不等關(guān)系與不等式

1、不等關(guān)系與不等式編稿：張希勇 審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解實(shí)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系；2會用差值法比較兩實(shí)數(shù)的大?。?掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、符號法則與比較大小實(shí)數(shù)的符號：任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立.兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)： 兩個(gè)同號實(shí)數(shù)相加，和的符號不變符號語言：；兩個(gè)同號實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號語言：；兩個(gè)異號實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號語言：任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號語言：，.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：對任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、；. 對于任意實(shí)數(shù)、,三種關(guān)系有且只有一種成立.要點(diǎn)詮釋：這

2、三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù).要點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有： (1) 對稱性： (2)傳遞性： (3) 可加性： (cR)(4) 可乘性：a>b，運(yùn)算性質(zhì)有： (1) 可加法則：(2) 可乘法則：(3) 可乘方性：(4) 可開方性：要點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).要點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個(gè)代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.；.作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.；.中間量法

3、：若且，則（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）.一般選擇0或1為中間量.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小若兩個(gè)式子具有相同的函數(shù)結(jié)構(gòu)，可以利用相應(yīng)的基本函數(shù)的單調(diào)性比較大小.作差比較法的步驟：第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化為“積”；第三步：定號，就是確定差是大于、等于還是小于0；最后下結(jié)論.要點(diǎn)詮釋：概括為：“三步一結(jié)論”.這里“定號”是目的，“變形”是關(guān)鍵過程.【典型例題】類型一：用不等式表示不等關(guān)系例1.某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共，擬分割成大、小兩類房間作為旅游客房，大房間面積為，可住游客5人，每名游客每天住宿費(fèi)40元；小房間每間面積為，可住游客3人，每名游客每天住

4、宿費(fèi)50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果他只能籌款8000元用于裝修，試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.【思路點(diǎn)撥】把已知條件用等式或不等式列出來（代數(shù)化），把目標(biāo)用代數(shù)式表示，再研究條件和目標(biāo)的關(guān)系。【解析】假設(shè)裝修大、小客房分別為間，間，根據(jù)題意，應(yīng)由下列不等關(guān)系：（1） 總費(fèi)用不超過8000元（2） 總面積不超過；（3） 大、小客房的房間數(shù)都為非負(fù)數(shù)且為正整數(shù).即有： 即此即為所求滿足題意的不等式組【總結(jié)升華】求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，只要把模型中的量具體化，就可以得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、方法、技巧等解決數(shù)學(xué)問題.在解決實(shí)際問題

5、時(shí)，要注意變量的取值范圍.舉一反三：【變式】某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)的要求，600mm的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足所有上述不等關(guān)系的不等式呢？【答案】假設(shè)截得500 mm的鋼管 x根，截得600mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：（1）截得兩種鋼管的總長度不超過4000mm ;（2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；（3）截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù).要同時(shí)滿足上述的三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：類型二：不等式性質(zhì)的應(yīng)用例2已知，求，的取值范圍【解析】因?yàn)?，所以?兩式相加，得

6、.因?yàn)椋?，則.又，所以，則.【總結(jié)升華】求含字母的數(shù)（式）的取值范圍，一是要注意題設(shè)中的條件，充分利用條件，二是在變換過程中要注意利用不等式的基本性質(zhì)以及其他與題目相關(guān)的性質(zhì)等.舉一反三：【變式1】【變式】已知，求（1） (2)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【高清課堂：不等關(guān)系與不等式387156 題型三 不等式性質(zhì)的應(yīng)用】【變式2】已知函數(shù)f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4.求f(2)的取值范圍【答案】f(1)ab，f(1)ab.f(2)4a2b.設(shè)m(ab)n(ab)4a2b.f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)

