實際問題與一元一次方程探索

1、實際問題與一元一次方程探索探索實際問題與一元一次方程 河北省遷安市扣莊中學(xué) 蘭義元一、教材分析(一)教材的地位和作用本節(jié)內(nèi)容是一元一次方程應(yīng)用的延伸與拓展,它進(jìn)一步讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程,同時又滲透了函數(shù)與不等式的思想,為以后內(nèi)容學(xué)習(xí)奠定了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的作用.學(xué)生能深刻地認(rèn)識到方程是刻畫現(xiàn)實世界有效的數(shù)學(xué)模型,領(lǐng)悟到“方程”的數(shù)學(xué)思想方法.總之,本節(jié)內(nèi)容無論在知識上還是在數(shù)學(xué)思想方法上,都是十分很好的素材,能很好培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、應(yīng)用意識以及創(chuàng)新能力.(二)教材的重難點本節(jié)的重點是探索并掌握列一元一次方程解決實際問題的方法.而方程

2、的建模思想學(xué)生還是初步接觸,尋找相等關(guān)系對學(xué)生來說仍相當(dāng)困難,所以確定“找出已知量與未知量之間的關(guān)系,尤其是相等關(guān)系”為本節(jié)的難點之一,列方程解應(yīng)用題的最終目標(biāo)是運用方程的解對客觀現(xiàn)實作出合理的解釋,這是本節(jié)的難點之二.二、教學(xué)目標(biāo)分析(一)知識技能目標(biāo)1.目標(biāo)內(nèi)容(1) 結(jié)合生活實際,會在獨立思考后與他人合作,結(jié)合估算和試探,列出一元一次方程解決本節(jié)的三個實際問題,并能解釋結(jié)果的實際意義及其合理性.(2) 培養(yǎng)學(xué)生建立方程模型來分析、解決實際問題的能力以及探索精神、合作意識.2.目標(biāo)分析(1) 本節(jié)的內(nèi)容就是通過列方程、解方程來解決實際問題,這是必須掌握的知識,估算與試探的思維方法也很重要,

3、這是發(fā)現(xiàn)和解決問題的有效途徑.(2) 七年級的學(xué)生對數(shù)學(xué)建模還比較陌生,建模能突出應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識,而探索精神和合作意識又是課標(biāo)所大力倡導(dǎo)的,因而必須加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力.(二)過程目標(biāo)1.目標(biāo)內(nèi)容在活動中感受方程思想在數(shù)學(xué)中的作用,進(jìn)一步增強(qiáng)應(yīng)用意識.2.目標(biāo)分析利用方程解決問題是有用的數(shù)學(xué)方法,學(xué)生在前兩節(jié)的數(shù)學(xué)活動中,有了一些初步的經(jīng)驗,但是更接近生活,更富有挑戰(zhàn)性的問題則需要師生合作,探索解決.(三)情感目標(biāo)1.目標(biāo)內(nèi)容(1) 在探索中獲得成功的體驗,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,享受與他人合作的樂趣,建立自信心.(2) 通過對實際問題的解決,進(jìn)一步體會“數(shù)學(xué)來源于生活,且服務(wù)于生活”的辯

4、證思想.2.目標(biāo)分析七年級學(xué)生的年齡特征決定了他們好奇心強(qiáng)、思想活躍、求知心切.利用教材培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、方法和品質(zhì),這是落實新課標(biāo)倡導(dǎo)的教育理念的關(guān)鍵.三、教材處理與教法分析本節(jié)內(nèi)容擬定兩課時完成,今天說課的內(nèi)容是第一課時(探究、探究).根據(jù)本節(jié)課的特點及七年級學(xué)生的心理特征和認(rèn)知特征,本節(jié)課采用探索發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行教學(xué),在活動中充分體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人,教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者.本課借助多媒體輔助教學(xué),給學(xué)生以直觀形象的演示,增強(qiáng)感性認(rèn)識,增強(qiáng)教學(xué)效果.課中以設(shè)疑提問、分組活動等方式,激發(fā)學(xué)生的興趣,引導(dǎo)學(xué)生自主探索與合作交流,主動獲得知識.四、教學(xué)過程分析(一)教學(xué)過程流程圖探

5、究(二)教學(xué)過程(以探究為主線、形式多樣化)1.問題情境(1) 多媒體展示有關(guān)盈虧的新聞報道,感受生活實際.(2) 據(jù)此生活實例,展示探究,引入新課.考慮到學(xué)生不完全明白“盈利”、“虧損”這樣的商業(yè)術(shù)語,故針對性地播放相關(guān)新聞報道,然后引出要探索的問題.2.討論交流(1) 學(xué)生結(jié)合自己的生活實際,交流對“盈利”、“虧損”含義的理解.(2) 學(xué)生交流后,老師提出問題:某件商品的進(jìn)價是40元,賣出后盈利25%,那么利潤是多少?如果賣出后虧損25%,利潤又是多少?(利潤是負(fù)數(shù),是什么意思?)(3) 要求學(xué)生對探究中商店的盈虧進(jìn)行估算,交流討論并說明理由.在討論中學(xué)生對商店盈虧可能出現(xiàn)不同的觀點,因此

