利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)(同名4227)VIP

1、無 利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點(diǎn) 5 （本小題滿分 12 分） 已知函數(shù)321( ),3f xxaxbx且( 1)0f （I）試用含a的代數(shù)式表示b； （）求( )f x的單調(diào)區(qū)間；w.w.w .k.s. 5. u.c. o.m （）令1a ，設(shè)函數(shù)( )f x在1212,()x x xx處取得極值，記點(diǎn)1122( ,( ),(,()M xf xN xf x，證明：線段MN與曲線( )f x存在異于M、N的公共點(diǎn)； 5. 解法一： （I）依題意，得2( )2fxxaxb 由( 1)1 20fab 得21ba （）由（I）得321( )(21)3f xxaxa

2、x（ 故2( )221(1)(21)fxxaxaxxa 令*( )0fx ，則1x 或1 2xa 當(dāng)1a 時(shí)，1 21a 當(dāng)x變化時(shí)，( )fx與( )f x的變化情況如下表： x (,1 2 )a ( 2 , 1)a ( 1) ( )fx + + ( )f x 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 由此得，函數(shù)( )f x的單調(diào)增區(qū)間為(,1 2 )a和( 1,) ，單調(diào)減區(qū)間為(1 2 , 1)a 由1a 時(shí)，1 21a ，此時(shí)，( )0fx 恒成立，且僅在1x 處( )0fx ，故函數(shù)( )f x的單調(diào)區(qū)間為 R 當(dāng)1a 時(shí)，1 21a ，同理可得函數(shù)( )f x的單調(diào)增區(qū)間為(, 1) 和(1

3、 2 ,)a，單調(diào)減區(qū)間為( 1,1 2 )a 綜上： 當(dāng)1a 時(shí)， 函數(shù)( )f x的單調(diào)增區(qū)間為(,1 2 )a和( 1,) ， 單調(diào)減區(qū)間為(1 2 , 1)a； 當(dāng)1a 時(shí)，函數(shù)( )f x的單調(diào)增區(qū)間為 R； 當(dāng)1a 時(shí)，函數(shù)( )f x的單調(diào)增區(qū)間為(, 1) 和(1 2 ,)a，單調(diào)減區(qū)間為( 1,1 2 )a （）當(dāng)1a 時(shí)，得321( )33f xxxx 由3( )230fxxx，得121,3xx 由（）得( )f x的單調(diào)增區(qū)間為(, 1) 和(3,)，單調(diào)減區(qū)間為( 1,3) 所以函數(shù)( )f x在121.3xx 處取得極值。 故5( 1, ). (3, 9)3MN 所以

4、直線MN的方程為813yx 無 由22133813yxxxyx 得32330 xxx w. w.w. k.s .5.u.c. o.m 令32( )33F xxxx 易得(0)30,(2)30FF ， 而( )F x的圖像在(0,2)內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線， 故( )F x在(0,2)內(nèi)存在零點(diǎn)0 x，這表明線段MN與曲線( )f x有異于,M N的公共點(diǎn) 解法二： （I）同解法一 （）同解法一。 （）當(dāng)1a 時(shí)，得321( )33f xxxxx，由2( )230fxxx，得121,3xx 由 （） 得( )f x的單調(diào)增區(qū)間為(, 1) 和(3,)， 單調(diào)減區(qū)間為( 1,3)， 所以函數(shù)( )

5、f x在121,3xx 處取得極值， 故5( 1, ),(3, 9)3MN 所以直線MN的方程為813yx w. w.w. k.s .5.u.c. o.m 由32133813yxxxyx 得32330 xxx 解得1231,1.3xxx 1233121135119,33xxxyyy 所以線段MN與曲線( )f x有異于,M N的公共點(diǎn)11(1,)3 w. w.w .k.s.5.u.c. o.m 14（本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù)329( )62f xxxxa （1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，( )fxm恒成立，求m的最大值； （2）若方程( )0f x 有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍 14. 解：(

6、1) 2( )3963(1)(2)fxxxxx, 因?yàn)?,)x ,( )fxm, 即 239(6)0 xxm恒成立, 所以 81 12(6)0m , 得34m ，即m的最大值為34 (2) 因?yàn)?當(dāng)1x 時(shí), ( )0fx ;當(dāng)12x時(shí), ( )0fx ;當(dāng)2x 時(shí), ( )0fx ; 所以 當(dāng)1x 時(shí),( )f x取極大值 5(1)2fa; 當(dāng)2x 時(shí),( )f x取極小值 (2)2fa; 故當(dāng)(2)0f 或(1)0f時(shí), 方程( )0f x 僅有一個(gè)實(shí)根. 解得 2a 或無 52a . 23 （本小題滿分 12 分）已知函數(shù)3( )31,0f xxaxa 求( )f x的單調(diào)區(qū)間； 若(

