橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、編輯ppt天體的運(yùn)行天體的運(yùn)行編輯ppt如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的橢橢圓圓一一橢圓的畫法橢圓的畫法編輯pptF1F2編輯ppt一、橢圓的定義：一、橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)的距離的和等于常數(shù)（大于（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距.問題問題1：當(dāng)常數(shù)等于當(dāng)常數(shù)等于|F1F2|時(shí)時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)M的軌跡的軌跡 是什么？是什么？

2、問題問題2：當(dāng)常數(shù)小于當(dāng)常數(shù)小于|F1F2|時(shí)時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)M的軌跡的軌跡 是什么？是什么？線段線段F1F2軌跡不存在軌跡不存在編輯ppt1、橢圓的定義：、橢圓的定義： 平面內(nèi)到平面內(nèi)到兩兩個(gè)定點(diǎn)個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之的距離之和和等于等于常常數(shù)數(shù)（大于（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓橢圓。 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的叫做橢圓的焦距焦距。1F2FM幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明：1、F1、F2是是兩個(gè)不同的定點(diǎn)兩個(gè)不同的定點(diǎn)；2、M是橢圓上任意一點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且，且|MF|MF1 1| + |MF| + |MF2 2|

3、 = | = 常數(shù)常數(shù)；3、通常這個(gè)通常這個(gè)常數(shù)常數(shù)記為記為2a，焦距焦距記為記為2c，且，且2a2c（？）；（？）；4、如果如果2a = 2c，則，則M點(diǎn)的點(diǎn)的軌跡是線段軌跡是線段F1F2.5、如果如果2a 2c)的動的動點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡方程。的軌跡方程。 解：以解：以F1F2所在直線為所在直線為X軸，軸， F1F2 的中的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為(-c,0)、 (c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 設(shè)設(shè)M（x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則則:|MF1|+ |MF2|=2aaycxy

4、cx2)()(:2222即編輯pptOXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)兩邊平方得：兩邊平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因?yàn)橐驗(yàn)?a2c，即，即ac，所以，所以a2-c20，令，令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式可得：，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)( :ycxycxaaycx兩邊平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以a2b2得：得：(ab0)這個(gè)方程叫做這個(gè)方

5、程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x 軸上。軸上。編輯pptaA1yOF1F2xB2B1A2cb三、三、橢圓方程的幾何意義：橢圓方程的幾何意義：xyo1F2F0 12222babyax編輯ppt如果橢圓的如果橢圓的焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上軸上，焦點(diǎn)是焦點(diǎn)是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎樣呢？方程是怎樣呢？橢圓的第二種形式橢圓的第二種形式：1oFyx2FM0 12222babxay編輯ppt0 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F( (c，0)0)在軸上在軸上F(0(0，c) )在軸上在軸上a,b,

6、c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 義義12yoFFMx1oFyx2FM四、兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的對照表：注注: :哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的哪條坐標(biāo)軸上！哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的哪條坐標(biāo)軸上！編輯pptOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1（3）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)

7、a、b、c滿足滿足a2=b2+c2。（4）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的的值。值。（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪 一個(gè)軸上。一個(gè)軸上。編輯ppt例例 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) a =4，b=1，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在 x 軸軸上上； (2) a =4，b=1，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； 11622 yx11622yx11622yx或、編輯ppt例例2、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)

8、兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（）、（4，0），）， 橢圓上一點(diǎn)橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于到兩焦點(diǎn)距離之和等于10。(2)兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（）、（2，0），）， 且橢圓經(jīng)過點(diǎn)且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P 。)23,25(編輯ppt(1)兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（）、（4，0），橢），橢圓上一點(diǎn)圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于到兩焦點(diǎn)距離之和等于10。解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在X軸上，所以可設(shè)它的方程軸上，所以可設(shè)它的方程 為：為：)0(12222babyax2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=

9、a2-c2=52-42=9所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：192522yx編輯ppt(2)兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（）、（2，0），且），且 橢圓經(jīng)過點(diǎn)橢圓經(jīng)過點(diǎn)P 。解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在X軸上，所以可設(shè)它的方程為：軸上，所以可設(shè)它的方程為：)0(12222babyax由橢圓的定義可知：又因又因 c=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1 16 6y y1 10 0 x x2 22 2)23,25(102)23()225()23()225(22222a1 10 0所所以以a a 故故 b2=a2-c2=10-22=6編輯p

10、pt課堂練習(xí)2：11625)1(22yx11)5(2222mymx11616)3(22yx0225259)4(22yx123)2(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示橢圓？口答：下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？則判定其焦點(diǎn)在何軸？并指明并指明 ，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).?編輯ppt1、方程、方程 ，分別求方程滿足下列條件，分別求方程滿足下列條件的的m的取值范圍：的取值范圍： 表示一個(gè)圓；表示一個(gè)圓；1m16ym25x2229 mmmmm1625016025析：方程表示圓需要滿足的條件：析：方程表示圓需要滿足的條件：編輯ppt1、方程

11、、方程 ，分別求方程滿足下列條件，分別求方程滿足下列條件的的m的取值范圍：的取值范圍：表示一個(gè)圓；表示一個(gè)圓；表示一個(gè)橢圓表示一個(gè)橢圓；1m16ym25x2229)1(m292516mm且mmmm1625016025析：方程表示一個(gè)橢圓需要滿足的條件：析：方程表示一個(gè)橢圓需要滿足的條件：編輯ppt1、方程、方程 ，分別求方程滿足下列條件，分別求方程滿足下列條件的的m的取值范圍：的取值范圍：表示一個(gè)圓；表示一個(gè)圓；表示一個(gè)橢圓表示一個(gè)橢圓；1m16ym25x2229)1(m292516mm且mmmm1625016025析：方程表示一個(gè)橢圓需要滿足的條件：析：方程表示一個(gè)橢圓需要滿足的條件：編輯p

