人力資源調(diào)度的優(yōu)化模型

1、人力資源調(diào)度的優(yōu)化模型摘要本文主要研究人力資源調(diào)度的最優(yōu)化問(wèn)題。人力資源調(diào)度問(wèn)題中所要處理的數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是 比較繁瑣的，所以如何有效地設(shè)置決策變量，找出相互關(guān)系是我們建立模型的突破口。上述模型屬 于多元函數(shù)的條件極值問(wèn)題的圍，然而許多實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)出的這種形式的優(yōu)化模型，起決策變量個(gè) 數(shù)n和約束條件 m般比較大，并且最優(yōu)解往往在可行域的邊界上取到，這樣就不能簡(jiǎn)單地用微分 法求解，數(shù)學(xué)規(guī)劃是解決這類(lèi)問(wèn)題的有效方法。根據(jù)所給的“ PE公司”技術(shù)人員結(jié)構(gòu)及工資情況表、不同項(xiàng)目和各種人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)表格，為 了在滿(mǎn)足客戶(hù)對(duì)專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)要求的前提下，使“PE公司”每天的直接收益最大，我們首先對(duì)不同項(xiàng)目

2、的不同技術(shù)人員的分配個(gè)數(shù)進(jìn)行假設(shè)，從而得到了“PE公司”每天總收入I和每天總支出C，所以每天的直接收益 U I C，這就是公司每天直接收益的目標(biāo)函數(shù)。在此基礎(chǔ)上我們建立 了基于Matlab軟件上的線(xiàn)性規(guī)劃方法一和基于Lindo6.0軟件上的整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃方法二來(lái)求解這個(gè)模型。首先我們 Matlab軟件運(yùn)行這個(gè)函數(shù)，得到求得的值恰好是整數(shù)，滿(mǎn)足題意，在題目的約束條 件下得到的最大公司效益是27150元，此時(shí)的人員分布如下表所示：項(xiàng)目技術(shù)人員ABCD高級(jí)工程師1521工程師6362助理工程師2521技術(shù)員1310因?yàn)閷?duì)題中的數(shù)據(jù)稍做改動(dòng)時(shí)得出的答案就會(huì)出現(xiàn)小數(shù)的現(xiàn)象，為了更好的解決該問(wèn)題，我們 又引

3、入了一個(gè)很好地能處理整數(shù)的軟件Lindo6.0，得到了各個(gè)有效的數(shù)據(jù)。并在模型擴(kuò)展中運(yùn)用已建立的程序?qū)λ玫慕Y(jié)果進(jìn)行靈敏度分析，即討論在收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不變的情況下技術(shù)人員結(jié)構(gòu)對(duì)公司收 益的影響以及在技術(shù)人員結(jié)構(gòu)不變的情況下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)公司收益的影響，并且進(jìn)一步分析在怎樣的 圍最優(yōu)解保持不變，并聯(lián)系社會(huì)實(shí)際進(jìn)行了一定的分析。最后在適當(dāng)簡(jiǎn)化模型的同時(shí)，對(duì)模型進(jìn)行 了改進(jìn)和推廣，預(yù)示了高素質(zhì)人才在現(xiàn)代社會(huì)中將發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。關(guān)鍵詞:人力資源調(diào)度；決策變量；可行域；靈敏度分析；博弈論.問(wèn)題重述:“PE公司”是一家從事電力工程技術(shù)的中美合資公司， 現(xiàn)有41個(gè)專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員,其結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的工資水平分布如表

4、1所示。表1公司的人員結(jié)構(gòu)及工資情況高級(jí)工程師工程師助理工程師技術(shù)員人數(shù)917105日工資（元）250200170110目前，公司承接有4個(gè)工程項(xiàng)目，其中2項(xiàng)是現(xiàn)場(chǎng)施工監(jiān)理，分別在 A地和B地, 主要工作在現(xiàn)場(chǎng)完成；另外2項(xiàng)是工程設(shè)計(jì)，分別在C地和D地，主要工作在辦公室完 成。由于4個(gè)項(xiàng)目來(lái)源于不同客戶(hù)，并且工作的難易程度不一，因此，各項(xiàng)目的合同對(duì) 有關(guān)技術(shù)人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不同，具體情況如表 2所示。表2不同項(xiàng)目和各種人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)高級(jí)工程師工程師助理工程師技術(shù)員A1000800600500收費(fèi)B1500800700600（元/天）C1300900700400D1000800700500為了保證

