數(shù)學(xué)模型--人在雨中奔跑速度與淋雨量的關(guān)系

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 課程設(shè)計(jì)任務(wù)書題目 雨中漫步學(xué)生姓名學(xué)號(hào)專業(yè)班級(jí) 設(shè)計(jì)內(nèi)容與要求生活中的我們常常會(huì)遇到下雨而沒(méi)帶雨具的時(shí)刻，我們?cè)谀菚r(shí)會(huì)有很多選擇，其中之一就是淋雨，往往好多人會(huì)在雨中快走或奔跑而使自己身體淋雨量最小化，但往往很多人會(huì)感覺(jué)到淋雨量并不會(huì)因?yàn)榭熳呋虮寂芏鴾p少多少，反而有時(shí)候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有關(guān)參數(shù)的關(guān)系如何，是否人走得越快雨淋得越少，讓我們假設(shè)一數(shù)學(xué)模型模擬計(jì)算真實(shí)情況。給定的降雨條件下，分別建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析人體在雨中行走時(shí)淋雨多少與行走速度、降雨方向等因素的關(guān)系。其中文中所涉及到的降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)

2、、滲透、流失而在水面上積聚的水層深度，它可以直觀地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時(shí)間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積。針對(duì)問(wèn)題一，設(shè)降雨淋遍全身不考慮雨的方向，經(jīng)簡(jiǎn)化假設(shè)得人淋雨面積為前后左右及頭頂面積之和。針對(duì)問(wèn)題二，雨迎面吹來(lái)，雨線方向與行走方向在同一平面，人淋雨面積為前方和頭頂面積之和。因各個(gè)方向上降雨速度分量不同，故分別計(jì)算頭頂和前方的淋雨量后相加即為總的淋雨量。據(jù)此可列出總淋雨量W與行走速度v之間的函數(shù)關(guān)系。分析表明當(dāng)行走速度為時(shí)，淋雨量最少。針對(duì)問(wèn)題三，雨從背面吹來(lái)，雨線與行走方向在同一平面內(nèi)，人淋雨量與人和雨相對(duì)速

3、度有關(guān)。列出函數(shù)關(guān)系式分析并求解。學(xué)生簽名 起止時(shí)間摘要本文在給定的降雨條件下，分別建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析人體在雨中行走時(shí)淋雨多少與行走速度、降雨方向等因素的關(guān)系。其中文中所涉及到的降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水面上積聚的水層深度，它可以直觀地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時(shí)間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積。針對(duì)問(wèn)題一，設(shè)降雨淋遍全身不考慮雨的方向，經(jīng)簡(jiǎn)化假設(shè)得人淋雨面積為前后左右及頭頂面積之和。針對(duì)問(wèn)題二，雨迎面吹來(lái)，雨線方向與行走方向在同一平面，人淋雨面積為前方和頭頂面積之和。因各個(gè)方向上

4、降雨速度分量不同，故分別計(jì)算頭頂和前方的淋雨量后相加即為總的淋雨量。據(jù)此可列出總淋雨量W與行走速度v之間的函數(shù)關(guān)系。分析表明當(dāng)行走速度為時(shí)，淋雨量最少。針對(duì)問(wèn)題三，雨從背面吹來(lái)，雨線與行走方向在同一平面內(nèi)，人淋雨量與人和雨相對(duì)速度有關(guān)。列出函數(shù)關(guān)系式分析并求解。關(guān)鍵詞淋雨量；降雨的大??；降雨的方向（風(fēng)）；路程的遠(yuǎn)近；行走的速度； 雨滴下落的速度，角度；降雨強(qiáng)度； 一、問(wèn)題重述生活中的我們常常會(huì)遇到下雨而沒(méi)帶雨具的時(shí)刻，我們?cè)谀菚r(shí)會(huì)有很多選擇，其中之一就是淋雨，往往好多人會(huì)在雨中快走或奔跑而使自己身體淋雨量最小化，但往往很多人會(huì)感覺(jué)到淋雨量并不會(huì)因?yàn)榭熳呋虮寂芏鴾p少多少，反而有時(shí)候淋雨量倒有所增