6、引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決問題,統(tǒng)一認(rèn)識.(4) 師生互動,要知道究竟是盈是虧,必須先知道什么?從而引出要算出每件衣服的進(jìn)價.讓學(xué)生討論盈利和虧損的含義,理解其概念,建立感性認(rèn)識;乍一看,大多數(shù)學(xué)生可能在大體估算后得到不虧不盈,直覺上也是如此,但要解決實際問題,還要知其原價(未知量),從這一分析引入未知量,為后面建立模型,做了必要的鋪墊.3.建立模型(1) 學(xué)生自主探索,尋找已知量與未知量之間的關(guān)系,確定相等關(guān)系.(2) 學(xué)生分組,根據(jù)找出的相等關(guān)系列出方程,其中一組計算盈利25%的衣服的進(jìn)價,另一組計算虧損25%的衣服的進(jìn)價.(3) 師生互動:兩件衣服的進(jìn)價和為_;兩件衣服的售價和為_;由于進(jìn)價

7、_售價,由此可知兩件衣服的盈虧情況.(教師及時給出完整的解答過程)學(xué)生分組、計算盈虧;教師參與、適當(dāng)提示;師生互動、得到?jīng)Q策.這樣設(shè)計,讓學(xué)生體會到合作交流、互相評價、互相尊重的學(xué)習(xí)方式,有利于學(xué)生知識的形成與發(fā)展,也有利于學(xué)生健康人格的養(yǎng)成.這樣設(shè)計易于突出重點,突破難點,鞏固應(yīng)用一元一次方程作工具來解決實際問題的方法,也很好地讓學(xué)生從已有的經(jīng)驗中、活動中,有意義地構(gòu)建自己的知識結(jié)構(gòu),獲得實際問題與一元一次方程探索富有成效的學(xué)習(xí)體驗.4.小結(jié)一個感悟:估算與主觀判斷往往與實際情況大相徑庭,需要我們通過準(zhǔn)確的計算來檢驗自己的判斷.培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)作風(fēng).探究(三)教學(xué)過程1.在

8、燈具店選購燈具時,由于兩種燈具價格、能耗的不同,引起矛盾沖突.恰當(dāng)?shù)膯栴}情境激發(fā)學(xué)生探索的欲望,同時讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活,又服務(wù)于生活的實用性.啟發(fā):選擇的目的是節(jié)省費用,費用又是由哪些因素決定的?學(xué)生討論得出結(jié)論:2.列代數(shù)式費用=燈的售價+電費電費=0.5×燈的功率(千瓦)×照明時間(時)在此基礎(chǔ)上,用t表示照明時間(小時).要求學(xué)生列出代數(shù)式表示這兩種燈的費用.節(jié)能燈的費用(元):60+0.5×0.011t.白熾燈的費用(元):3+0.5×0.06t.分析各個量之間的關(guān)系,列出代數(shù)式,為后面列方程,并進(jìn)一步探索提供了基礎(chǔ).3.特值試探 具體感

9、知學(xué)生分組計算:t=1000、2500、3000時,這兩種燈具的使用費用,填入下表:時間(小時)100025003000節(jié)能燈的費用(元)白熾燈的費用(元)學(xué)生填完表格后,展示由表格數(shù)據(jù)制成的條形統(tǒng)計圖.引導(dǎo)學(xué)生討論:從統(tǒng)計圖表,你發(fā)現(xiàn)了什么?問題的答案是多樣的,師生共同得出:照明時間不同,作出的選擇不同.由于在前面的第二節(jié),學(xué)生已經(jīng)學(xué)過“兩種移動電話計費方式”的一道例題,因此學(xué)生應(yīng)該能較熟練地完成表格中的特值試探.又因為七年級學(xué)生的認(rèn)知以直觀形象為主,再給出統(tǒng)計圖,完成特殊到一般,感性到理性的深化.4.方程建模觀察統(tǒng)計圖,你能看出使用時間為多少(小時)時,這兩種燈的費用相等嗎?列出方程:60

10、+0.5×0.011t=3+0.5×0.06t5.合作交流 解釋拓展(1) 照明時間小于2327小時,用哪種燈省錢?照明時間超過2327小時.但不超過3000小時,用哪種燈省錢?學(xué)生分組討論,交流各自的看法.(2) 如果計劃照明3500小時,則需購買兩個燈,設(shè)計你認(rèn)為合理的選燈方案.學(xué)生分組、討論購燈方案只有三種:兩盞節(jié)能燈;兩盞白熾燈;一盞節(jié)能燈、一盞白熾燈.學(xué)生計算各種方案所需費用.關(guān)于選燈方案,學(xué)生可能會有不同的結(jié)果,先讓學(xué)生充分展示他們的計算理由,然后對學(xué)生得出“使用節(jié)能燈3000小時,白熾燈500小時”的結(jié)論,給予充分肯定,并引導(dǎo)學(xué)生尋找理論依據(jù),列式驗證:設(shè)節(jié)能