5、工程質(zhì)量，各項(xiàng)目中必須保證專(zhuān)業(yè)人員結(jié)構(gòu)符合客戶(hù)的要求，具體情況如表3所示：表3:各項(xiàng)目對(duì)專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員結(jié)構(gòu)的要求ABCD高級(jí)工程師工程師助理工程師 技術(shù)員總計(jì)13> 2> 2> 1< 1025> 2> 2> 3< 162> 2> 2> 1< 111228> 1< 18說(shuō)明：表中“13”表示“大于等于1,小于等于3”，其他有“”符號(hào)的同理;項(xiàng)目D,由于技術(shù)要求較高，人員配備必須是助理工程師以上，技術(shù)員不能參加; 高級(jí)工程師相對(duì)稀缺， 而且是質(zhì)量保證的關(guān)鍵， 因此，各項(xiàng)目客戶(hù)對(duì)高級(jí)工程師 的配備有不能少于一定數(shù)目的限

6、制。 各項(xiàng)目對(duì)其他專(zhuān)業(yè)人員也有不同的限制或要 求；各項(xiàng)目客戶(hù)對(duì)總?cè)藬?shù)都有限制；由于C、D兩項(xiàng)目是在辦公室完成，所以每人每天有 50元的管理費(fèi)開(kāi)支。由于收費(fèi)是按人工計(jì)算的， 而且 4 個(gè)項(xiàng)目總共同時(shí)最多需要的人數(shù)是 10+16+11+18=55，多于公司現(xiàn)有人數(shù) 41。因此需解決的問(wèn)題是： 如何合理的分配現(xiàn) 有的技術(shù)力量，使公司每天的直接收益最大？并寫(xiě)出相應(yīng)的論證報(bào)告。二. 模型假設(shè)和符號(hào)說(shuō)明 :1. 模型假設(shè) 根據(jù)問(wèn)題的要求，并為了達(dá)到將問(wèn)題進(jìn)一步明確抽象的目的，在我們的模型中有如 下的假設(shè)：1) PE公司是在同一時(shí)間接手 A、B、C、D四個(gè)工程項(xiàng)目。2) PE公司的各種技術(shù)人員分工相當(dāng)明確，

7、如高級(jí)工程師不能兼職工程師的工作。3) PE公司的專(zhuān)業(yè)技術(shù)人員在接手工程期間不存在著請(qǐng)假，缺席的現(xiàn)象。4) 在PE公司接手這四個(gè)工程的間段，市場(chǎng)物價(jià)穩(wěn)定。各級(jí)技術(shù)人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分 別在如下的圍：高級(jí)工程師的收費(fèi)最低不低于 800元，最高不超過(guò) 1600元； 工程師的收費(fèi)最低不低于 500元，最高不超過(guò) 1200元； 助理工程師的收費(fèi)最低不低于 300元，最高不超過(guò) 900 元； 技術(shù)員的收費(fèi)最低不低于 150元，最高不超過(guò) 600元。5) 假設(shè) A， B， C， X 是如下四個(gè)矩陣： a11, a12 , a13 , a14 , a21 , a22 , a 23 , a 24 ,a31 , a

8、32 , a33 , a34 , a41 , a42 , a43 , a44 b11 ,b12 ,b13 ,b14 ,b21 ,b22 , b23 , b24 , b31 , b32 , b33 , b34 ,b41,b42,b43,b44 Cc11 ,c12 , c13 , c14 , c21 , c22 ,c23,c24,c31,c32,c33,c34,c41,c42 ,c43, c44 Xx11 , x12 , x13 , x14 , x21, x22,x23, x24, x31, x32 ,x33, x34 , x41, x42, x43, x44T2. 符號(hào)說(shuō)明x11,x12,x13