7、)f x在1x 處取得極值，直線 y=m與( )yf x的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求 m的取值范圍。 23. 解析： （1）22( )333(),fxxaxa 當(dāng)0a 時(shí)，對(duì)xR，有( )0,fx 當(dāng)0a 時(shí)，( )f x的單調(diào)增區(qū)間為(,) 當(dāng)0a 時(shí)，由( )0fx 解得xa 或xa； 由( )0fx 解得axa， 當(dāng)0a 時(shí)，( )f x的單調(diào)增區(qū)間為(,),(,)aa ；( )f x的單調(diào)減區(qū)間為(,)aa。 （2）因?yàn)? )f x在1x 處取得極大值， 所以2( 1)3 ( 1)30,1.faa 所以32( )31,( )33,f xxxfxx 由( )0fx 解得121,1xx 。

8、由（1）中( )f x的單調(diào)性可知，( )f x在1x 處取得極大值( 1)1f ， 在1x 處取得極小值(1)3f 。 因?yàn)橹本€ym與函數(shù)( )yf x的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又( 3)193f ，(3)171f， 結(jié)合( )f x的單調(diào)性可知，m的取值范圍是( 3,1)。 12 （20102010 年高考年高考湖北卷文科湖北卷文科 2121） （本小題滿分 14 分） 設(shè)函數(shù)321axxbxc32f（x）=，其中 a0，曲線xyf （ ）在點(diǎn) P（0，0f （ ）處的切線方程為 y=1 （）確定 b、c 的值 （）設(shè)曲線xyf （ ）在點(diǎn)（11xxf，（ ）及（22xxf，（ ）處的切線都

9、過點(diǎn)（0,2）證明：當(dāng)12xx時(shí)，12()()fxfx （）若過點(diǎn)（0,2）可作曲線xyf （ ）的三條不同切線，求 a 的取值范圍。 無 （11 天津文）天津文）19 （本小題滿分 14 分）已知函數(shù)322( )4361,f xxtxt xtxR ，其中tR （）當(dāng)1t 時(shí)，求曲線( )yf x在點(diǎn)(0,(0)f處的切線方程； （）當(dāng)0t 時(shí)，求( )f x的單調(diào)區(qū)間； （）證明：對(duì)任意的(0,),( )tf x在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點(diǎn) （19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法，滿分

10、14 分。 （）解：當(dāng)1t 時(shí)，322( )436 ,(0)0,( )1266f xxxx ffxxx (0)6.f 所以曲線( )yf x在點(diǎn)(0,(0)f處的切線方程為6 .yx （）解：22( )1266fxxtxt，令( )0fx，解得.2txtx 或 因?yàn)?t ，以下分兩種情況討論： （1）若0,2tttx 則當(dāng)變化時(shí)，( ),( )fxf x的變化情況如下表： x ,2t ,2tt , t ( )fx + - + 無 ( )f x 所以，( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間是,;( )2ttf x 的單調(diào)遞減區(qū)間是,2tt。 （2）若0,2ttt 則，當(dāng)x變化時(shí)，( ),( )fxf x的變

11、化情況如下表： x ,t ,2tt ,2t ( )fx + - + ( )f x 所以，( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間是,;( )2ttf x 的單調(diào)遞減區(qū)間是,.2tt （）證明：由（）可知，當(dāng)0t 時(shí)，( )f x在0,2t內(nèi)的單調(diào)遞減，在,2t內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論： （1）當(dāng)1,22tt即時(shí)，( )f x在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減， 2(0)10,(1)643644230.ftftt 所以對(duì)任意2,),( )tf x在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。 （2）當(dāng)01,022tt即時(shí)，( )f x在0,2t內(nèi)單調(diào)遞減，在,12t內(nèi)單調(diào)遞增，若33177(0,1,10.244tfttt 2(1)

