位值原理與數(shù)的進(jìn)制

1、目剛匸知識(shí)點(diǎn)撥一、位值原理本講是數(shù)論知識(shí)體系中的兩大基本問題，也是學(xué)好數(shù)論知識(shí)所必須要掌握的知識(shí)要點(diǎn)。通過本講的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生理解并熟練應(yīng)用位值原理的表示形式，掌握進(jìn)制的表示方法、各進(jìn)制間的互化以及二進(jìn)制與實(shí)際問題的綜合應(yīng)用。并學(xué)會(huì)在其它進(jìn)制中位值原理的應(yīng)用。從而使一些與數(shù)論相關(guān)的問題簡(jiǎn)單化。位值原理的定義： 同一個(gè)數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說(shuō),每一個(gè)數(shù)字除了有自身的一個(gè)值外，還有一個(gè)“位置值”。例如“ 2”，寫在個(gè)位上，就表示 2個(gè)一，寫在百位上，就表示2個(gè)百，這種數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來(lái)表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。位值原理的表達(dá)形式：以六位數(shù)為例：abc

2、def axiOOOOO+b 10000+c 1000+d 1)0O+e W+f。、數(shù)的進(jìn)制我們常用的進(jìn)制為十進(jìn)制，特點(diǎn)是“逢十進(jìn)一”。在實(shí)際生活中，除了十進(jìn)制計(jì)數(shù)法外，還有其他的大于1的自然數(shù)進(jìn)位制。比如二進(jìn)制，八進(jìn)制，十六進(jìn)制等。二進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位分別是1、21、22、23、，二進(jìn)制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進(jìn)制中表示為：（100110）2=1 X25+0 X24+0 X23+1 X22+1 X21+0 X2°。二進(jìn)制的運(yùn)算法則：“滿二進(jìn)一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得注意：對(duì)于任意自然數(shù)n,我們有n0=1。n進(jìn)制：n進(jìn)制的運(yùn)

3、算法則是“逢 n進(jìn)一，借一當(dāng)n”，n進(jìn)制的四則混合運(yùn)算和十進(jìn)制一樣，先乘除，后加減；同級(jí)運(yùn)算，先左后右；有括號(hào)時(shí)先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的。5-7位置原理與數(shù)的進(jìn)制二進(jìn)制：在計(jì)算機(jī)中，所采用的計(jì)數(shù)法是二進(jìn)制，即“逢二進(jìn)一”。因此，二進(jìn)制中只用兩個(gè)數(shù)字0和1。教學(xué)目標(biāo)進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換：如右圖所示。目|誡匸例題精講模塊一、位置原理【例1】 某三位數(shù)abc和它的反序數(shù)cba的差被99除，商等于 與的差;【鞏固】ab與ba的差被9除，商等于 與的差;【鞏固】ab與ba的和被11除，商等于 與的和。【例2】（美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）把一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位上的數(shù)字加以交換，得到一個(gè)新的兩位數(shù)如果原來(lái)的兩位數(shù)和交換后的新的

4、兩位數(shù)的差是45,試求這樣的兩位數(shù)中最大的是多少?（這個(gè)數(shù)也叫原數(shù)的反序數(shù) ），新數(shù)比原【鞏固】將一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字順序顛倒過來(lái)，得到一個(gè)新的四位數(shù) 數(shù)大8802 .求原來(lái)的四位數(shù).【鞏固】如果一個(gè)自然數(shù)的各個(gè)數(shù)碼之積加上各個(gè)數(shù)碼之和，正好等于這個(gè)自然數(shù)， 我們就稱這個(gè)自然數(shù)為“巧數(shù)”。例如，99就是一個(gè)巧數(shù)，因?yàn)?9X9 + （9 + 9）= 99?？梢宰C明，所有的巧數(shù)都是兩位 數(shù)。請(qǐng)你寫出所有的巧數(shù)?！纠?】（第五屆希望杯培訓(xùn)試題）有3個(gè)不同的數(shù)字，用它們組成 6個(gè)不同的三位數(shù)，如果這 6個(gè)三位 數(shù)的和是1554,那么這3個(gè)數(shù)字分別是多少？【鞏固】（迎春杯決賽）有三個(gè)數(shù)字能組成 6個(gè)不同的三

5、位數(shù)，這 6個(gè)三位數(shù)的和是 2886，求所有這樣的 6 個(gè)三位數(shù)中最小的三位數(shù).【鞏固】用1, 9, 7三張數(shù)字卡片可以組成若干個(gè)不同的三位數(shù)，所有這些三位數(shù)的平均值是多少?【鞏固】從19九個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)，用這三個(gè)數(shù)可組成六個(gè)不同的三位數(shù)。若這六個(gè)三位數(shù)之和是3330,則這六個(gè)三位數(shù)中最小的可能是幾？最大的可能是幾？【鞏固】a, b, c分別是0： 9中不同的數(shù)碼，用 之和是2234,那么另一個(gè)三位數(shù)是幾？a, b, c共可組成六個(gè)三位數(shù)，如果其中五個(gè)三位數(shù)這個(gè)兩位數(shù)就變成了三位數(shù)，有些兩9倍。求出所有這樣的三位數(shù)?！纠?】 在兩位自然數(shù)的十位與個(gè)位中間插入09中的一個(gè)數(shù)碼,位數(shù)中間插入某個(gè)