9、,x14分別代表的是在A、B C D項(xiàng)目中高級(jí)工程師的人數(shù)安排X21,X22,X23,X24分別代表的是在A、B、C、D項(xiàng)目中工程師的人數(shù)安排X31,X32,X33,X34分別代表的是在A、B、C、D項(xiàng)目中助理工程師的人數(shù)安排X41,X42,X43,X44分別代表的是在A B、C、D項(xiàng)目術(shù)員的人數(shù)安排aii,ai2,ai3, ay分別代表的是高級(jí)工程師在 A、B、C、D項(xiàng)目中的每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) a2i,a22,a23,a24分別代表的是工程師在A、B、C、D項(xiàng)目中的每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) a3i,a32,a33,a34分別代表的是助理工程師在 A B C D項(xiàng)目中的每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) a4i,a42,a43,a4

10、4分別代表的是技術(shù)員在A、B、C、D項(xiàng)目中的每天收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn) bi,b2,bi3,bi4分別代表的是PE公司為A、B、C、D項(xiàng)目中的高級(jí)工程師每天所支付 的費(fèi)用b2i,b22,b23,b24分別代表的是PE公司在A、B、C、D項(xiàng)目中的工程師每天所支付的 費(fèi)用b3i,b32,b33,b34分別代表的是PE公司為A B C D項(xiàng)目中的助理工程師每天所支付 的費(fèi)用b4i,b42,b43,b44分別代表的是PE公司為A、B、C、D項(xiàng)目中的技術(shù)員每天所支付的費(fèi) 用注：PE公司支出費(fèi)用包括技術(shù)人員的工資和C、D項(xiàng)目中每個(gè)人員每天的50元管理費(fèi)。三. 模型的建立：模型I:基于Matlab的線(xiàn)性規(guī)劃方法根據(jù)題意以

11、及上面的符號(hào)說(shuō)明可以得到下列A, B, C的值A(chǔ)=1000 1500 1300 1000 800 800 900 800 600 700 700 700 500 600 400 500B=250 250 300 300 200 200 250 250 170 170 220 220 110 110 160 160C=AB=750 1250 1000 700 600 600 650 550 430 530 480 480 390 490 240 340 于是得到目標(biāo)函數(shù)：4MaXZ CX(aij bij ) Xiji,j 1s.t.X11X12X13X149X21X22X23X2417X31X3

12、2X33X3410X41X42X43X445X11X21X31X4110X12X22X32X4216X13X23X33X4311X14X24X34X4418X113X125X132X142X2481X11 , X14 , X34 , X41 , X43X12 , X13, X21, X22 , X23 , X24 , X31 , X32 , X33X42X44我們首先來(lái)觀察表1和表3,因?yàn)锳、B、C、D四個(gè)工程需要的技術(shù)員最低限分別是1、3、1、0,而PE公司的技術(shù)員恰好只有5人，所以關(guān)于技術(shù)員的調(diào)度就已經(jīng)確定， A工程1人，B程3人，工程1人，工程0人。即：X41 1,X42 3, X43

13、1,X44 0。又有C工程中高級(jí)工程師的數(shù)量已定，X13 2，因此其實(shí)只有11個(gè)決策變量在影響最終公司 效益。用 Matlab 6.5 軟件中的函數(shù)x,fval=linprog(C,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)解，具體程序看附錄 1:得出數(shù)據(jù) X=1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1,0TMax Z=CX=27150通過(guò)對(duì)高級(jí)工程師的人數(shù)變化時(shí)(其他因素全都不變),分析其對(duì)最大公司效益的影 響,分別取高級(jí)工程師的人數(shù)是9,10,11,12的情況：得出結(jié)果如下表所示高級(jí)工程師人數(shù)X11X12X13X14.91.00005.00002.00001.0000101.

14、70205.00002.00001.2980112.56485.00002.00001.4352123.00005.00002.00002.0000X21X22X23X24,96.00003.00006.00002.0000105.29803.10866.00002.5933114.43523.85066.00002.7143124.00004.01876.00002.9813高級(jí)工程師人數(shù)X31X32X33X3492.00005.00002.00001.0000102.00004.89142.00001.1086112.00004.14942.00001.8506122.00003.9813

