利率期限結(jié)構(gòu)的模型分析

1、無利率期限結(jié)構(gòu)的模型分析利率期限結(jié)構(gòu)的模型分析摘要摘要： 利率期限結(jié)構(gòu)是資產(chǎn)定價(jià)、 金融產(chǎn)品設(shè)計(jì)、 保值和風(fēng)險(xiǎn)管理、 套利以及投機(jī)等的基準(zhǔn)，所以利率期限結(jié)構(gòu)模型以及利率行為的特點(diǎn)一直以來就是金融學(xué)研究的重點(diǎn)。 隨著我國(guó)債券市場(chǎng)的發(fā)展、 金融創(chuàng)新的不斷深入以及利率市場(chǎng)化進(jìn)程的逐步推進(jìn)， 利率期限結(jié)構(gòu)問題研究的重要性日益凸顯。本文即分析利率期限結(jié)構(gòu)的四個(gè)模型，并運(yùn)用 Matlab 軟件分別作出圖形，在圖形的基礎(chǔ)上解釋說明。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：利率期限結(jié)構(gòu)多項(xiàng)式指數(shù)NSNSS一、前言前言利率期限結(jié)構(gòu)是指某個(gè)時(shí)點(diǎn)不同期限的即期利率與到期期限的關(guān)系及變化規(guī)律， 一般由債券市場(chǎng)的實(shí)際交易價(jià)格確定。 在成熟金融市

2、場(chǎng)中， 國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)不但能夠反映國(guó)債市場(chǎng)各期限國(guó)債的供求關(guān)系、市場(chǎng)利率的總體水平和變化方向，是市場(chǎng)重要的定價(jià)基準(zhǔn)，而且是精細(xì)化設(shè)計(jì)國(guó)債及其衍生產(chǎn)品， 科學(xué)制定財(cái)政和貨幣政策， 完善國(guó)債發(fā)行和管理的重要依據(jù)。2000 年以后，隨著國(guó)債發(fā)行機(jī)制的日趨規(guī)范和完善，期限結(jié)構(gòu)的不斷豐富，國(guó)債市場(chǎng)的日臻成熟，利率市場(chǎng)化水平的顯著提高，鑒于此，我們開展了國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)模型的研究，本文在此討論的有四種模型，分別是多項(xiàng)式樣條模型、指數(shù)樣條模型、NS 模型和 NNS模型，解釋說明不同模型的擬合精度。利率期限結(jié)構(gòu)是利率水平與期限相聯(lián)系的函數(shù)， 收益率曲線的變化本質(zhì)上體現(xiàn)了債券的到期收益率與期限之間的關(guān)系。 即

3、債券的短期利率和長(zhǎng)期利率表現(xiàn)的差異性。 而利率期限結(jié)構(gòu)所研究的就是決定長(zhǎng)期利率和短期利率關(guān)系的原因到底是什么。 隨著對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)研究的發(fā)展，理論界也形成了不同的理論流派。（一）預(yù)期理論：預(yù)期理論提出了以下命題：長(zhǎng)期債券的利率等于在其有效期內(nèi)人們所預(yù)期的短期利率的平均值。 這一理論關(guān)鍵的假定是， 債券投資者對(duì)于不同到期期限的債券沒有特別的偏好， 因此如果某債券的預(yù)期回報(bào)率低于到期期限不同的其他債券， 投資者就不會(huì)持有這種債券。具有這種特點(diǎn)的債券被稱為完全替代品。在實(shí)踐中，這意味著如果不同期限的債券是完全替代品，這些債券的預(yù)期回報(bào)率必須相等。預(yù)期理論可以解釋事實(shí)1.隨著時(shí)間的推移，不同到期期限的