12、643643230.fttttt 所以( ),12tf x在內(nèi)存在零點(diǎn)。 若3377(1,2),110.244ttfttt (0)10ft 無 所以( )0,2tf x在內(nèi)存在零點(diǎn)。 所以，對(duì)任意(0,2),( )tf x在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。 綜上，對(duì)任意(0,),( )tf x在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)。 10.（1616 分）分）若函數(shù))(xfy 在0 xx 處取得極大值或極小值，則稱0 x為函數(shù))(xfy 的極值點(diǎn)。 已知ab，是實(shí)數(shù)，1 和1是函數(shù)32( )f xxaxbx的兩個(gè)極值點(diǎn) （1）求a和b的值； （2）設(shè)函數(shù)( )g x的導(dǎo)函數(shù)( )( )2g xf x，求(

13、)g x的極值點(diǎn)； （3）設(shè)( )( ( )h xf f xc，其中 22c ，求函數(shù)( )yh x的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 【答案】【答案】解： （1）由32( )f xxaxbx，得2( )32f xxaxb。 1 和1是函數(shù)32( )f xxaxbx的兩個(gè)極值點(diǎn)， (1)32=0fab，( 1)32=0fab，解得=3ab 0，。 （2） 由（1）得，3( )3f xxx ， 23( )( )2=32=12g xf xxxxx，解得123=1=2xxx，。 當(dāng)2x時(shí)，( )0g x ；當(dāng)21 x， =2x是( )g x的極值點(diǎn)。 當(dāng)21 x時(shí)，( )0g x ， =1x不是( )g x的極值點(diǎn)。 (

14、)g x的極值點(diǎn)是2。 （3）令( )=f xt，則( )( )h xf tc。 先討論關(guān)于x 的方程( )=f xd 根的情況：2, 2d 當(dāng)=2d時(shí)，由（2 ）可知，( )=2f x的兩個(gè)不同的根為 I 和一 2 ，注意到( )f x是奇函數(shù)，( )=2f x的兩個(gè)不同的根為一和 2。 當(dāng)2d ，(1)= ( 2)=20fd fdd ，于是( )f x是單調(diào)增函數(shù)，從而( )(2)=2f x f。 此時(shí)( )=f xd在2 ，無實(shí)根。 當(dāng)1 2x ，時(shí)( )0f x ，于是( )f x是單調(diào)增函數(shù)。 又(1)0fd ，= ( )y f xd的圖象不間斷， ( )=f xd 在（1 , 2

15、）內(nèi)有唯一實(shí)根。 同理，( )=f xd在（一 2 ，一 I ）內(nèi)有唯一實(shí)根。 當(dāng)1 1x ，時(shí)，( )0f x ， (1)0fd ，= ( )y f xd的圖象不間斷， ( )=f xd在（一 1，1 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。 因此，當(dāng)=2d時(shí)，( )=f xd有兩個(gè)不同的根12xx，滿足12=1 =2xx，；當(dāng)2d 時(shí) ( )=f xd有三個(gè)不同的根315xxx， ，滿足2 =3, 4, 5ix i，。 現(xiàn)考慮函數(shù)( )yh x的零點(diǎn)： ( i ）當(dāng)=2c時(shí)，( )=f tc有兩個(gè)根12tt，滿足12=2tt1，。 而1( )=f xt有三個(gè)不同的根，2( )=f xt有兩個(gè)不同的根，故( )yh

16、 x有 5 個(gè)零點(diǎn)。 ( 11 ）當(dāng)2c 時(shí)，( )=f tc有三個(gè)不同的根345ttt， ，滿足2 =3, 4, 5it i，。 而 =3,( ) 4, = 5if xti有三個(gè)不同的根，故( )yh x有 9 個(gè)零點(diǎn)。 綜上所述， 當(dāng)=2c時(shí)， 函數(shù)( )yh x有5 個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)2c 時(shí)， 函數(shù)( )yh x有 9 個(gè)零點(diǎn)。 【考點(diǎn)】【考點(diǎn)】函數(shù)的概念和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 【解析】【解析】 （1）求出)(xfy 的導(dǎo)數(shù)，根據(jù) 1 和1是函數(shù))(xfy 的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可。 （2）由（1）得，3( )3f xxx，求出( )g x，令( )=0g x，求解討論即可。 （3）比