12、pt1、方程、方程 ，分別求方程滿足下列條件，分別求方程滿足下列條件的的m的取值范圍：的取值范圍：表示一個(gè)圓；表示一個(gè)圓；表示一個(gè)橢圓；表示一個(gè)橢圓；表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。軸上的橢圓。1m16ym25x2229)1(m292516)2(mm且2916m析：表示焦點(diǎn)在析：表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓需要滿足的條件：軸上的橢圓需要滿足的條件：mmmm1625016025編輯ppt_,1A22軸上的充要條件是表示焦點(diǎn)在表示橢圓的充要條件是思考：方程yByx解題感悟：解題感悟： 方程表示橢圓時(shí)要看清楚限方程表示橢圓時(shí)要看清楚限制條件，焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上。制條件，焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上。0, 0, 0BABA

13、BA編輯ppt練習(xí)練習(xí)3：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲線是焦點(diǎn)在表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸軸上的橢圓，求上的橢圓，求k的取值范圍。的取值范圍。1141142222kyxkyx得解：由方程表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓41k1解之得：0k4k的取值范圍為0k|BC|,點(diǎn)點(diǎn)A的軌跡是以的軌跡是以B C為焦點(diǎn)的橢為焦點(diǎn)的橢圓圓(除去與除去與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)).且且2a=12,2c=8,及及a2=b2+c2得得a2=36,b2=20.故點(diǎn)故點(diǎn)A的軌跡方程是的軌跡方程是 (y0).2213620 xy例例4:已知已知ABC的一邊的一邊BC長為長為8,周長為周長為20,求頂點(diǎn)求頂點(diǎn)A的的軌跡方程

14、軌跡方程.解解:以以BC邊所在直線為邊所在直線為x軸軸,BC中點(diǎn)為原點(diǎn)中點(diǎn)為原點(diǎn),建立如右圖所示建立如右圖所示的直角坐標(biāo)系的直角坐標(biāo)系,則則B C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-4,0) (4,0).定義法定義法編輯ppt練習(xí)：已知A(1,0),B(1,0)，線段CA、AB、CB的長成等差數(shù)列，則點(diǎn)C的軌跡方程是_.x2/4+y2/3=1編輯ppt橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)編輯ppt2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上222=+abc平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的

15、和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡）的點(diǎn)的軌跡12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120,-0,，F(xiàn)cFc標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程不不 同同 點(diǎn)點(diǎn)相相 同同 點(diǎn)點(diǎn)圖圖 形形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷焦點(diǎn)位置的判斷xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO復(fù)習(xí)舊知編輯ppt 例1求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn) 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。) 1 , 32(),2, 3(BAx2/15+y2/5=1分析一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)方程x2/a2+y2/b2=1 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)方程x2/b2+y2/a2=1分析二：設(shè)方程mx2+ny2=1(m0,n0)編輯ppt

16、(2)求與橢圓x2/5y2/41有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(3,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 x2/9y2/81 (3)已知橢圓x22y2a2(a0)的左焦點(diǎn)到直線l：xy20的距離為 ，求橢圓方程。 x2/8y2/412211222222cmymxymycmxx軸上可以設(shè)方程為若知橢圓的焦點(diǎn)在軸上可以設(shè)方程為若知橢圓的焦點(diǎn)在編輯ppt 例例2、在圓上任取一點(diǎn)、在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)，過點(diǎn)P作作x軸軸的垂線段的垂線段PD,D為垂足。當(dāng)點(diǎn)為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，線在圓上運(yùn)動時(shí)，線段段PD的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？的軌跡是什么？為什么？422 yxoxyPD相關(guān)點(diǎn)法相關(guān)點(diǎn)法(轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)移法):即利用

17、中間變量求曲線方程即利用中間變量求曲線方程.編輯ppt的軌跡。求點(diǎn)上，并且在點(diǎn)垂線段軸作向從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)變式：已知圓MMPPMPPMPPxPyx, 2, 922yxoPPM2219xy編輯pptP的最大值）（的面積）三角形（求若是兩個(gè)焦點(diǎn)上的一點(diǎn)，是橢圓：例212102121222160,1641003PFPFPFFPFFFFyxP編輯ppt100100)2(22010)2(3364sin2132561443201443)(1441260cos2-) 1 (2021212212121212121212121221221212221202122212121的最大值為”成立時(shí)“當(dāng)且僅當(dāng)，又中由

18、余弦定理知在，解：由橢圓定義知PFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFaPFFPFPFSPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFPFFPFPF2tan1221PFFbPFFS焦點(diǎn)三角形面積公式：編輯ppt的最大值。）求（面積，求）若（橢圓上任一點(diǎn)。是的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓、已知的周長。構(gòu)成與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)、兩點(diǎn)，求、的直線與橢圓交于的一個(gè)焦點(diǎn)、過橢圓練習(xí)211212221,22122PFPF2PFF6PFF1P, 164100FF2ABFFBABAF141;yxyx編輯ppt的軌跡方程。，求點(diǎn)之積是，且他們的斜率相交于點(diǎn)直線），的坐標(biāo)分別為（、：如圖，設(shè)例M94-MBMAM,).