5、加，淋雨量和速度等有關(guān)參數(shù)的關(guān)系如何，是否人走得越快雨淋得越少，讓我們假設(shè)一數(shù)學(xué)模型模擬計(jì)算真實(shí)情況。當(dāng)我們?cè)谟曛袕囊惶幯刂本€跑到另一處時(shí)，如果雨速為常數(shù)，走的時(shí)候身體的動(dòng)作的大小和暴露在雨中的面積大小影響著淋雨的多少，并且行走速度也同樣影響著淋雨量，將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高a=1.5米，寬b=0.5米，厚c=0.2m，行走距離，雨速，降雨量，行走速度為 。1、 當(dāng)我們不考慮風(fēng)，即雨滴垂直下落時(shí)，淋雨量和人行走速度之間的關(guān)系？2、 當(dāng)雨滴從前方（斜的）下落時(shí)，即雨滴與人體的夾角為，建立總淋雨量與速度v及其它參數(shù)之間的關(guān)系，此時(shí)速度與淋雨量的關(guān)系？3、 當(dāng)雨從人的背面吹來(lái)，即雨滴與人體的夾角為

6、，建立總淋雨量與速度v之間的關(guān)系？二、模型的假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明2.1 基本假設(shè) 1、假設(shè)人行走的路線是直線；2、不考慮風(fēng)的方向（即假定前后左右都淋雨），這是一種較為理想的假設(shè)，主要為了建模的方便，并且假設(shè)雨滴的速度為常數(shù)；3、為計(jì)算淋雨面積的方便，把人體表面積看成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)用a表示,寬用b表示，厚度用表示，且abc都是定值。2.2 符號(hào)說(shuō)明a-長(zhǎng)方體的長(zhǎng) 單位：米b-長(zhǎng)方體的寬 單位：米c-長(zhǎng)方體的厚度 單位：米-淋雨量單位：升-人行走的速度 單位：米每秒-路程 單位：米-降雨強(qiáng)度 單位：厘米每小時(shí)-雨滴的密度 單位：-雨滴下落的速度 單位：米每秒 -雨迎面吹來(lái)時(shí)與人體的夾角 -與從后面吹來(lái)與人體

7、的夾角三、問(wèn)題分析2.1 問(wèn)題一分析當(dāng)雨滴垂直下落時(shí)（即沒(méi)有風(fēng)），此時(shí)只有頂部淋雨，淋雨量為 2.2 問(wèn)題二分析雨迎面吹來(lái)，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為，如圖1所示。根據(jù)實(shí)際情況估計(jì)人體淋雨可分為頭頂和前后左右?guī)讉€(gè)方向上。雨迎面吹來(lái)時(shí)，由于雨相對(duì)于人的速度有變化，因此人單位時(shí)間內(nèi)接收雨量變化，且與相對(duì)速度成正比。據(jù)此，推算出前后側(cè)上單位時(shí)間接受雨量。同理，頭頂部位接雨量與雨速垂直于頭頂平面的分速度成正比。分別計(jì)算出頭頂側(cè)與前后側(cè)單位時(shí)間接雨量，并分別乘以各自面積以及時(shí)間,即得到頭頂及兩側(cè)淋雨的總量。在人體總的淋雨量.據(jù)此可得與v之間關(guān)系。圖12.3 問(wèn)題三分析雨從背面吹來(lái)，雨線

