因式分解典型例題

1、典型例題一例01選擇題：對2m mp np 2n運用分組分解法分解因式，分組正確地是（）（A） （2m2n np） mp（B）（2mnp） （2nmp）（C） （2m2n） （mp nm）（D）（2m2n mp）np分析 本組題目用來判斷分組是否適當（ A）地兩組之間沒有公因式可以提取，因而（A）不正確；（B）地兩組，每一組第一次就沒有公因式可提，故（B）不正確；（D）中兩組也無公因式可提，故（D）不正確（C）中第一組可提取公因式2,剩下因式（m n）；第二組可提取 p，剩下因式（m n），這樣組間可提公因式（m n），故（C）正確.典型例題二例02用分組分解法分解因式：（1）7x2 -3y

2、xy - 21x ； （2） 1 - x2 4xy - 4y2.分析本題所給多項式為四項多項式，屬于分組分解法地基本題型，通過分組后提公因式或分組后運用 公式可以達到分解地目地.2解 7x2 -3y xy -21x=（7x2 -21x） （-3y xy）（合理分組）= 7x（x-3） y（x-3）（組內提公因式）= （x-3）（7x y）（組間提公因式）2 2 1-x4xy-4y2 2=1 -（x -4xy 4y ）（注意符號）= 1-（x-2y）2 （組內運用公式）=1 （x -'2y）】1 -'（x -'2y）丨（組間運用公式）二（1 x -2y）（1 -x 2y）

3、說明 分組分解法應用較為靈活，分組時要有預見性，可根據分組后“求同”一一有公因式或可運用公 式地原則來合理分組，達到分解地目地另外在應用分組分解法時還應注意：運用分組分解法時，可靈活選擇分組方法，通常一個多項式分組方法不只一種，只要能達到分解法時，殊途同歸分組時要添加帶“-”地括號時，各項要注意改變符號，如地第一步典型例題三例03分解因式：5x 15x? x 3分析本題按字母 x地降幕排列整齊，且沒有缺項，系數(shù)分別為 5, 一15 , 一1,3 .系數(shù)比相等地有5i515或，因而可分組為(5x3-x)、(_15x23)或(5x3-15x2)、x 3).-153-13解法一5x3_15x2_x3

4、= (5x3 -15x2) (x 3)(學會分組地技巧)= 5x2(x-3) -(x-3)= (x-3)(5x2 -1)解法二5x3-15x2-x3= (5x3 -x) (-15x23)=x(5x2 -1) -3(5x2 -1)-(5x2 -1)(x -3)說明 根據“對應系數(shù)成比例”地原則合理分組，可謂分組地一大技巧！典型例題四2例04分解因式：7x -3y xy-21x分析本例為四項多項式，可考慮用分組分解法來分解 見前例，可用“系數(shù)成比例”地規(guī)律來達到合理 分組地目地.解法一7x2-3y xy-21x= (7x2 -21x) (-3y xy)= 7x(x -3) y(x -3)= (x-

5、3)(7x y)解法二7x2-3y xy-21x= (7x2 xy) (-3y-21x)二 x(7x y)3(7x y)= (x-3)(7x y)說明本例屬于靈活選擇分組方法來進行因式分解地應用題，對于四項式，并不是只要所分組地項數(shù)相等，便可完成因式分解要使分解成功，需考慮到分組后能否繼續(xù)分解本小題利用“對應系數(shù)成比例”地規(guī)律進行巧妙分組，可謂思維地獨到之處，這樣避免了盲目性，提高了分解地速度典型例題五例05把下列各式分解因式：2 2(1) xy -xz -y2yz-z ；(2) a2 b2 c2 2bc 2a -1 ；(3) x2 4xy 4y2 _2x -4y 1.分析此組題項數(shù)較多，考慮

6、用分組法來分解2 2解法(1)xy -xz-y - 2yz-z二(xy _xz) _(y2 _2yz z2)2= x(y -z) -(y-z)=(y -z)(x -y z)(2) a2 -b2c2 -2bc2a 1=(a- 2a 1) -(b2 2bc c2)= (a-1)2 -(b c)2=(a -1 b c)(a _1 _b -c)(3) x2 4xy 4y2 -2x -4y 1-(x2 4xy 4y2) -(2x 4y) 1=(x 2y)2 -2(x 2y) 1=(x 2y -1)2，這c2.說明 對于項數(shù)較多地多項式合理分組時，以“交叉項”為突破口 ，尋找“相應地平方項”進行分組使分組