7、10.例3對于實(shí)數(shù)a,b,c判斷以下命題的真假 （）若a>b, 則ac<bc; （）若ac2>bc2，則a>b; （）若a<b<0, 則a2>ab>b2; （）若a<b<0, 則|a|>|b|; （）若a>b, >, 則a>0, b<0【思路點(diǎn)撥】本類題一般采用不等式性質(zhì)法或者比差法?！窘馕觥浚ǎ┮?yàn)閏的符號不定，所以無法判定ac和bc的大小，故原命題為假命題.（）因?yàn)閍c2>bc2, 所以c0, 從而c2>0，故原命題為真命題.（）因?yàn)椋詀2>ab 又，所以ab>b2 綜合得

8、a2>ab>b2 ，故原命題為真命題（）兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)，絕對值大的反而小，故原命題為真命題（）因?yàn)?，所以 所以 ，從而ab<0 又因a>b，所以a>0, b<0，故原命題為真命題【總結(jié)升華】題目中要注意不等式變形的等價(jià)性，性質(zhì)的應(yīng)用要合理.舉一反三：【高清課堂：不等關(guān)系與不等式387156 題型二 不等式的性質(zhì)】【變式1】若a0ba，cd0，則下列命題：(1)adbc；(2)；(3)acbd；(4)a·(dc)b(dc)中能成立的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4【答案】C；【變式2】若a<b<0，則下列結(jié)論正確的是（ ）.A.均不成立 B

9、.C.D.【答案】B；【解析】特殊值法：取a=-2,b=-1 ,分別代入四個(gè)選項(xiàng)，即得選項(xiàng)B.例4船在流水中航行，在甲地與乙地間來回行駛一次的平均速度和船在靜水中的速度是否相等，為什么？ 【解析】設(shè)甲地與乙地的距離為S，船在靜水中的速度為u, 水流速度為v(u>v>0)，則船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的時(shí)間平均速度， ， 因此，船在流水中來回行駛一次的平均速度與船在靜水中的速度不相等，平均速度小于船在靜水中的速度.【總結(jié)升華】 恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出變量，利用了做差比較大小是本例的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】甲乙兩車從A地沿同一路線到達(dá)B地，甲車一半時(shí)間的速度為a,另一半時(shí)間的速度為b;乙

10、車用速度為a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若，試判斷哪輛車先到達(dá)B地.【答案】甲車先到達(dá)B地；【解析】設(shè)從A到B的路程為S，甲車用的時(shí)間為，乙車用的時(shí)間為，則所以，甲車先到達(dá)B地.類型三：作差比較大小【高清課堂：不等關(guān)系與不等式387156 題型一 比較大小】例5.已知a，b，c是實(shí)數(shù)，試比較a2b2c2與abbcca的大小【思路點(diǎn)撥】此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項(xiàng)之后，判斷差值正負(fù)(注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關(guān)緊要)。根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號法則來得出兩個(gè)代數(shù)式的大小。比較兩個(gè)代數(shù)式大小的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算符號問題

11、?！窘馕觥?，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號a2b2c2abbcca.【總結(jié)升華】用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（代數(shù)式）的大小，其具體解題步驟可歸納為：第一步：作差并化簡，其目標(biāo)應(yīng)是個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)需進(jìn)行討論；第三步：得出結(jié)論?！究偨Y(jié)升華】用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（代數(shù)式）的大小，其具體解題步驟可歸納為：第一步：作差并化簡，其目標(biāo)應(yīng)是個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式；第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論；第三步：得出結(jié)論.舉一反三：【變式1】在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍枺?(1)； （2）；（3）； （4）當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)； （2） ； （3）； （4）【變式2】比較下列兩代數(shù)式的大?。海?）與；（2）與.【答案】（1）（2），.例6.已知(), 試比較和的大小.【解析】， 即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【總結(jié)升華】變形一步最為關(guān)鍵，直至變形到能判斷符號為止；另需注意字母的符號，必要時(shí)需要分類討論舉一反三：【變式】已知，比較的大小【答案】類型四：作商比較大小例7已知：、, 且,比較的大小.【思路點(diǎn)撥】本題是兩指數(shù)式比較大小，如果設(shè)想作差法，很明顯很難判斷符號，由指數(shù)式是正項(xiàng)可以聯(lián)想到作商法.【解析】 、 ，作商： （*）(1)若a>b>0, 則，a-b>0,