不等式線性規(guī)劃知識點梳理與經(jīng)典例題與解析

1、線性規(guī)劃講義【考綱說明】（1）了解線性規(guī)劃的意義、了解可行域的意義；（2）掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法（3）鞏固圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大、最小值的方法；（4）會用畫網(wǎng)格的方法求解整數(shù)線性規(guī)劃問題（5）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力【知識梳理】簡單的線性規(guī)劃問題一、知識點1. 目標(biāo)函數(shù): 是一個含有兩個變 量 和 的 函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域.3. 整點:坐標(biāo)為整數(shù)的點叫做整點4.線性規(guī)劃問題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃問題只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取

2、整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃二、疑難知識導(dǎo)析線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計、經(jīng)濟(jì)管理中實際問題的專門學(xué)科.主要在以下兩類問題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財務(wù)等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù).1.對于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點法”：任選一個不在直線上的點，檢驗它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式，若適合，則該點所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面

3、區(qū)域若 直 線 不 過 原點，通 常 選 擇 原 點 代入檢驗3. 平 移 直 線 k 時，直線必須經(jīng)過可行域4.對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點5.簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.積儲知識：一 1.點P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0上，則點P坐標(biāo)適合方程，即Ax0+By0+C=02.

4、點P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），則當(dāng)B>0時，Ax0+By0+C>0;當(dāng)B<0時，Ax0+By0+C<03. 點P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0下方（左下或右下），當(dāng)B>0時，Ax0+By0+C<0;當(dāng)B<0時，Ax0+By0+C>0注意：（1）在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點，把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得實數(shù)的符號都相同, （2）在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)的兩點，把它的坐標(biāo)代入Ax+By+C,所得到實數(shù)的符號相反,即：1.點P(x1,y1)和點Q(x2,y2)在直線 Ax+By+C

5、=0的同側(cè)，則有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>02.點P(x1,y1)和點Q(x2,y2)在直線 Ax+By+C=0的兩側(cè)，則有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面區(qū)域:二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.不包括邊界;二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域且包括邊界;注意：作圖時,不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實線.三、判斷二元一次不等式表示哪一側(cè)平面區(qū)域的方法:方法

6、一:取特殊點檢驗;“直線定界、特殊點定域原因:由于對在直線Ax+By+C=0的同一側(cè)的所有點(x,y),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得到的實數(shù)的符號都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0,y0),從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.特殊地,當(dāng)C0時，常把原點作為特殊點，當(dāng)C=0時，可用（0，1）或（1，0）當(dāng)特殊點，若點坐標(biāo)代入適合不等式則此點所在的區(qū)域為需畫的區(qū)域，否則是另一側(cè)區(qū)域為需畫區(qū)域。方法二：利用規(guī)律：1.Ax+By+C>0,當(dāng)B>0時表示直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），當(dāng)B<0時表

7、示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2.Ax+By+C<0,當(dāng)B>0時表示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）當(dāng)B<0時表示直線Ax+By+C=0上方（左上或右上）。四、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件： 線性目標(biāo)函數(shù)：線性規(guī)劃問題： 可行解、可行域和最優(yōu)解：【經(jīng)典例題】一建構(gòu)數(shù)學(xué)1問題：在約束條件下，如何求目標(biāo)函數(shù)的最大值？首先，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，這一區(qū)域稱為可行域，如圖（1）所示其次，將目標(biāo)函數(shù)變形為的形式，它表示一條直線，斜率為，且在軸上的截距為平移直線，當(dāng)它經(jīng)過兩直線與的交點時，直線在軸上的截距最大，如圖（2）所示因此，當(dāng)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值

8、，即當(dāng)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)和時，可獲得最大利潤萬元這類求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，通常稱為線性規(guī)劃問題其中使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，它叫做這個問題的最優(yōu)解對于只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決說明：平移直線時，要始終保持直線經(jīng)過可行域（即直線與可行域有公共點）二數(shù)學(xué)運用例1設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值解：由題意，變量所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域由圖知，原點不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時，即點在直線：上，作一組平行于的直線：，可知：當(dāng)在的右上方時，直線上的點滿足，即，而且，直線往右平移時，隨之增大由圖象可知，當(dāng)直

