為：83【點睛】本題考查圓錐的體積和側面積公式；考查運算求解能力和空間想象能力；熟練掌握圓錐的體積和側面

12、積公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題111616.正項數(shù)列an滿足a-1,a2，且anan 1是公比為-的等比數(shù)列，則使不33解得第1919頁共 2323 頁an比為 3 3 等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列前n n 項和公式和不等式的解法即可求解【詳解】n1 3n 112 332，3所以3n 122019，可得3n 12021，解得n 6，即最小整數(shù)n為 6.6.故答案為：6 6【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義、通項公式和前n n 項和公式；考查運算求解能力；熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前 n n 項和公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題 . .三、解答題1717 已知菱形ABCD中，DAB 60,E是邊B

13、C上一點，線段DE交AC與點F. .丄a3a2n 1【答案】6 62019成立的最小整數(shù)n為【解析】利的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別成公因為數(shù)列anan是公比為1的等比數(shù)列,3所以52anan 1an 21云3，則an 233，所以數(shù)列的奇數(shù)項，偶數(shù)項分別成公比為3 3 等比數(shù)列,因為an1丄32所以丄丄a?a3a2n 1323n3 323n丄a2第2020頁共 2323 頁AB(1 1) 若DCE的面積為週,DE J3，求菱形的邊長AB.2(2 2) 若CF 8，求cos DFC.DF 5【答案】(1 1) 2 2; ( 2 2)4邁.1010【解析】 (1 1)在DCE中，設CD x,CE y x

14、y，利用三角形的面積公式和余弦定理分別建立關于x,y的方程，解方程即可求解;(2 2)在DCF中，利用正弦定理求出sin CDF，然后利用同角三角函數(shù)的基本關系求出cos CDF，再利用兩角和的余弦公式即可求解 【詳解】(1 1)在DCE中，設CD x，CE y x y,則S - xysin 603，二xy 2，2 2由余弦定理可得，DE2x2y22xy cos60,二x2y25，解得x 2,y 1, 所以菱形的邊長AB為 2.2.(2)在DCF中，由題意知，DCF 30o,CF4 sin CDFsin 30oDF5E是邊BC上一點，所以CDE CDB 60o,由兩角和的余弦公式可得,由正弦定

15、理可得,CFDFsin CDFsin 30o- cos CDF33，因為DFCCDF 30o所以cosCDF 30ocos CDF 30ocos CDF 30ocos CDF cos30osinCDF sin30第2121頁共 2323 頁3 33 34 4 1 13.33.3 4 45 52 25 5 2 21010 ，所以COS DFC4 33即為所求1010【點睛】本題考查利用正余弦定理解三角形、 三角形的面積公式和兩角和的余弦公式； 考查運算 求解能力；熟練掌握正余弦定理和三角形的面積公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題 1818 如圖，在四棱錐P ABCD中，AB/CD ,AB 1 ,C

16、D3 , AP 2 ,DP2 3，（2 2）若直線PA/平面MBD，求此時三棱椎A BDM的體積 【答案】（1 1）證明見解析；（2 2）二 3.3.2【解析】（1 1）利用正弦定理和三角形的內角和定理證得DP AP，結合AB DP,利用線面垂直的判定定理證得DP平面PAB，再由面面垂直的判定定理即可證明；1（2 2）如圖所示，連接AC交BD于N，連接NM，可證明ABN CDNCDN , ,PM PC, ,4亠3由VABDMVMBDA -VP ABD，作PO AD于點0,可證PO平面ABD，代入題4中的數(shù)據(jù)進行計算, 即可求出A BDM的體積【詳解】（1 1）證明：因為AB平面PAD，所以AB

17、DP,因為DP 2込,AP2,PAD 60,由正弦定理可得，PDPA解得sinPDA1sinPADsin PDA2，所以PDA 30APD90，即DPAP,因為ABI APA，所以DP平面PAB,因為DP平面PCD第2222頁共 2323 頁所以平面PAB平面PCD. .第2323頁共 2323 頁(2(2)如圖：連接AC交BD于N，連接NM,P因為直線PA/平面MBD，過PA的平面PAC與平面MBD的交線為NM,由線面平行的性質定理可得，PA/NM,在梯形ABCD中，因為AB/CD，AB 1，CD 3，所以VABDM討窗；竽 于即為所求【點睛】本題考查線面垂直的判定和性質、線面平行的性質、面