8、與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為，如圖2所示。左右方向上淋雨量為0。頭頂上單位時(shí)間內(nèi)接收雨的量與雨速垂直方向上的分量成正比，頭頂面積bc與時(shí)間的以及單位時(shí)間內(nèi)接收雨的量之積。當(dāng)時(shí)，前方不受雨，后方向上單位時(shí)間內(nèi)淋雨量與人前進(jìn)方向上人相對(duì)于雨的速度（usin-v）成正比，據(jù)此推算出后方向上總淋雨量；而當(dāng)時(shí)，后方不受雨，由于人速已經(jīng)高于雨速，這時(shí)前面會(huì)向前撞上雨滴，即前方向上單位時(shí)間內(nèi)淋雨量與成正比，即這時(shí)前方淋雨量為人體前面積ab和跑步時(shí)間以及單位時(shí)間淋雨量之積。由此可計(jì)算出總的淋雨量。 總的淋雨量=前（后）背淋雨量+頂部淋雨量據(jù)此可得與v之間關(guān)系。圖2四、模型的建立與求解3.1 問(wèn)題一的求

9、解總述：當(dāng)雨滴垂直下落時(shí)（即沒(méi)有風(fēng)），此時(shí)只有頂部淋雨，淋雨量為 3.2 問(wèn)題二的求解雨迎面吹來(lái)，雨線方向與行走方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為，如圖1所示。根據(jù)實(shí)際情況估計(jì)人體淋雨可分為頭頂和前左右?guī)讉€(gè)方向上。雨迎面吹來(lái)時(shí)，由于雨相對(duì)于人的速度有變化，因此人單位時(shí)間內(nèi)接收雨量變化，且與相對(duì)速度成正比。據(jù)此，推算出前后側(cè)上單位時(shí)間接受雨量。同理，頭頂部位接雨量與雨速垂直于頭頂平面的分速度成正比。分別計(jì)算出頭頂側(cè)與前側(cè)單位時(shí)間接雨量，并分別乘以各自面積以及時(shí)間，即得到頭頂及兩側(cè)淋雨的總量。在人體總的淋雨量.據(jù)此可得與v之間關(guān)系。圖1 3.3 問(wèn)題三的求解雨從背面吹來(lái)，雨線與行走方向在同一平面內(nèi)且與

10、人體夾角為，如圖2所示。左右方向上淋雨量為0。先考慮的情形，也就是說(shuō)人走的速度慢于雨滴的水平分速度。這是雨滴淋在頂部和后背上，且淋在后背的雨量為： 其頂部淋雨量為： 所以總的淋雨量=后背淋雨量+頂部淋雨量即 圖2當(dāng)時(shí)，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨會(huì)沾到人的前面 總的淋雨量：所以五、結(jié)果表示與分析4.1問(wèn)題一因?yàn)榧僭O(shè)人體表面積是定的，且降雨強(qiáng)度也是一定的，所以由可以看出，降雨強(qiáng)度只與人的行走速度有關(guān)，且成反比，即人走得越快淋雨量越少。4.2 問(wèn)題二上式應(yīng)用了雨滴速度的分解及相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的概念，所以總的淋雨量 其中假設(shè)夾角一定，淋雨量隨著的變大而變小，即人走的越快淋雨量越少 4.3 問(wèn)題三此時(shí)表明：當(dāng)時(shí)，人僅僅只有頭頂被雨水淋了，意味著身體前后都沒(méi)被雨水淋到，當(dāng)人的速度低于時(shí)，則由于雨水落在背上，使得淋雨量增加；而人的速度大于時(shí)，人的前面亦要淋到雨；所以人以可能的速度走是最優(yōu)策略。六、模型評(píng)價(jià)通過(guò)對(duì)本題的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不僅與跑步速度有關(guān)，還與雨線與人跑步方向的夾角，雨速以及人跑步速度等因素有關(guān)。本文忽略了降雨密度不均勻，風(fēng)向不穩(wěn)定等次要因素，以便更好的對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析和研究。但在實(shí)際問(wèn)題中的限制性因素遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)這些，因此此文的分析方法仍存在一定的局限性，有待改進(jìn)和提高。如果能結(jié)合MATLAB來(lái)分析模型就更好了，雖然