9、線經(jīng)過點時，對應(yīng)的最大，當(dāng)直線經(jīng)過點時，對應(yīng)的最小，所以，例2設(shè)，式中滿足條件，求的最大值和最小值解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過程知，當(dāng)與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個，當(dāng)經(jīng)過點時，對應(yīng)最小，例3已知滿足不等式組，求使取最大值的整數(shù)解：不等式組的解集為三直線：，：，：所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)與，與，與交點分別為，則坐標(biāo)分別為，作一組平行線：平行于：，當(dāng)往右上方移動時，隨之增大，當(dāng)過點時最大為，但不是整數(shù)解，又由知可取，當(dāng)時，代入原不等式組得， ；當(dāng)時，得或， 或；當(dāng)時， ，故的最大整數(shù)解為或例4投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬

10、元，需場地200平方米，可獲利潤300萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100米需要資金300萬元，需場地100平方米，可獲利潤200萬元現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？分析：這是一個二元線性規(guī)劃問題，可先將題中數(shù)據(jù)整理成下表，以方便理解題意：資 金（百萬元）場 地（平方米）利 潤（百萬元）A產(chǎn)品223B產(chǎn)品312限 制149然后根據(jù)此表數(shù)據(jù)，設(shè)出未知數(shù)，列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，最后用圖解法求解解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品米，利潤為百萬元，則約束條件為，目標(biāo)函數(shù)為作出可行域（如圖），將目標(biāo)函數(shù)變形為，它表示斜率為，在軸上截距為的直線，平移

11、直線，當(dāng)它經(jīng)過直線與和的交點時，最大，也即最大此時，因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品米，利潤最大為1475萬元說明：（1）解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)出未知數(shù)；列出約束條件（要注意考慮數(shù)據(jù)、變量、不等式的實際含義及計量單位的統(tǒng)一）；建立目標(biāo)函數(shù)；求最優(yōu)解1、 對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點三、畫區(qū)域1. 用不等式表示以，為頂點的三角形內(nèi)部的平面區(qū)域分析：首先要將三點中的任意兩點所確定的直線方程寫出，然后結(jié)合圖形考慮三角形內(nèi)部區(qū)域應(yīng)怎樣表示。解：直線的斜率為：，其方程為可求得直線的方程為直線的方程為的

12、內(nèi)部在不等式所表示平面區(qū)域內(nèi)，同時在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，同時又在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)（如圖）所以已知三角形內(nèi)部的平面區(qū)域可由不等式組表示說明：用不等式組可以用來平面內(nèi)的一定區(qū)域，注意三角形區(qū)域內(nèi)部不包括邊界線2 畫出表示的區(qū)域，并求所有的正整數(shù)解解：原不等式等價于而求正整數(shù)解則意味著，還有限制條件，即求依照二元一次不等式表示的平面區(qū)域，知表示的區(qū)域如下圖：對于的正整數(shù)解，容易求得，在其區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解為、3設(shè)，；，用圖表示出點的范圍分析：題目中的，與，是線性關(guān)系可借助于，的范圍確定的范圍解：由得由，得畫出不等式組所示平面區(qū)域如圖所示說明：題目的條件隱蔽，應(yīng)考慮到已有的，的取值范圍借助于

13、三元一次方程組分別求出，從而求出，所滿足的不等式組找出的范圍4、已知x,y,a,b滿足條件：,2x+y+a=6,x+2y+b=6（1）試畫出（）的存在的范圍； （2）求的最大值。四、畫區(qū)域，求面積例3 求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積分析：關(guān)鍵是能夠?qū)⒉坏仁浇M所表示的平面區(qū)域作出來，判斷其形狀進(jìn)而求出其面積而要將平面區(qū)域作出來的關(guān)鍵又是能夠?qū)Σ坏仁浇M中的兩個不等式進(jìn)行化簡和變形，如何變形？需對絕對值加以討論解：不等式可化為或；不等式可化為或在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出四條射線：，則不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，由于與、與互相垂直，所以平面區(qū)域是一個矩形0ABC（圖1）根據(jù)兩條平行線之間的距離公式可得

14、矩形的兩條邊的長度分別為和所以其面積為五、求最值一、與直線的截距有關(guān)的最值問題 1.如圖1所示，已知中的三頂點，點在內(nèi)部及邊界運動，請你探究并討論以下問題：在 點A 處有最大值 6 ，在邊界BC處有最小值 1 ；在 點C 處有最大值 1 ，在 點B 處有最小值0ABC（ 圖2 ）0ABC2若、滿足條件求的最大值和最小值分析：畫出可行域，平移直線找最優(yōu)解解：作出約束條件所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示作直線，即，它表示斜率為，縱截距為的平行直線系，當(dāng)它在可行域內(nèi)滑動時，由圖可知，直線過點A時，取得最大值，當(dāng)過點時，取得最小值注：可化為表示與直線平行的一組平行線，其中為截距，特別注意：斜率范圍