15、2.00002.0187高級(jí)工程師人數(shù)X41X42X43X4491.00003.00001.00000.0000101.00003.00001.00000.0000111.00003.00001.00000.0000121.00003.00001.00000.0000上述表格缺陷在于人員分配個(gè)數(shù)出現(xiàn)了小數(shù)，這跟實(shí)際問(wèn)題相違背。分析其原因主要 在于：我們用這個(gè) Matlab6.5軟件做出來(lái)的就是基于用單純形法引入松弛變量而得出來(lái) 的。因?yàn)樗沙趩?wèn)題是作為一個(gè)線(xiàn)形規(guī)劃問(wèn)題，其可行解的集合是一個(gè)凸集，任意兩個(gè)可 行解的凸集組合仍為可行解。由于整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的可行解一定也是松弛問(wèn)題的可行解(反之則不一定)

16、，所以前者最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值不會(huì)優(yōu)于后者最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值。 在一般情況下，松弛問(wèn)題的最優(yōu)解不會(huì)剛好滿(mǎn)足變量的整數(shù)約束條件，因而不是整 數(shù)規(guī)劃的可行解，自然就不是整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。我們用Matlab 6.5中函數(shù) x,fval=li nprog(C,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)求解出來(lái)的當(dāng)高級(jí)工程師人數(shù)變化時(shí)出現(xiàn)了小數(shù)現(xiàn)象，就是上述所述的問(wèn)題。此時(shí)，若對(duì)松弛問(wèn)題的這個(gè)最優(yōu)解中不符合整數(shù)要 求的分量簡(jiǎn)單的取整，所得到的解不一定是整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解，甚至也不一定是整 數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的可行解。基于這個(gè)問(wèn)題我們引入了解這個(gè)模型的第二種方法。模型U :基于LinD06.O的整數(shù)規(guī)劃方法：對(duì)于該

17、問(wèn)題我們有同于4.1的目標(biāo)函數(shù)及約束條件，即MaxZCXi, jij1s.t.X11X12X13X149X21X22X23X2417X31X32X33X3410X41X42X43X445X11X21X31X4110X12X22X32X4216X13X23X33X4311X14X24X34X4418X113X125X132X142X24841Xii , X14 , X34 , X41 , X43X12 , X13 , X21 , X22 , X23 , X24 , X31 , X32 , X33)XjX42X44用Lindo6.0求解問(wèn)題,程序具體見(jiàn)附錄2:得出數(shù)據(jù) X=1,5,2,1,6,3,

18、6,2,2,5,2,1,1,3,1,0TMaxZ=CX=27150結(jié)果跟方法一的相同，從而也驗(yàn)證了結(jié)果的正確性。下面著重通過(guò)人數(shù)變化（其他因素都不變）對(duì)公司最大效益的影響進(jìn)行分析，得出下列 數(shù)據(jù)：高級(jí)工程師人數(shù)變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值（單位為元）94127150104227850114328550124429250134529250工程師人數(shù)變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值（單位為 元）174127150184227700194328250204428800214529350:224629900234730450244831000254931550265032100275132150285232150

19、助理工程師的人數(shù)變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值（單位為 元）1041271501142276301243281101344285901445290701154629550164730030174830510184930990195031470205131950215232430225332910235433390245533870技術(shù)員人數(shù)的變化總?cè)藬?shù)公司效益最大值（單位為 元）5412715064227590743280308442847094528910104629250114729590124829930134930270145030410155130410四. 模型分析：主要采用靈敏度分析法

20、：上面表格中除了告訴我們問(wèn)題的最優(yōu)解和最優(yōu)值以外，還能挖掘出許多隱含著的有用信息：1.（在允許圍）每增加一個(gè)高級(jí)工程師使得公司效益增加700元，如高級(jí)工程師的人數(shù)從9個(gè)增加到10個(gè)公司效益就增大了 700元。增加一個(gè)工程師使得公司效益增加 550 元，增加一個(gè)助理工程師使得公司效益增加 480元，增加一個(gè)技術(shù)員使得公司效益增加 440元，上面公司效益的增加可以看作人數(shù)的潛在價(jià)值稱(chēng)為“影子價(jià)格”，|即高級(jí)工程師的影子價(jià)格是700元，工程師的影子價(jià)格是550元，助理工程師的影子價(jià)格是 480元， 技術(shù)員的影子價(jià)格是440元。2. 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)發(fā)生變化時(shí)（假定約束條件不變），最優(yōu)解會(huì)改變嗎？帶著