4、債券利率有同向運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)。從歷史上看，短期利率具有如果它在今天上升，則未來將趨于更高的特征。2.如果短期利率較低，收益率曲線傾向與向上傾斜，如果短期利率較高，收益率曲線通常是翻轉(zhuǎn)的。預(yù)期理論有著致命的缺陷，它無法解釋收益率曲線通常是向上傾斜的情況。無（二） 分割市場(chǎng)理論： 分割市場(chǎng)理論將不同到期期限的債券市場(chǎng)看做完全獨(dú)立和相互分割的。到期期限不同的每種債券的利率取決于該債券的供給與需求， 其他到期期限的債券的預(yù)期回報(bào)率對(duì)此毫無影響。關(guān)鍵假定：不同到期期限的債券根本無法相互替代。該理論認(rèn)為，由于存在法律、偏好或其他因素的限制，投資者和債券的發(fā)行者都不能無成本地實(shí)現(xiàn)資金在不同期限的證券之間的自由轉(zhuǎn)

5、移。 因此， 證券市場(chǎng)并不是一個(gè)統(tǒng)一的無差別的市場(chǎng)，而是分別存在著短期市場(chǎng)、中期市場(chǎng)和長(zhǎng)期市場(chǎng)。不同市場(chǎng)上的利率分別由各市場(chǎng)的供給需求決定。 當(dāng)長(zhǎng)期債券供給曲線與需求曲線的交點(diǎn)高于短期債券供給曲線和需求曲線的交點(diǎn)時(shí)， 債券的收益率曲線向上傾斜； 相反， 則相反。（三）流動(dòng)性溢價(jià)理論：流動(dòng)性溢價(jià)理論是預(yù)期理論與分割市場(chǎng)理論結(jié)合的產(chǎn)物。它認(rèn)為長(zhǎng)期債權(quán)的利率應(yīng)當(dāng)?shù)扔陂L(zhǎng)期債權(quán)到期之前預(yù)期短期利率的平均值與隨債券供求狀況變動(dòng)而變動(dòng)的流動(dòng)性溢價(jià)之和。 流動(dòng)性溢價(jià)理論關(guān)鍵性的假設(shè)是， 不同到期期限的債券是可以相互替代的， 這意味著某一債券的預(yù)期回報(bào)率的確會(huì)影響其他到期期限債券的預(yù)期回報(bào)率， 但是，該理論承認(rèn)

6、投資者對(duì)不同期限債券的偏好。換句話講，不同到期期限的債券可以相互替代，但并非完全替代品。（四）期限優(yōu)先理論：采取了較為間接地方法來修正預(yù)期理論，但得到的結(jié)論是相同的。它假定投資者對(duì)某種到期期限的債券有著特別的偏好，即更愿意投資于這種期限的債券。二、四種模型簡(jiǎn)述二、四種模型簡(jiǎn)述1、 多項(xiàng)式樣條法多項(xiàng)式樣條法多項(xiàng)式樣條法是數(shù)學(xué)上擬合曲線的一種方法。由逼近定理可知,任意連續(xù)函數(shù)都以用多項(xiàng)式函數(shù)逼近,因此我們可以用以時(shí)間為變量的多項(xiàng)式樣條函數(shù)來估計(jì)貼現(xiàn)函數(shù)。多項(xiàng)式樣條函數(shù)概念是由 I.J.Schoenb ery 于 1946 年提出的。而將其運(yùn)用與實(shí)際問題研究的是 Mcculloch。1971 年，M

7、cculloch 率先應(yīng)用二次、三次多項(xiàng)式樣條法來擬合利率期限結(jié)構(gòu)模型。其基本思想是通過對(duì)債券現(xiàn)值公式中的貼現(xiàn)函數(shù)進(jìn)行假設(shè)，將數(shù)據(jù)分布的整個(gè)范圍切割成若干區(qū)間，然后估計(jì)各區(qū)段函數(shù)的參數(shù)值，參數(shù)值以滿足使理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格偏差最小為最優(yōu)。得出相應(yīng)分參數(shù)后，求出貼現(xiàn)函數(shù)，從而推導(dǎo)出即期利率函數(shù)。多項(xiàng)式樣條法假設(shè)利率期限結(jié)構(gòu)以到期期限 t 為連續(xù)函數(shù) D(t)為貼現(xiàn)因子，并且 D(t)一個(gè)多項(xiàng)式分布函數(shù)。 而階數(shù)的多少?zèng)Q定了利率曲線的平滑和擬合程度， 同時(shí)也影響到待估參數(shù)，一般情況下選擇三階，即三階多項(xiàng)式樣條函數(shù)。形式如下：無驗(yàn)證得出如下結(jié)論：（1）樣條值越大，參數(shù)越多，模型擬合程度越好，但曲線平滑