15、及截距符號。即注意平移直線的傾斜度和平移方向。變式：設(shè)x,y滿足約束條件分別求：(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，的最大值，最小值。二、與直線的斜率有關(guān)的最值問題 表示定點P（x0,y0)與可行域內(nèi)的動點M(x,y)連線的斜率.例2設(shè)實數(shù)滿足，則的最大值是_解析：畫出不等式組所確定的三角形區(qū)域ABC，表示兩點確定的直線的斜率，要求z的最大值，即求可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率的最大值0ABC（圖1）可以看出直線OP的斜率最大，故P為與的交點，即A點故答案為3.如圖1所示，已知中的三頂點，點在內(nèi)部及邊界運動，請你探究并討論以下問題：若目標(biāo)函數(shù)是或，你知道其幾何意義嗎？

16、你能否借助其幾何意義求得和？三、與距離有關(guān)的最值問題（配方）的結(jié)構(gòu)表示定點Q （x0,y0)到可行域內(nèi)的動點N(x,y)的距離的平方或距離。1.已知，求的最大、最小值分析：令，目標(biāo)函數(shù)是非線性的而可看做區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題解：由得可行域(如圖所示)為，而到，的距離分別為和 所以的最大、最小值分別是50和2.已知求的最小值 解析：作出可行域如圖3，并求出頂點的坐標(biāo)A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）而表示可行域內(nèi)任一點（x，y）到定點M（0，5）的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足在線段上，故z的最小值是【課堂練習(xí)】1. （安徽11）若滿足約束條件：

17、；則的取值范圍為2. 北京2設(shè)不等式組，表示平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點，則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是（A） （B） （C） （D）3.福建9.若直線上存在點滿足約束條件，則實數(shù)的最大值為（ ）A B1 C D24.廣東5. 已知變量滿足約束條件，則的最大值為( )5.江蘇14（2012年江蘇省5分）已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是6.江西8某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入

18、 總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（ ）A50，0 B30，20 C20，30 D0，507遼寧8. 設(shè)變量滿足，則的最大值為A20B35 C45 D558.全國卷大綱版13若滿足約束條件，則的最小值為。9山東10陜西14. 設(shè)函數(shù)，是由軸和曲線及該曲線在點處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則在上的最大值為11四川9、某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產(chǎn)計劃

19、，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元12新課標(biāo)(14) 設(shè)滿足約束條件：；則的取值范圍為13浙江21(本小題滿分14分)已知a0，bR，函數(shù)()證明：當(dāng)0x1時，()函數(shù)的最大值為|2ab|a；()|2ab|a0；() 若11對x0，1恒成立，求ab的取值范圍14重慶10.設(shè)點集為，則所表示的平面圖形的面積為（A） （B） （C） （D）【課后作業(yè)】（1） 選擇題：1以下四個命題中，正確的是（）原點與點（2，3）在直線2x+y-3=0的同側(cè)點（3，2）與點（2，3）在直線xy=0同側(cè)原點與點（2，1）在直線

20、2y-6x+1=0異側(cè)原點與點（2，1）在直線2y-6x+1=0同側(cè)2不等式x+3y-1<0表示的平面區(qū)域在直線x+3y-1=0的（）A右上方 B右下方 C左下方 D左上方3在坐標(biāo)平面上，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（） AB2 （2） 填空題：4若x、y滿足條件，則目標(biāo)函數(shù)z=6x+8y的最大值為，最小值為。5若實數(shù)x、y滿足，則x+y的范圍是。6非負(fù)實數(shù)x、y滿足，則x+3y的最大值是。7設(shè)實數(shù)x、y滿足條件，則的最大值是。8設(shè)實數(shù)x、y滿足條件，那么2xy的最大值為（）A 2 B1 C2 D39已知變量x、y滿足約束條件1x+y4，2xy2。若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a>