21、這個(gè)問(wèn) 題，我們又用Lindo6.0軟件進(jìn)行了單個(gè)系數(shù)變化的處理.即在最初的最優(yōu)解不變的情況 下，求出各系數(shù)允許的變化圍（以其他系數(shù)不變作為前提，求出一個(gè)目標(biāo)系數(shù)變化的圍）。 D公司不需要技術(shù)員，C公司對(duì)高級(jí)工程師的人數(shù)是常數(shù) 2,所以他們不會(huì)對(duì)最終公司效 益產(chǎn)生影響，這里就只分析其他的自變量前的系數(shù)的變化。列出表格如下：此變 量前 的系 數(shù)X11X12X3X14夫1X22X23X24允許 的變 化圍0-1249751- +0- +0-1249551- +551-650551- +0-599公司 效益 變化 幅度15216362此變量X31X32X33X34X41X12兒3前的系 數(shù)允許的變化

22、圍0-529480- +0-5800-5300- +0- +0- +公司效 益變化 幅度2521131說(shuō)明：表格的第一行表示列出的各變量 Xj前系數(shù)（表格中就用變量代替表示）。第二行表示在最優(yōu)解不變的情況下其系數(shù)的變化圍。如0-1249是指其前面的系數(shù)從0變化到1249元，最優(yōu)解都是不會(huì)變化的。第三行表示當(dāng)變量前面的系數(shù)在這個(gè)圍變化時(shí)，雖然最優(yōu)解不發(fā)生變化，但是最優(yōu) 值將發(fā)生變化，目標(biāo)系數(shù)變化一個(gè)單位時(shí)，最優(yōu)值以表格中列的數(shù)值為幅度變化。而還 可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)幅度就是得出的最優(yōu)解里的相應(yīng)項(xiàng)目中具體人員分布的人數(shù)，我們得出的最優(yōu)解是X=1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1。由上

23、述表格還可以畫(huà)出最大公司效益與目標(biāo)系數(shù)的關(guān)系圖，這里只列舉 X11，X12,X 13, X22前面目標(biāo)系數(shù)變化時(shí)，最大公司效 益和目標(biāo)系數(shù)的變化關(guān)系。同理其他的都可以歸結(jié)為這四類(lèi)中的一類(lèi)。如下圖：紅線(xiàn)表 示的就是上面表格中列的最優(yōu)解保持不變時(shí)，系數(shù)變動(dòng)對(duì)最優(yōu)值的影響區(qū)域。對(duì)上面圖形說(shuō)明：各個(gè)圖中的黑點(diǎn)(即折線(xiàn)的交點(diǎn))表示最優(yōu)解發(fā)生變化的臨界點(diǎn)。 用這個(gè)分析結(jié)果很容易看到，若某一個(gè)工程項(xiàng)目只增加其中一種技術(shù)人員的收費(fèi)標(biāo) 準(zhǔn)時(shí)(該工程中其他技術(shù)人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)和其它項(xiàng)目中人員的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，人數(shù)需求均保 持不變)，可以使公司的最大效益增加，但是人力資源調(diào)度不變。這樣公司可以根據(jù)這 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)跟對(duì)方商談價(jià)格，

24、在一定的人數(shù)圍，公司的領(lǐng)導(dǎo)階層可以盡可能地提高收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)， 為公司獲得最大的效益；同時(shí)對(duì)需求方來(lái)說(shuō)他則要出低一點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)得到項(xiàng)目需求 的人數(shù)，這樣需求方可以使支出大大減小。這個(gè)盡可能低的工資從理論上來(lái)說(shuō)有的甚至 可以達(dá)到零值，但是這是不符合實(shí)際情況的。主要原因是我們算出來(lái)的是理論值，從理 論上來(lái)說(shuō)是可以的。我們不能說(shuō)只根據(jù)理論而去采取使高級(jí)工程師的工資為250元(固定工資)，而技術(shù)員的工資還是500元這樣的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，即使是人員分配還是符合項(xiàng)目 的要求。這就要求公司和需求方共同商議來(lái)達(dá)到一個(gè)較好的值，所以模型要跟實(shí)際聯(lián)系 起來(lái)才能得到更好的實(shí)際意義。3. 對(duì)上面的第1點(diǎn)的人員分配做進(jìn)一步的分析