17、較復(fù)雜，先分=2d和2d 討論關(guān)于x 的方程( )=f xd 根的情況；再考無 慮函數(shù)( )yh x的零點(diǎn)。 13.（本小題滿分 14 分） 已知函數(shù)3( )sin(),2f xaxxaR且在, 0,2上的最大值為32， （1）求函數(shù) f(x)的解析式； (2)判斷函數(shù) f(x)在（0，）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明。 考點(diǎn)：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)與方程。 難度：難度：難。 分析：分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用函數(shù)與方程的思想解決根個(gè)數(shù)的問題。 解答：解答： （I）33( )sin22f xaxx在2, 0上恒成立，且能取到等號(hào) ( )sin2g xxxa在2, 0上恒成立，且能取到等號(hào) ma

18、x( )2g xa ( )sincos0( )g xxxxyg x在2, 0上單調(diào)遞增 ()1222gaa3( )sin2f xxx（lfxlby） （II）3( )sin( )( )sincos2f xxxh xfxxxx 當(dāng)x2, 0時(shí)，( )0( )fxyf x在(0,2上單調(diào)遞增 33(0) ()0( )222ffyf x 在(0,2上有唯一零點(diǎn) 當(dāng)x, 2時(shí)，( )2cossin0( )h xxxxfx當(dāng)x, 2上單調(diào)遞減 2( ) ()022ff 存在唯一0(, )2x使0()0fx 00( )0,( )02fxxxfxxx 得：( )f x在0,)2x上單調(diào)遞增，0(, x上單調(diào)

19、遞減 3()0,( )022ff 得：x0,2x時(shí)，( )0f x ， x0, x時(shí)，0() ( )0f xf，( )yf x在0, x上有唯一零點(diǎn) 無 由得：函數(shù))(xf在), 0(內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)。 1已知函數(shù)( )e ,xf xxR. () 求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程; () 證明: 曲線y = f (x) 與曲線2112yxx有唯一公共點(diǎn). () 設(shè)ab, 比較2abf與( )( )f bf aba的大小, 并說明理由. 【答案】解:() f (x)的反函數(shù)xxgln)(,則 y=g(x)過點(diǎn)(1,0)的切線斜率k=(1)g. 1(1)gx1(x)gk.過點(diǎn)(

20、1,0)的切線方程為:y = x+ 1 () 證明曲線 y=f(x)與曲線1212xxy有唯一公共點(diǎn),過程如下. 則令, 121121)()(22Rxxxexxxfxhx 0)0( ,0)0( 0)0(, 1)( )( , 1)( hhhexhxhxexhxx，且的導(dǎo)數(shù)此,單調(diào)遞增時(shí)當(dāng)單調(diào)遞減時(shí)當(dāng))( 0)( 0;)( 0)( 0 xhyxhxxhyxhx0)(, 0)0( )( xRxhyhxhy個(gè)零點(diǎn)上單調(diào)遞增，最多有一在所以 所以,曲線 y=f(x)與曲線1212xxy只有唯一公共點(diǎn)(0,1).(證畢) () 設(shè))(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbf

21、bfaf aabbaeabeabababeabeab)(2)2()2()(2)2()2( 令xxxexexxgxexxxg) 1(1)21 (1)( , 0,)2(2)(則. ）上單調(diào)遞增，在（的導(dǎo)函數(shù)0)( 所以, 0) 11 ()( )( xgexexxgxgxx,且, 0)0(,), 0()(0)( . 0)0( gxgxgg而上單調(diào)遞增在，因此 0)(), 0(xg上所以在. 無 ,0)2(2)(0baexxxgxx且時(shí)，當(dāng) 0)(2)2()2(aabeabeabab 所以abafbfbfaf)()(2)()(,b421bbb , (0)1fb , 所以存在1( 2 ,0)xb ,2(

22、0,2 )xb,使得12( )()f xf xb. 由于函數(shù)( )f x在區(qū)間(,0)和(0,)上均單調(diào),所以當(dāng)1b 時(shí)曲線( )yf x與直線yb有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn). 無 綜上可知,如果曲線( )yf x與直線yb有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn),那么b的取值范圍是(1,). 已知函數(shù)( )1xaf xxe (aR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). (1)若曲線( )yf x在點(diǎn)(1,(1)f處的切線平行于x軸,求a的值; (2)求函數(shù)( )f x的極值; (3)當(dāng)1a 的值時(shí),若直線:1l ykx與曲線( )yf x沒有公共點(diǎn),求k的最大值. 【答案】解:()由 1xaf xxe ,得 1xafxe . 又曲線 yf x在點(diǎn) 1,1f處的切線平行于x軸, 得 10f ,即10ae,解得ae. () 1xafxe , 當(dāng)0a 時(shí), 0fx, f x為, 上的增函數(shù),所以函數(shù) f