二次型第一節(jié)二次型與其矩陣表達(dá)

1、二次型第一節(jié)二次型與其矩陣表達(dá)第一節(jié)第一節(jié)二次型二次型及其矩陣表示及其矩陣表示二次型的定義二次型的定義二次型的表示法二次型的表示法矩陣的合同矩陣的合同非退化線性變換（非退化線性變換（可逆線性變換）可逆線性變換）用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形稱為稱為n元二次型。元二次型。二次型的定義二次型的定義 定義定義5.15.1含有含有n個(gè)變量個(gè)變量的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù)nxxx,21 如不特別聲明，今后我們只討論實(shí)二次型如不特別聲明，今后我們只討論實(shí)二次型ija當(dāng)系數(shù)當(dāng)系數(shù)取復(fù)數(shù)時(shí)取復(fù)數(shù)時(shí),稱為復(fù)二次型稱為復(fù)二次型;當(dāng)系數(shù)當(dāng)系數(shù)取實(shí)數(shù)時(shí)取實(shí)數(shù)時(shí),稱為實(shí)二次型稱為實(shí)二次型.ija例如

2、：例如：都是二次型。都是二次型。不是二次型。不是二次型。只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）。稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）。例如：例如：都為二次型；都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。1 1用和號(hào)表示二次型用和號(hào)表示二次型二次型的表示法二次型的表示法2 2用矩陣表示二次型用矩陣表示二次型由此可見由此可見任給一個(gè)二次型，可唯一確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；任給一個(gè)二次型，可唯一確定一個(gè)對(duì)稱矩陣；反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，可唯一確定一個(gè)二次型。反之，任給一個(gè)對(duì)稱矩陣，可唯一確定一個(gè)二次型。即二次型與對(duì)稱矩陣之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系即二次型與對(duì)稱矩陣之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系!TfX

3、 AX 二次型二次型把對(duì)稱矩陣把對(duì)稱矩陣稱為二次型稱為二次型的矩陣的矩陣Af也把二次型也把二次型稱為對(duì)稱矩陣稱為對(duì)稱矩陣的二次型的二次型fA對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣的秩稱為二次型的秩稱為二次型的秩的秩Af 定義定義5.25.2例例1 寫出下列二次型的矩陣表達(dá)式寫出下列二次型的矩陣表達(dá)式j(luò)iijaa解解 按按的要求不改變完全平方項(xiàng)，把的要求不改變完全平方項(xiàng)，把交叉乘積項(xiàng)的系數(shù)取半得：交叉乘積項(xiàng)的系數(shù)取半得：注意注意僅當(dāng)僅當(dāng)A滿足滿足AAT時(shí)時(shí),為二次型的矩陣表示式為二次型的矩陣表示式),(321xxxf二次型二次型的矩陣為：的矩陣為：則二次型為則二次型為以以為矩陣二次型的為矩陣二次型的001010100

4、例例2：求二次型：求二次型的矩陣的矩陣f11031223002A 解：解：1100121001020027A 解：解：1000021100022100002100002100002A 解：解：12323101012A 例例3：求對(duì)稱矩陣：求對(duì)稱矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型。所對(duì)應(yīng)的二次型。A1232221231213(,)22 3f xxxxxxx xx x 解：解：例例3：已知二次型：已知二次型的秩為的秩為2，求參數(shù)，求參數(shù)c。222123123121323( ,)55266f x x xxxcxx xx xx x f51315333Ac 解：解：關(guān)系式關(guān)系式記作（記作（2）稱為由變量稱為由變量到變量

5、到變量的一個(gè)線性變量的一個(gè)線性變量替換，簡(jiǎn)稱線性變換。替換，簡(jiǎn)稱線性變換。非退化線性變換（可逆線性變換）非退化線性變換（可逆線性變換） 定義定義5.35.3系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣稱為線性變換矩陣稱為線性變換矩陣C若若是可逆矩陣，是可逆矩陣，則稱線性變換（則稱線性變換（2）是非退化線性變換）是非退化線性變換或可逆線性變換或可逆線性變換C若若是正交矩陣，是正交矩陣，則稱線性變換（則稱線性變換（2）是正交線性變換）是正交線性變換系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣則線性變換（則線性變換（2）可記作：）可記作：n元變量元變量說明：說明：對(duì)于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換對(duì)于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可

6、逆的線性變換使二次型只含平方項(xiàng)使二次型只含平方項(xiàng).,1nTijiji jfX AXa x x 即二次型即二次型經(jīng)過可逆線性變換經(jīng)過可逆線性變換CYX 這種只含平方項(xiàng)的二次型，稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型這種只含平方項(xiàng)的二次型，稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型2221122nnfk yk yk y 使得使得解解 2321xxx 例例1 1 2321xxx 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形所用變換矩陣為所用變換矩陣為其矩陣其矩陣所用變換矩陣為所用變換矩陣為因原二次型矩陣為因原二次型矩陣為通過計(jì)算可以驗(yàn)證通過計(jì)算可以驗(yàn)證是對(duì)角矩陣是對(duì)角矩陣即二次型即二次型由此可見由此可見要把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，關(guān)鍵在于求出一個(gè)非奇異矩陣要把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，關(guān)鍵在于求出一個(gè)非奇異矩陣，使得，使得是對(duì)角矩陣。是對(duì)角矩陣。上列是通過配方法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，間接找到非奇異矩上列是通過配方法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，間接找到非奇異矩陣陣，一般說來，這種方法較麻煩。后面將介紹用初等變，一般說來，這種方法較麻煩。后面將介紹用初等變換和正交變換的方法求矩陣換和正交變換的方法求矩陣注意注意CCC經(jīng)過非退化線性變換經(jīng)過非退化線性變換CYX 可化為可化為則則分析：分析：矩陣的合同矩陣的合同因?yàn)橐驗(yàn)?以上說明：以上說明： 定義定義5.45.4 定義定義5.55.5等價(jià)的二次型等價(jià)的二次型,它們的矩陣之間是合同的它們的矩陣之