8、度越差。（2）樣條值越小，則曲線越平滑，估計(jì)的參數(shù)則較少。如果發(fā)生一些微小的干擾，就會(huì)引起顯著的誤差，即擬合程度不高。2、指數(shù)樣條法指數(shù)樣條法由于 Mcculloch 的多項(xiàng)式樣條函數(shù)隱含的折現(xiàn)函數(shù)隨到期期限的增加是發(fā)散的； 隱含的遠(yuǎn)期利率也是發(fā)散的。因此，Vasicek 和 Fong 提出可以用指數(shù)樣條來代替多項(xiàng)式樣條。指數(shù)樣條具有這樣的特性：遠(yuǎn)期利率和零息收益率隨著到期期限的增加收斂于固定的有限值。因此文章對(duì) 2007 年 07 月 23 日上交所的 32 支附息國(guó)債收盤價(jià)作為擬合數(shù)據(jù)， 運(yùn)用指數(shù)樣條模型繪畫出的利率期限結(jié)構(gòu)圖形如下，模型如下：指數(shù)樣條模型也容易導(dǎo)致元?dú)饫是€的不穩(wěn)定，并

9、且其參數(shù)估計(jì)須采用非線性最優(yōu)化。3、Nelson-Siegel 模型模型Nelson-Siegel 模型是 Charles Nelson 和 Andrew Siegel 在 1987 年提出的一個(gè)參數(shù)擬合模型， 這個(gè)模型可以克服樣條擬合方法的曲線尾部震蕩的缺點(diǎn)。 改模型通過建立元?dú)馑矔r(shí)利率的函數(shù)，從而退出即期利率的函數(shù)形式。該模型最大的優(yōu)點(diǎn)是參數(shù)少，而且這些參數(shù)都有重要的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義，使得模型本身容易理解。模型如下：不變時(shí)，可以通過調(diào)整和來形成不同的組合，從而產(chǎn)生遠(yuǎn)期利率的各種形狀。4、Nelson-Siegel- Svennson 模型模型尼爾森和辛格爾在 1987 年提出了一個(gè)用參數(shù)表示的瞬

10、時(shí)（即期限為零）遠(yuǎn)期利率函無數(shù)。該模型通過建立遠(yuǎn)期瞬時(shí)利率的函數(shù)，從而推導(dǎo)出即期利率的函數(shù)形式。該模型的一個(gè)最大好處就是需要估計(jì)的參數(shù)相對(duì)較少， 因此特別適合于估計(jì)債券數(shù)量不多情況下的利率期限結(jié)構(gòu)，而且這些參數(shù)都有明顯的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義，使得模型本身很容易被理解。模型如下從瞬間遠(yuǎn)期利率的公式中， 可以看出遠(yuǎn)期利率是由短期、 中期和長(zhǎng)期利率三部分組成的。代表元?dú)饫是€的漸近線，隨著期限增加，遠(yuǎn)期利率曲線趨向于的值。代表瞬間遠(yuǎn)期利率曲線向漸近線的趨近速度的因素。三、四種模型的實(shí)證分析三、四種模型的實(shí)證分析下面就做出四種模型的各自圖形，作圖軟件用的是 Matlab 軟件，數(shù)據(jù)選取的是 2015年 8 月

11、 12 日這天的各種國(guó)債的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)如下表：表一：國(guó)債數(shù)據(jù)全價(jià)付息方式年利率(%)剩余期限修正久期105.1514.265.975.317299.5123.519.938.2826109.6113.546.685.9703101.1223.649.677.9937100.3613.366.455.6889122.5524.329.2317.6083102.1314.025.95.251499.8248.867.3473104.2214.445.444.7358103.8314.075.194.5449101.313.464.924.521101.3313.092.82.6752101.3823