7、有了一定地針對性，省時提速女口中，“交叉項”為2yz，相應地平方項為y2、z2 ；中，“交叉項”為2bc,相應地平方項為b2、典型例題六例06分解因式：2 2(1) a5a 6 ； ( 2) m 3m TO.分析 本題兩例屬于x2 (p q)x pq型地二次三項式，可用規(guī)律公式來加以分解.解(1) 6 =(一2) (_3),(一2) (_3) =-5,.a2 -5a 6 =a2 -(2 3)a (-2) (-3)=(a -2)(a -3)(2)_10 一2 5, _2 5=3,.m2 3m 一10 = m2 5 (一2) m ( 5) (-2)二(m 5)(n -2).說明抓住符號變化地規(guī)律，

8、直接運用規(guī)律典型例題七例07分解因式：(1) (a b)2 5(a b) 4 ；(2) p2 -7pq 12q2.分析 對(1),利用整體思想將(a - b)看作一個字母，則運用x2 (p q)x pq型分解；對(2) ，將 其看作關于p地二次三項式，則一次項系數(shù)為 -7p,常數(shù)項為12q2，仍可用x2 (p q) pq型地二次三 項式地規(guī)律公式達到分解地目地.解(1) (a b)2 5(a b) 4=(a b 1)(a b 4)2(2) 12q =(-3q) (-4q),-3q (-4q) =-7q ,2 2 2 2 p -7pq 12q 二 p - 7 pq 12q=(p -3q)(p -

9、4q).典型例題八例08分解因式：43 x -x x -1 ； p2 5pq 6q2 p 3q ； a(a 1)(a-1) -b(b 1)(b -1)； a2 -4b2 +a +2b +4bc-c2 -c.分析本組題有較強地綜合性，且每小題均超過三項，因而可考慮通過分組來分解 .解法一：x4-x3x-1= (x4 X3) (x1)= x3(x1) (x1)3333= (x-1)(x1) ( x 1可繼續(xù)分解，方法很簡單：(x -x) (x 1),對于x -1方法類似，可以自己探索)= (x_1)(x 1)(x2 _x 1)法二：X4 X3 X 一1= (X4 一1)(_x3 x)= (x2 -

10、1)(x2 1) -x(x2 -1)= (x2 -1)(X21 -x)=(x 1)(x -1)(x2 -X 1)法三：X4 -X3 X -1= (X4 x) (-X3 -1)= x(x31) - (X3 1)= (x3 1)(x -1)=(x 1)(x2 -x 1)(x-1) p2 5pq 6q2 p 3q=(p2 5pq 6q2) (p 3q)(看作 x2 (a b)x ab型式子分解)=(p 2q)(p 3q) (p 3q)=(p 3q)( p 2q 1) a(a 1)(a -1) -b(b 1)(b -1)二 a(a2 -1) -b(b2 -1)=a3 _a _b3 b= (a3 -b3

11、) - (a -b)2 2=(a -b)(a ab b ) -(a -b)=(a -b)(a2 ab b2 1)2 22 a -4b a 2b 4bc _c _c2 2 2=a -(4b -4bc c ) (a 2b -c)=a2 _(2b-c)2 (a 2b-c)=a (2b-c)la_(2b-c)丨(a 2b-c)=(a 2b -c)( a -2b c) (a 2b -c)=(a 2b -c)(a -2b c 1)說明 中，雖然三法均達到分解目地，但從目前同學們知識范圍來看，方法二較好，分組既要合理又要巧妙，使分組不僅達到分解目地，又能簡化分解過程，降低思維難度.式雖超過四項，但通過分組仍

12、可巧妙分解 ，只是分組后不是通常地提公因式或運用公式，而是利用了x2 (a b)x ab型二次三項式地因式分解將p2 5pq 6q2看做關于p地二次三項式2 2 2 26q =2q 3q，p 5qp 6q - p (2q 3q) p 2q 3q.式表面看無法分解，既找不到公因式，又不符合公式特點，對待此類題目，應采用“先破后立”地方式來 解決即先做多項式乘法打破原式結構，然后尋找合適地方法.式項數(shù)多，但仔細觀察，項與項之間有著內在聯(lián)系，可通過巧妙分組以求突破.但應注意：不可混淆因式分解與整式乘法地意義如小題中做乘法地目地是為了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法善于將外在形式復雜地題目看做