21、;0）僅在點（3，1）處取得最大值，則a的取值范圍是。10設(shè)D是不等式組表示的平面區(qū)域，則D中的點P（x,y）到直線x+y=10距離的最大值是。（3） 解答題：11某電視機(jī)廠計劃在下一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)兩種型號的電視機(jī)，每臺A型、B型電視機(jī)所得的利潤分別為6和4個單位，而生產(chǎn)一臺A型、B型電視機(jī)所耗原料分別為2和3個單位；所需工時分別為4和2個單位。如果允許使用的原料為100個單位，工時為120個單位，且A、B型電視機(jī)的產(chǎn)量分別不低于5臺和10臺，那么生產(chǎn)兩種類型電視機(jī)各多少臺，才能使利潤最大？12制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的贏利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損。某投資人打算投資甲、乙兩個項目

22、，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能的最大贏利率分別為100和50，可能的最大虧損率分別為30和10，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的贏利最大？【參考答案】【課上練習(xí)】1.【解析】的取值范圍為約束條件對應(yīng)邊際及內(nèi)的區(qū)域：則2.【解析】題目中表示的區(qū)域如圖正方形所示，而動點D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此，故選D?！敬鸢浮緿3.考點：線性規(guī)劃。難度：中。分析：本題考查的知識點為含參的線性規(guī)劃，需要畫出可行域的圖形，含參的直線要能畫出大致圖像。解答：可行域如下：所以，若直線上存在點滿足約束

23、條件，則，即。4.【解析】選 約束條件對應(yīng)邊際及內(nèi)的區(qū)域：則5.【答案】?！究键c】可行域?！窘馕觥織l件可化為：。設(shè)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿足，求的取值范圍。作出（）所在平面區(qū)域（如圖）。求出的切線的斜率，設(shè)過切點的切線為，則，要使它最小，須。的最小值在處，為。此時，點在上之間。當(dāng)（）對應(yīng)點時，的最大值在處，為7。的取值范圍為，即的取值范圍是。6.B 【解析】本題考查線性規(guī)劃知識在實際問題中的應(yīng)用，同時考查了數(shù)學(xué)建模的思想方法以及實踐能力.設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為.線性約束條件為 即作出不等式組表示的可行域,易求得點.平移直線，可知當(dāng)直線經(jīng)過點,

24、即時,z取得最大值,且（萬元）.故選B.【點評】解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟可歸納為：(1)審題仔細(xì)閱讀，明確有哪些限制條件，目標(biāo)函數(shù)是什么？(2)轉(zhuǎn)化設(shè)元寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù);(3)求解關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)系；(4)作答就應(yīng)用題提出的問題作出回答體現(xiàn)考綱中要求會從實際問題中抽象出二元線性規(guī)劃.來年需要注意簡單的線性規(guī)劃求最值問題.7.【命題意圖】本題主要考查簡單線性規(guī)劃，是中檔題. 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖知目標(biāo)函數(shù)過點時，的最大值為55，故選D.8.答案：【命題意圖】本試題考查了線性規(guī)劃最優(yōu)解的求解的運用。常規(guī)題型，只要正確作圖，表示

25、出區(qū)域，然后借助于直線平移法得到最值?！窘馕觥坷貌坏仁浇M，作出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點時，目標(biāo)函數(shù)最大，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點時最小為。9.解析：作出可行域，直線，將直線平移至點處有最大值，點處有最小值，即.答案應(yīng)選A。10.【答案】2 【解析】當(dāng)時，曲線在點處的切線為 則根據(jù)題意可畫出可行域D如右圖： 目標(biāo)函數(shù)， 當(dāng)，時，z取得最大值211.答案C解析設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品X桶，乙種產(chǎn)品Y桶，公司共可獲得 利潤為Z元/天，則由已知，得 Z=300X+400Y且畫可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)Z=300X+400Y可變形為Y= 這是隨Z變化的一族平行直線解方程組 即A（4,4） 點評解決線性規(guī)劃題目的常規(guī)步驟：一列（列出約束條件）、二畫（畫出可行域）、三作（作目標(biāo)函數(shù)變形式的平行線）、四求（求出最優(yōu)解）.12.【解析】的取值范圍為約束條件對應(yīng)四邊形邊際及內(nèi)的區(qū)域：則13.【解析】本題主要考察不等式，導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，線性規(guī)劃等知識點及綜合運用能力。()()當(dāng)b0時，0在0x1上恒成立，此時的最大值為：|2ab|a