12、.387.796.7556101.0813.294.694.3065無101.913.424.464.061795.5823.397.046.0276102.7523.516.545.7105101.3812.580.040.0362100.8824.0344.8220.4831102.3723.364.624.2039102.7523.434.494.1361101.6423.47.696.6471101.5922.62.112.0221102.113.221.351.2977100.8624.344.3319.5612100.9923.684.243.581102.7413.41.21.1

13、44496.3724.1824.1914.6525101.5523.444.13.7435103.841414.0510.3907103.113.171.030.9786102.4613.150.970.9641100.1923.483.953.6534100.3712.820.870.8596100.4623.093.853.5903100.6323.698.847.4355100.823.023.743.5111101.3612.820.680.6732101.3724.0223.6814.9733101.2813.053.593.3617101.8623.8613.5410.268910

14、1.6712.760.510.497597.5722.93.353.1349100.7623.628.37.0579102.0512.710.290.2821實(shí)證結(jié)果如下實(shí)證結(jié)果如下使用 matlab2014 分別對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行指數(shù)樣條函數(shù)、多項(xiàng)式樣條函數(shù)、NS 模型和 NSS模型分析，最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比：（一）多項(xiàng)式樣條函數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型多項(xiàng)式樣條函數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型無從圖中可以看出，擬合出來的利率期限結(jié)構(gòu)曲線還是比較平滑的，債券期限結(jié)構(gòu)是隨著到期期限的增加而上升的，這與理論上要求的是一致的。到期期限越長(zhǎng)，投資者對(duì)回報(bào)率的補(bǔ)償就越高，按不同到期期限進(jìn)行分析，可以看出對(duì)于短期債券（0-5）年

15、，即期利率上升勢(shì)頭明顯；而以后期限則表現(xiàn)的相對(duì)穩(wěn)定，上升趨勢(shì)有所減緩。綜合來看，曲線的擬合優(yōu)度較好，可以認(rèn)為采用多項(xiàng)式樣條函數(shù)估計(jì)我國(guó)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)曲線是有效的。對(duì)于中短期國(guó)債，多項(xiàng)式樣條函數(shù)估計(jì)結(jié)果相對(duì)來說比較準(zhǔn)確，因此可以看出，我國(guó)債券市場(chǎng)利率曲線符合傳統(tǒng)的利率期限結(jié)構(gòu)理論的解釋， 但從即期利率曲線也可以看出， 我國(guó)的國(guó)債收益率水平偏低，長(zhǎng)期國(guó)債與短期國(guó)債的利差較小，不能充分反映市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)狀況。我國(guó)國(guó)債表現(xiàn)出的這些特征是由于目前我國(guó)資本市場(chǎng)發(fā)育不充分； 同時(shí)， 由于我國(guó)利率市場(chǎng)化尚未實(shí)現(xiàn)，利率水平在目前處于較低水平，這造成國(guó)債的收益率也處于較低水平。（二）指數(shù)樣條函數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型指數(shù)

16、樣條函數(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型無由上圖可知， 根據(jù)指數(shù)樣條繪出的利率期限結(jié)構(gòu)曲線與根據(jù)多項(xiàng)式樣條繪出的利率期限結(jié)構(gòu)曲線總體變化趨勢(shì)基本一致，只是前者更加曲折。另外，多項(xiàng)式樣條法擬合的即期利率曲線在遠(yuǎn)端是呈冪級(jí)數(shù)上升的，如果將到期期限延長(zhǎng)的話，即期利率在遠(yuǎn)端是非常大的。這種上升的趨勢(shì)導(dǎo)致遠(yuǎn)期利率在遠(yuǎn)端以更快的速度上升， 而這是不符合期限結(jié)構(gòu)理論的， 遠(yuǎn)期利率在遠(yuǎn)端應(yīng)該是比較平緩的，而不是劇烈變動(dòng)的。因?yàn)閷?duì)投資者來說,他們也許有需要,也有較多的信息去預(yù)測(cè)未來幾年的短期利率的走勢(shì),從而確定遠(yuǎn)期利率曲線近端的形狀。但是,未來更長(zhǎng)的時(shí)間的短期利率,如 29 年后和 30 年后的短期利率,對(duì)他們來說是沒有實(shí)質(zhì)區(qū)