18、面垂直的判定和等體積法求棱錐的體積；考查邏輯推理能力和運算求解能力；熟練掌握線面垂直的判定定理和性質定理、 面面垂直的判定定理是求解本題的關鍵；屬于中檔題1919 某大學就業(yè)部從該大學 20182018 年畢業(yè)且已就業(yè)的大學本科生中隨機抽取了100100 人進行了問卷調查，其中有一項是他們的薪酬，經(jīng)調查統(tǒng)計，他們的月薪在 30003000 元到 1000010000元之間，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到如下頻率分布直方圖：所以ABN CDNCDN，即ANNCABCD因為PA/NM，所以ANNCPM 1MC 3MC33,即VABDMVM BDAVP ABD,PC44作POAD于點O，因為AB平面PAD,所以A

19、BPO，因為AB ADA,所以PO平面ABD,AP，AP 2，DP2、3，所以AD 4, PO 13，所以VP ABD1 PO SABD32.33在APD中，由(1 1)知，DP第2424頁共 2323 頁若月薪在區(qū)間x 2s, x 2s的左側，則認為該大學本科生屬就業(yè)不理想”的學生，學 校將與本人聯(lián)系，為其提供更好的指導意見 其中X，s分別是樣本平均數(shù)和樣本標準差， 計算得s1500（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（1 1） 現(xiàn)該校 20182018 屆本科畢業(yè)生張靜的月薪為 36003600 元，判斷張靜是否屬于 就業(yè)不理想” 的學生？用樣本估計總體， 從該校 20182018

20、屆本科畢業(yè)生隨機選取一人， 屬于 就業(yè)不理想” 的概率？（2 2） 為感謝同學們對調查的支持配合，該校利用分層抽樣的方法從樣本的前3 3 組中抽 出6 6 人，每人贈送一份禮品，并從這 6 6 人中再抽取 2 2 人，每人贈送新款某手機 1 1 部，求 獲贈手機的2 2 人中恰有 1 1 人月薪不超過 50005000 元的概率. .3【答案】（1 1）屬于，0.03250.0325；（ 2 2）. .5【解析】（1 1）結合頻率分布直方圖，代入平均數(shù)公式求出X，結合s 1500，求出x 2s, x 2s與 36003600 進行比較即可判斷張靜是否屬于就業(yè)不理想”的學生，進而求出屬于就業(yè)不理

21、想”的概率；（2 2）分層抽樣從前 3 3 組抽取 6 6 人，分別 1 1 人，2 2 人，3 3 人，記為 1 1, 2 2，3 3，4 4，5 5, 6 6， 利用列舉法求出總的基本事件數(shù)和贈手機的2 2 人中恰有 1 1 人月薪不超過 50005000 元包含是基本事件數(shù)，代入古典概型概率計算公式即可求解【詳解】（門 由頻率分布直方圖可知，x 3500 0.05 4500 0.1 5500 0.15 6500 0.37500 0.2 8500 0.15 9500 0.05 6650，因為s 1500，所以x 2s, x 2s 3650,9650，因為3600 3650，所以張靜屬于 就

22、業(yè)不理想”的學生. .屬于就業(yè)不理想學生的概率：P 3650 3000 0.00005 0.0325. .（2 2）分層抽樣從前 3 3 組抽取 6 6 人，分別 1 1 人，2 2 人，3 3 人，記為 1 1, 2 2，3 3，4 4，5 5, 6.6.6 6 人中選 2 2 人包含的基本事件為1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,3 , 2,4 , 2,5 ,2,6 , 3,4 , 3,5 , 3,6 ,4,5 ,4,6 , 5,6共有 1515 種選法，恰有 1 1 人不超過 50005000 的結果為第2525頁共 2323 頁1,4 , 1,5 , 1,6

23、 , 2,4 , 2,5 , 2,6 , 3,4 , 3,5 , 3,6共 9 9 種，由古典概型概率計算公式可得，93贈手機的 2 2 人中恰有 1 1 人月薪不超過 50005000 元的概率P. .155【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖求樣本的平均數(shù)和利用列舉法求古典概型概率；考查運算求解能力和數(shù)據(jù)分析能力；熟練掌握樣本的平均數(shù)公式和古典概型概率計算公式是求解 本題的關鍵；屬于中檔題 22J2020 已知橢圓C:務萼1 a b 0的離心率為，且經(jīng)過點2,1. .a2b22(1) 求橢圓C的方程；(2) 過點P 0,2作直線交橢圓C于A,B兩點，若點B關于y軸的對稱點為B, 證明直線AB