25、：(1) .對(duì)于高級(jí)工程師來(lái)說(shuō)，隨著高級(jí)工程師單位人數(shù)的增加，最大公司效益以700元的幅度遞增。但是當(dāng)人數(shù)增加到 12人時(shí)，最大公司效益卻不再增加。此時(shí)在達(dá)到這 個(gè)最大公司效益的上限值時(shí)，對(duì)應(yīng)著一個(gè)總?cè)藬?shù)是44( <55)。為什么會(huì)出現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象呢？ 按照正常的想法應(yīng)該是高級(jí)工程師越多越好。但在此題中對(duì)此很好解釋?zhuān)驗(yàn)楦呒?jí)工程 師的人數(shù)都有一個(gè)上限，即他不能像我們想象的那樣可以無(wú)限增加直到 55。又由于實(shí)際 中高級(jí)工程師相對(duì)稀缺，而且是質(zhì)量保證的關(guān)鍵。因此各個(gè)項(xiàng)目客戶(hù)對(duì)高級(jí)工程師的配 備有不能少于一定數(shù)目的限制是需要的。(2) .對(duì)于工程師來(lái)說(shuō)，同樣隨著工程師單位人數(shù)的增加，最大公司效益以

26、550元的幅度遞增。當(dāng)人數(shù)達(dá)到27人時(shí)，最大公司效益也不再增加，而是保持在27150元這個(gè)值不變。此時(shí)的總?cè)藬?shù)是 51（55），又出現(xiàn)了這樣的現(xiàn)象。顯然這里并不是純粹的如上 面的原因，仔細(xì)觀察上面的數(shù)據(jù)圖可以看到此時(shí) A、B、C三個(gè)項(xiàng)目都已經(jīng)達(dá)到了最大的 約束項(xiàng)限制，而在D地卻沒(méi)有達(dá)到，從這里就可以得出主要原因是在D地，同樣的在D地對(duì)工程師的人數(shù)需28,又是上面提到的存在上限的問(wèn)題。（3）. 對(duì)于助理工程師來(lái)說(shuō)，隨著助理工程師單位人數(shù)的增加，最大公司效益以小一 點(diǎn)的值 480 元的幅度遞增。當(dāng)人數(shù)達(dá)到 24人時(shí)，已經(jīng)達(dá)到了使最大公司效益不變的值， 此時(shí)最大值 33870元，此時(shí)總?cè)藬?shù)剛好達(dá)到題

27、目限制的最大值 55人，得到了較好的人 數(shù)分配，使得每個(gè)工程項(xiàng)目都能有足夠的人力資源來(lái)進(jìn)行工作。（4）. 對(duì)于技術(shù)員來(lái)說(shuō)， 相對(duì)于技術(shù)員單位人數(shù)的增加， 最大公司效益也是以幅度 440元來(lái)遞增。雖然技術(shù)員并沒(méi)有像上面所說(shuō)有上限的限制，但是在最大公司效益不再改變 時(shí)，技術(shù)員有 14 人，此時(shí)總?cè)藬?shù)是 50 人，并不能達(dá)到 55人。此時(shí)最大公司效益已經(jīng) 達(dá)到了 30410 元。這里雖然沒(méi)有像上面所說(shuō)的上限約束的限制，可是人數(shù)還是不能達(dá)到 最大分配。這里還是要從題目表格里仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)：D地由于技術(shù)要求較高，技術(shù)員不能參加。這里就給了人數(shù)一個(gè)很大的限制，所以技術(shù)員在是A, B, C三地達(dá)到最大滿(mǎn)足后不