17、別的,也不是他們所關(guān)心的問題。 因此投資者只會(huì)預(yù)測(cè)遠(yuǎn)端短期利率的水平,而不會(huì)預(yù)測(cè)其變化趨勢(shì)。換句話說，遠(yuǎn)期利率在遠(yuǎn)端應(yīng)該是比較平緩的,而不是劇烈變動(dòng)的。因此，指數(shù)樣條模型在擬合遠(yuǎn)端數(shù)據(jù)時(shí)顯得更為合理一些， 因?yàn)槟Ｐ捅旧淼男再|(zhì)使利率在遠(yuǎn)端是趨向于穩(wěn)定的，比較符合期限結(jié)構(gòu)理論。因此，指數(shù)樣條法較多項(xiàng)式樣條法更適合作為中國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)的擬合方法。（三）（三）NS 模型模型無從上圖可以看出，NS 模型的利率期限結(jié)構(gòu)曲線的擬合優(yōu)度是非常的好，曲線也是非常平滑的，并且曲線是呈緩慢上升態(tài)勢(shì)的，即期利率曲線的斜率是逐漸減小的，最后在遠(yuǎn)期基本上處于一個(gè)水平的穩(wěn)定狀態(tài)。相比較前面兩種模型而言，NS 模型對(duì)國(guó)債利率

18、期限結(jié)構(gòu)的擬合是最好的， 這在某種程度上解釋了為什么很多國(guó)家將 NS 模型運(yùn)用于央行相關(guān)政策的制定，比如貨幣政策、財(cái)政政策等，同時(shí)，由于本文的研究結(jié)果是基于我國(guó)國(guó)債收益率數(shù)據(jù)獲得，說明了 NS 模型對(duì)于我國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)的研究具有重大意義。（四）（四）NNS 模型模型無NSS 模型是在 NS 模型的基礎(chǔ)上擴(kuò)展而來的，從 NSS 模型的利率期限結(jié)構(gòu)曲線圖上可以看出，曲線還是很平滑的，對(duì)利率期限結(jié)構(gòu)的擬合優(yōu)度也是很好的，利率期限結(jié)構(gòu)圖形是平滑上升的，即期利率曲線的斜率是先逐漸增大，中間是平穩(wěn)增加，后來是逐漸增大，在短期（0-5）年，曲線是斜率逐漸增大的上升圖形，在中長(zhǎng)期（5-12）年，曲線是緩慢上升

19、的，即期利率曲線的斜率是逐漸減小的，在長(zhǎng)期（12-20）年，曲線的上升速度是很快的 即期利率曲線的斜率是逐漸增大的。四、結(jié)論及政策建議四、結(jié)論及政策建議結(jié)論：結(jié)論：通過運(yùn)用不同種方法對(duì)國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬合可知：1、 多項(xiàng)式樣條法和 NS 模型所擬合的國(guó)債利率期限結(jié)構(gòu)曲線相對(duì)比較平滑， 而指數(shù)樣條法擬合的利率期限結(jié)構(gòu)曲線則較為曲折。2、多項(xiàng)式樣條法擬合的即期利率曲線在遠(yuǎn)端是呈冪級(jí)數(shù)上升的，而指數(shù)樣條法擬合的即期利率曲線在遠(yuǎn)端是比較平緩的。因此，指數(shù)樣條模型在擬合遠(yuǎn)端數(shù)據(jù)時(shí)顯得更為合理一些。3、雖然 NS 模型可以獲得許多曲線的形狀，但是它不能描繪出所有的曲線變化，尤其是長(zhǎng)期的期限結(jié)構(gòu)和多個(gè)拐點(diǎn)的