11、燈的照明時間為t(小時),那么總費用為:60+3+0.5×0.011t+0.5×0.06(3500-t)=168-0.0245t(0t3000)觀察上式可看出,只有當(dāng)t=3000時,總費用最低.培養(yǎng)學(xué)生合作交流,傾聽他人意見,并從交流中獲益的學(xué)習(xí)習(xí)慣,綜合各方面信息的能力.討論2需要考慮的情形不只一種,通過這一問題,培養(yǎng)分類討論的思想,養(yǎng)成縝密的思維品質(zhì).此處滲透著函數(shù)、不等式和分類討論的思想,為后面學(xué)習(xí)實際問題提供了實踐經(jīng)驗.6.反饋練習(xí)一家游泳館每年68月出售夏季會員證,每張會員證80元,只限本人使用,憑證購入場券每張1元,不憑證購入場券每張3元,討論并回答:(1) 什

12、么情況下,購會員證與不購證付相同的錢?(2) 什么情況下,購會員證比不購證更合算?(3) 什么情況下,不購會員證比購證更合算?適時的反饋練習(xí),以加深學(xué)生對這一知識的理解,逐步完善自己的知識結(jié)構(gòu).(四)教學(xué)小結(jié)學(xué)生分組小結(jié)“本課學(xué)到了什么”,各組發(fā)言交流體驗、教師總結(jié):五、設(shè)計說明七年級學(xué)生的年齡特征決定了他們好奇心強(qiáng),思想活躍、求知心切.因此我從“以人為本”的理念出發(fā),依據(jù)數(shù)學(xué)的工具性和人文性等特點,在整個教學(xué)活動中始終關(guān)注學(xué)生的發(fā)展,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與創(chuàng)新能力.(一)充分尊重學(xué)生的主體地位發(fā)揮學(xué)生的主體作用,堅持讓學(xué)生自主探索、合作交流,展示學(xué)生的思維過程.(二)樹立方程建模思想突出解釋與

13、應(yīng)用,滲透函數(shù)、不等式、分類討論等數(shù)學(xué)思想和方法,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.(三)注重對學(xué)習(xí)過程與方法的評價關(guān)注學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的熱情,與他人合作的態(tài)度,以及獨立地分析問題、解決問題的能力,力爭讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.(1) 某種商品因換季打折出售,如果按定價的七五折出售將賠25元;而按定價的九折出售將賺20元.問這種商品的定價為實際問題與一元一次方程探索多少元?(2) 某商店為了促銷a牌高級洗衣機(jī),規(guī)定在元旦那天購買該機(jī)可以分兩期付款,在購買時先付一筆款,余下部分及它的利息(年利率為5.6%)在明年的元旦付清,該洗衣機(jī)售價是每臺8 224元,若兩次付款相同,問每次應(yīng)付款多少元?(3)

14、 工廠甲、乙兩車間去年計劃共完成稅利720萬元,結(jié)果甲車間完成了計劃的115%,乙車間完成了計劃的110%,兩車間共完成稅利812萬元,求去年兩個車間各超額完成稅利多少萬元?(4) 一輛汽車用40千米/時的速度由甲地駛向乙地,車行3小時后,因遇雨平均速度被迫每小時減少10千米,結(jié)果到達(dá)乙地時比預(yù)計的時間晚了45分鐘,求甲、乙兩地間的距離.(5) 甲、乙兩人合辦一小型服裝廠,并協(xié)議按照投資額的比例多少分配所得利潤,已知甲與乙投資比例為34,第一年共獲利30 800元,問甲、乙兩人可獲利潤多少元?(6) 有人問老師班級有多少名學(xué)生時,老師說:“一半學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué),四分之一學(xué)生在學(xué)音樂,七分之一的學(xué)生

15、在讀外語,還剩六名學(xué)生在操場踢球.”你知道這個班有多少名學(xué)生嗎?(7) 某人10時10分離家去趕11時整的火車,已知他家離車站10千米,他離家后先以3千米/時的速度走了5分鐘,然后乘公共汽車去車站,問公共汽車每小時至少走多少千米才能不誤火車?綜合運用4.某市居民生活用電基本價格是每度0.40元,若每月用電量超過a度,超出部分按基本電價的70%收費.(1) 某戶五月份用電84度,共交電費30.72元,求a;(2) 若該戶六月份的電費平均為每度0.36元,求六月份共用電多少度?應(yīng)交電費多少元?5.為了鼓勵節(jié)約用水,市政府對自來水的收費標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定:每月每戶不超過10噸部分,按0.45元/噸收費;超過10噸而不超過20噸部分,按0.80元/噸收費;超過20噸部分,按1.5元/噸收費.現(xiàn)已知李老師家六月份繳水費14元,問李老師家六月份用水多少噸?6.一支自行車隊進(jìn)行訓(xùn)練,訓(xùn)練時所有隊員都以35千米/時的速度前進(jìn).突然,有一名隊員以45千米/時的速度獨自行進(jìn),行進(jìn)10千米后調(diào)轉(zhuǎn)車頭,仍以45千米/時的速度往回騎,直到與其他隊員會合.你知道這名