6、數(shù)碼后變成的三位數(shù)，恰好是原來(lái)兩位數(shù)的【鞏固】一輛汽車進(jìn)入高速公路時(shí)，入口處里程碑上是一個(gè)兩位數(shù)，汽車勻速行使，一小時(shí)后看到里程碑 上的數(shù)是原來(lái)兩位數(shù)字交換后的數(shù)。又經(jīng)一小時(shí)后看到里程碑上的數(shù)是入口處兩個(gè)數(shù)字中間多一個(gè)0的三位數(shù)，請(qǐng)問：再行多少小時(shí)，可看到里程碑上的數(shù)是前面這個(gè)三位數(shù)首末兩個(gè)數(shù)字交換 所得的三位數(shù)?！眷柟獭繉⑺奈粩?shù)的數(shù)字順序重新排列后，可以得到一些新的四位數(shù)現(xiàn)有一個(gè)四位數(shù)碼互不相同，且沒 有0的四位數(shù)M，它比新數(shù)中最大的小3834，比新數(shù)中最小的大 4338 .求這個(gè)四位數(shù).【例 5 】 已知 abed abc ab a 1370,求abed .【鞏固】（2008年清華附中考題

7、）已知一個(gè)四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008,則所有這樣的四位數(shù)之和為多少.【例6】 有一個(gè)兩位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的前面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果把數(shù)碼3加寫在它的后面，則可得到一個(gè)三位數(shù)，如果在它前后各加寫一個(gè)數(shù)碼3,則可得到一個(gè)四位數(shù).將這兩個(gè)三位數(shù)和一個(gè)四位數(shù)相加等于3600 .求原來(lái)的兩位數(shù).【鞏固】如果把數(shù)碼5加寫在某自然數(shù)的右端，則該數(shù)增加A1111，這里A表示一個(gè)看不清的數(shù)碼，求這個(gè)數(shù)和A?！眷柟獭磕嘲宋粩?shù)形如2abcdefg，它與3的乘積形如abcdefg4，則七位數(shù)abedefg應(yīng)是多少?【例7】 一個(gè)六位數(shù)abcdef ,如 果滿足4 abcdef fabcde

8、 ,則 稱abcdef為"迎春數(shù)”（例如4 102564 410256，貝U 102564就是“迎春數(shù)”）.請(qǐng)你求出所有“迎春數(shù)”的總和.【鞏固】（2008年“華杯賽”決賽）設(shè)六位數(shù)abcdef滿足fabcde f abcdef，請(qǐng)寫出這樣的六位數(shù).【例8】記四位數(shù)abcd為X ,由它的四個(gè)數(shù)字a,b,c,d組成的最小的四位數(shù)記為X ,如果X X*999 ,那么這樣的四位數(shù) X共有個(gè).【例9】將4個(gè)不同的數(shù)字排在一起,可以組成24個(gè)不同的四位數(shù)（4 3 2 124）.將這24個(gè)四位數(shù)按從小到大的順序排列的話，第二個(gè)是5的倍數(shù)；按從大到小排列的話，第二個(gè)是不能被4整除的偶數(shù)；按從小到大

9、排列的第五個(gè)與第二十個(gè)的差在30004000之間.求這24個(gè)四位數(shù)中最大的那個(gè).模塊二、數(shù)的進(jìn)制【例 10 】(101)2 (1011)2 (11011)2 ；(11000111)2 (10101)2 (112 ( ) 2 ；(3021)4(605) 7()10 ；(63121)8(1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)若(1030)n,140，則 n【鞏固】567（)8 ()5()2 ；在八進(jìn)制中，1234456 322；在九進(jìn)制中，144383123 7120 11770 5766【例11】在幾進(jìn)制中有4 13100 ?【鞏固】在幾進(jìn)制中有125 125 16324

10、?【鞏固】算式1534 25 43214是幾進(jìn)制數(shù)的乘法?【例12】將二進(jìn)制數(shù)2化為十進(jìn)制數(shù)為多少?【鞏固】二進(jìn)制數(shù)01轉(zhuǎn)化為8進(jìn)制數(shù)是多少?【鞏固】將二進(jìn)制數(shù).1011轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)?！眷柟獭磕硵?shù)在三進(jìn)制中為 0121121,則將其改寫為九進(jìn)制，其從左向右數(shù)第I位數(shù)字是幾？【例13】現(xiàn)有1克，2克，4克，8克，16克的砝碼各1枚，在天平上能稱多少種不同重量的物體?【例14】在6進(jìn)制中有三位數(shù)abc，化為9進(jìn)制為cba，求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少【鞏固】在7進(jìn)制中有三位數(shù)abc，化為9進(jìn)制為cba，求這個(gè)三位數(shù)在十進(jìn)制中為多少?【鞏固】一個(gè)人的年齡用十進(jìn)制數(shù)和三進(jìn)制數(shù)表示，若在十進(jìn)制數(shù)末尾添個(gè)“0”就是三進(jìn)制數(shù)，求此人的年齡.【鞏固】N是整數(shù)，它的b進(jìn)制表示是777，求最小的正整數(shù) b,使得N是十進(jìn)制整數(shù)的四次方.【例15】試求(2 2006-1)除以992的余數(shù)是多少？【鞏固】計(jì)算(32