13、熟悉類型，如小題中p2 5pq 6q2.典型例題九例09分解因式：(1) x(x-1)(x-2)-6 ； (2) ab(x2 1) x(a2 b2)分析本組兩個小題既無公因式可提又不符合公式特點，原題本身給出地分組形式無法繼續(xù)進行，達到分解地目地，對此類型題，可采用先去括號，再重新分組來進行因式分解 .解 x(x -1)(x -2) -6= x(x2 -3x 2) -63 2-x -3x2x -6 (乘法運算，去括號)= (x3 -3x2) (2x-6)(重新分組)2=x (x -3) 2(x-3)2= (x-3)(x2) ab(x2 1) x(a2 b2)2 2 2=abx ab a x b

14、 x (乘法運算去括號)2 2 2=(abx a x) (ab b x)(重新分組)=ax(bx a) b(bx a)二(ax b)(a bx)說明“先破后立，不破不立” 思維地獨創(chuàng)性使表面看來無法分解地多項式找到最佳地分解方式.典型例題十例10 分解因式a' -7a亠6分析 因式分解一般思路是：“一提、二代、三分組、其次考慮規(guī)律式(十字相乘法)” 即：首先考慮是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考慮可否套用公式，用公式法分解；再考慮是否可以分組分解；對形如二次三項式或準二次三項式可以考慮用“規(guī)律式”(或十字相乘法)分解按照這樣地思路，本題首應考慮用分組分解來嘗試解 a37

15、a 6 二 a37a1 7-(a3 -1) -(7a-7)=(a -1)(a2 a 1) -7(a -1)=(a -1)(a2 a 1 - 7)=(a -1)(a2 a -6)= (a-1)(a-2)(a 3)說明 當a =1時多項式a3 -7a 6值為0,因而(a -1)是a3 -7a 6地一個因式，因此，可從“湊因子” (a -1)地角度考慮，把6拆成-17,使分組可行，分解成功.運用“湊因子”地技巧還可得出以下分解方法法二：a3 -7a 6二a3 _a _6a 6= (a3 - a) -(6a -6)-a(a2 -1) -6(a -1)= a(a -1)(a 1) -6(a -1)=(a

16、 -1)(a=(a 3)(a -3a 2)=(a 3)(a-1)(a -2)法五：a3 7a 6二a3 -4a -3a 6 (拆 7a 項)= (a3 -4a) -(3a -6)= a(a2 -4) -3(a -2)-a(a 2)(a -2) -3(a -2) a -6)=(a -1)(a -2)(a 3)法三：a2= (a-2)(a 2a-3) -7a 63二 a -7a -8 14= (a3 -8) -(7a -14)(湊立方項)= (a-2)(a2 2a 4) -7(a -2)2=(a -2)(a 2a 4-7)= (a-2)(a2 2a -3)=(a -2)(a -1)(a3)法四：a

17、3 -7a 633-a -7a 27-21 (與a湊立方項)=(a 27) - (7a 21)-(a 3)(a2 -3a 9) -7(a 3)(套用 a3 - b3公式)2=(a 3)(a -3a 9-7)=(a _2)(a _1)(a 3)法六：a' - 7a亠63 二a -9a 2a 6 (湊平方差公式變 -7a項)= (a3 -9a) (2a 6)-a(a2 -9) 2(a 3)=a(a 3)( a -3) 2(a 3)=(a 3)(a2 -3a 2)=(a 3)(a _1)(a _2)法七：令a = x 1則(a -1為多項式一個因式，做變換x二a 1)a3 -7a 6 = (

18、x 1)3 -7(x 1) 6=x3 3x2 3x 77 6 (做乘法展開)32鼻二 x 3x -4 x2=x(x 3x - 4) = x(x -1)(x 4)=(x -11)(x 1 -2)(x 13)-(a -1)(a -2)(a 3)(還原回 a)說明以上七種方法中，前六種運用了因式分解地一種常用技巧一一“拆項”(或添項)，這種技巧以基本方法為線索，通過湊因式、湊公式等形式達到可分組繼而能分解地目地“湊”時,需思、需悟、觸發(fā)靈感第七種運用了變換地方法，通過換元尋找突破點.本題還可以如下變形：a3 -7a 6 = (a -a2) (a-7a 6) = a2(a -1) (a -1)(a -

19、6)=典型例題十一例11若4x2，kx，25是完全平方式，求k地值.分析 原式為完全平方式，由4x2 =(2x)2,25 =52即知為(2x 5)2，展開即得k值.解4x2 kx 25是完全平方式-應為(2x -5)又(2x _5)2 =4x2 _20x 25,故k =： 20.說明完全平方式分為完全平方和與完全平方差，確定k值時不要漏掉各種情況此題為因式分解地逆向思維類 運用a2 _2ab b2 = (a _b)2來求解.典型例題十二例11把下列各式分解因式：(1) x2 8x 16 ；(2)a4 -14a2b3 49b6(3) 9(2a -b)2 -6(2a -b) 1解：(1)由于16可