28、能再增加了。這個(gè)分析結(jié)果對(duì)實(shí)際應(yīng)用很有價(jià)值。像這里 A，B，C, D四個(gè)項(xiàng)目共需要55個(gè)人， 當(dāng)公司有足夠的人員來(lái)分配給他們時(shí)，如果它不加考慮的就分配這樣會(huì)出現(xiàn)人員浪費(fèi)。 比如就拿技術(shù)員來(lái)說(shuō)，他達(dá)到 14人時(shí)公司效益不再增加。公司如果分配了 18人給需求 方，這樣這四個(gè)技術(shù)員就好似沒(méi)有得到任何利潤(rùn)，就存在著這種浪費(fèi)現(xiàn)象。實(shí)際中公司 接手的項(xiàng)目往往有很多個(gè)，這里人員分配就顯得更加重要，否則很可能會(huì)出現(xiàn)分配了這 里而在那里得不到滿(mǎn)足?？梢?jiàn)考慮這個(gè)問(wèn)題是非常必須的。用這個(gè)模型可以很方便的解 決這些問(wèn)題。五. 模型的改進(jìn)與推廣：（1）以上的模型還沒(méi)有講到各級(jí)技術(shù)人員分別對(duì)公司效益的產(chǎn)生影響。實(shí)際情況

29、中，不同級(jí)別的技術(shù)人員對(duì)公司的效益都是不同的，下面我們就以問(wèn)題為代表來(lái)討論高 級(jí)工程師、工程師、助理工程師、 技術(shù)員在整體上和人均上每天為公司所創(chuàng)的效益。 （注： 在這里我們假設(shè)在C、D兩個(gè)項(xiàng)目中每人每天不需要 50元的管理開(kāi)支費(fèi)。）那么，在整 體上：9 個(gè)高級(jí)工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入為：1000 115005 1300 2 1000 1250 99850（元）17個(gè)工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入為：80068003900680022001710800（元）10個(gè)助理工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入為：6002700570027001170105100（元）5個(gè)技術(shù)員每天為公司所創(chuàng)的純收入為：5

30、00160034001500011052150（元）各級(jí)技術(shù)人員整體上每天為公司所創(chuàng)的純收入（表1）在人均上：每個(gè)高級(jí)工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入：9850 9 1094.4（元）每個(gè)工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入：10800 17 635.3（元）每個(gè)助理工程師每天為公司所創(chuàng)的純收入：5100 10 510（元）每個(gè)技術(shù)員每天為公司所創(chuàng)的純收入：2150 5 430（元）從上面表1中可以看出高級(jí)工程師和工程師在公司中所起的作用是舉足輕重的，由 此可見(jiàn)一個(gè)公司若沒(méi)有高技術(shù)人員的加盟，它的效益就不會(huì)高，在激烈的競(jìng)爭(zhēng)中就很難 立足，有可能就會(huì)面臨破產(chǎn)的悲劇。從表2中可以看出高級(jí)工程師每天人均為公司所

31、創(chuàng)的純收入是十分可觀的，正因?yàn)槿绱爽F(xiàn)在無(wú)論各個(gè)行業(yè)各個(gè)部門(mén)都希望高素質(zhì)人才加盟自己的隊(duì)伍，而國(guó)際上也把科學(xué)技術(shù)作為衡量一個(gè)國(guó)家綜合國(guó)力的重要標(biāo)志，這也印證了“科學(xué)技術(shù)是生產(chǎn)力”的道理，符 合當(dāng)今社會(huì)現(xiàn)實(shí)潮流。六. 模型評(píng)價(jià)：模型的優(yōu)點(diǎn)如下：1）模型的主體采取L軟件處理數(shù)據(jù)和對(duì)其進(jìn)行靈敏度分析，準(zhǔn)確性高，容量大，邏輯 性嚴(yán)格，計(jì)算速度快，具有較強(qiáng)的說(shuō)服力和適應(yīng)能力。2）動(dòng)態(tài)的分析了各種人員人數(shù)變化對(duì)公司效益的影響和各種人員收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)變化對(duì)公司 效益的影響。3）從單純的問(wèn)題分析中，預(yù)見(jiàn)到了現(xiàn)今社會(huì)對(duì)高技術(shù)人才的需求程度。模型的缺點(diǎn)如下：1）我們?cè)陟`敏度分析中，對(duì)模型中最優(yōu)值的影響因素只是從單個(gè)方面的變化考慮。不是十分的全面參考文獻(xiàn)1. 胡運(yùn)權(quán)，郭耀煌運(yùn)籌學(xué)教程清華大學(xué)19982. 啟源,金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型.高等教育.20033. 靜， 但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第二版）.高等教育2003附錄1:A=1 1 1 1 0 0 0 0 0