24、過定點. .2 2【答案】(1 1) L1； (2 2)證明見解析. .42【解析】(1 1)根據(jù)離心率得到a, b,c之間的關系，把點.2,1代入橢圓C方程即可求解；(2 2)分直線AB的斜率存在和不存在兩種情況進行證明：當AB不垂直于x軸時，設直線AB:y kx 2 k 0與橢圓C方程聯(lián)立，設A x1,y1,B x2,y2，則B X2,y2，利用韋達定理進行證明即可；當AB垂直于x軸時，AB即y軸，過0,1【詳解】(1) 由題意，a、2c，二b c,2 2所以橢圓C的方程為- 塔1,2 22c c把點2,1代入橢圓C的方程可得c兀，2 2所求橢圓C的方程為1. .42(2) 證明：當AB不

25、垂直于x軸時，設直線AB:y kx 2 k 0第2626頁共 2323 頁y kx 2聯(lián)立方程x2y2，可得2k21 x28kx 4 0,1422 2 218k 4 4 2k 10可得，k2，yy2直線AB的方程為：y力 -xx-ix2y1y2令x 0,yy1-x1x-1x2直線AB過定點0,1， 當AB垂直于x軸時，AB即y軸，過0,1綜上可知，直線AB過定點0,1. .【點睛】本題考查橢圓的幾何性質及其標準方程、直線與橢圓的位置關系中的定點問題；考查運算求解能力和分類討論思想；熟練掌握橢圓及其性質是求解本題的關鍵；屬于綜合型、難度大型試題 2121 .已知函數(shù)f X2x axIn x a

26、R. .(1 1)當a3時, 求f X的極值；(2 2)若X1,X2X1X2是函數(shù)f x的兩個極值點，求f X2f X!的取值范圍 【答案】(1 1)f X5極大值4ln 2,f x極小值2；(- -),0. .【解析】(1 1) 由題意知，函數(shù)f x的定義域為0,，對函數(shù)f X進行求導，利用導數(shù)f x判斷函數(shù)f x的單調性并求其極值即可；設A X1,y1,B X2, y2,則B%2,丫2,kAB%y2x-ix2由韋達定理可得,8kX1X22k21，X1X242k21X2x1kx22x2kx-!2X1X2X1X22k x?2為為X2X22X2X22k-2k218k2k211 2 1。第2727

27、頁共 2323 頁(2 2)對函數(shù)fx進行求導，設g x 2x ax 1，根據(jù)函數(shù)極值點的定義轉化為第2828頁共 2323 頁0有二不等正根xi,x2，利用一元二次方程根的分布的相關知識求出【詳解】所以可得x, f x , f x之間的關系如下表:x0,2121 1刁11 11,1,f x0 00 0f x極大值極小值由表中的數(shù)據(jù)可知,f x極大值f125 ln42,fxf 1極小值2. .(2 2) 由題意知，f x 2x1 a -22x2ax 10,XxX設g x2x2ax 1,因為函數(shù)f x存在兩個極值點X1,X2為X2,所以g x 0有二不等正根x1,x2,a280a0，解得a2、2

28、，4g 010因為人,X2是方程2x2ax 1 0的兩根,a的取值范圍，利用韋達定理求出x,X,X2之間的關系，通過作差求出X2f X1的表達式，設tx；t -，則h t211tln2t t，通過構造函數(shù)h t并對其求導判斷4t2單調性求其最值即可求出f X2f x-的取值范圍(1(1)由題意知，函數(shù)x的定義域為0,因為f x2x 3丄x22x23x 1x2x 1 x 1x第2929頁共 2323 頁由韋達定理可得，x2a2 2，x1x2，二x2本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和極值、最值，一元二次方程根的分布問題和函數(shù) 構造法的運用；考查運算求解能力、轉化與劃歸能力；熟練掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)

29、的單調性并求極值、最值的方法是求解本題的關鍵；屬于綜合型、難度大型試題. .1 -t5sin24cos 0,直線I與曲線C交于A,B兩點 (1)求直線I的普通方程及曲線C的直角坐標方程;1 1(2 2)已知P 1, 1,求芮的值. .【答案】(1 1)y24x,4x 3y 70；( 2 2)蟲7. .15【解析】(1 1)利用參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化公式化簡求解即可；(2 2)聯(lián)立直線的參數(shù)方程與曲線C的直角坐標方程，得到關于t的一元二次方程，利 用韋達定理和參數(shù)t的幾何意義求解即可. .2由2xiaxi10可得,2 2x-ix-ia音In xx1In音1,2由2冷ax21 0可得，f x22 2x2ax2In x2x2In x?1f x2f x-ix2x2InX122x22In 2x2,4x2, 2 11設tX2t，則h tt24t所以h t1121(2t1)224tt4t- h t h10, 即fX2fx2In 2t t -,20, ht在2,上單調遞減,2222 .已知直線I的參數(shù)方程為1 3t5(t為參數(shù))，曲線C的極坐標方程為的取值范圍為,0【點第3030頁共 2323 頁【詳解