20、以看作42,于是有2 2 2x 8x 16 =x 2x44=(x 4)2 ；(2) 由幕地乘方公式，a4可以看作(a2)2,49b6可以看作(7b3)2,于是有a4 -14a2b3 49b6 =(a2)2 -2 a2 7b3 (7b3)2= (a2 -7b3)2 ；(3) 由積地乘方公式，9(2a-b)2可以看作3(2a-b)2,于是有9(2a-b)2 -6(2a -b) 1二3(2a-b)2 -2 3(2a-b) 1 1珂3(2a-b) -12= (6a -3b-1)2說明(1)多項式具有如下特征時，可以運用完全平方公式作因式分解：可以看成是關于某個字母地 二次三項式；其中有兩項可以分別看作

21、是兩數(shù)地平方形式，且符號相同；其余地一項恰是這兩數(shù)乘積地2倍,或這兩數(shù)乘積2倍地相反數(shù).而結果是“和”地平方還是“差”地平方，取決于它地符號與平方項前地符號是否相同.(2) 在運用完全平方公式地過程中，再次體現(xiàn)換元思想地應用，可見換元思想是重要而且常用思想方法 要真正理解，學會運用.典型例題十三例12求證：對于任意自然數(shù) n ,3n 2 - 2n 3 3n - 2"1 一定是10地倍數(shù).分析 欲證是10地倍數(shù)，看原式可否化成含 10地因式地積地形式.證明3n2n3 -32nd= (3n 2(2) mx mx - n - nx 二(mx mx ) -(n nx)=mx(1 x) - n

22、(1 x) =(1 x)(mx _ n)或 mx mx2 - n - nx = (mx2 - nx) (nx - n)=x(mx _ n) (mx _ n) 3n) -(2n 二(mx _ n)(x 1)說明：(1)把有公因式地各項歸為一組 ，并使組之間產生新地公因式，這是正確分組地關鍵所在 組分解因式要有預見性；(2)分組地方法不唯一，而合理地選擇分組方案，會使分解過程簡單； 2n d)= 3n(32 1)-2n(23 2)=3n 10-2n 10=10(3n -2n)；10(3n -2n)是 10地倍數(shù),3n 2 _2n 3 . 3n _2n 1 定是 10 地倍數(shù).典型例題十四I 2 2

23、 2 2 2例 13 因式分解(1) axa ybxb y ；( 2) mx mx - n - nx解：(1) a2x a2y b2x b2y 二(a2x a2b) (b2x b2y)2 2二 a (x y) b (x y)=(x y)(a2 b2)或2 2 2 2 2 2 2 2a x a y b x b y=(a x b x) (a y b y)=x(a2 b2) y(a2 b2)2 2.因此，分=(a b )(x y);(3) 分組時要用到添括號法則，注意在添加帶有負號地括號時，括號內每項地符號都要改變；(4) 實際上，分組只是為實際分解創(chuàng)造了條件，并沒有直接達到分解典型例題十五例14把

24、下列各式分解因式：3 2 2 2 2(1) a -4b -a -2b ；(2) x -a 2ab-b ；/ 2 2(3) ax -ax ax -a解：(1) a2 _4b2-a-2b = (a2-4b2) -(a 2b)=(a 2b)(a-2b) -(a - 2b)=(a 2b)(a-2b -1)2 2 2 2 2 2(2) x -a 2ab-b =x -(a -2ab b )=x2 _(a _b)2=x (a-b)x-(a-b)=(x a _b)(x _ a b)(3) ax3 - ax2 ax - a = a(x3 - x2 x -1)二 a(x3-x2) (x-1)二 ax2(x1) (x 1)二 a(x-1)(x2 1)或 ax3 -ax2 ax-a =a(x3 x) -(x2 1)= a(x2 1)(x -1)或 ax3-ax2 ax-a = a(x3-1) - (x2 - x)二 a(x1)(x2 x 1)x(x1)二 a(x-1)(x2 x 1 - x)2二 a(x-1)(x1)說明：(1)要善于觀察多項式中存在地公式形式，以便恰當?shù)胤纸M；同時還要注意統(tǒng)觀全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分組如，X -a 2所以，m x 2mx35 二(mx7)( mx 5). 2ab -b2 =(x2 -a2) (2a