均值不等式的關(guān)鍵是“配對”

1、本文發(fā)表于中學(xué)數(shù)學(xué)研究（南昌）2003年第11期證明分式不等式的關(guān)鍵是去分母215006 蘇州市第一中學(xué) 劉祖希文1234從不同角度介紹了如何使用均值不等式證明輪換對稱不等式，實(shí)際表明，輪換對稱不等式中相當(dāng)一部分是分式不等式.經(jīng)過一番探究，筆者發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵在去分母，即根據(jù)分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，兼顧整體的“次數(shù)”、“系數(shù)”，添加（構(gòu)造）適當(dāng)?shù)氖阶樱賾?yīng)用均值不等式去掉全部或部分分母.下面以文1234的例題為例詳細(xì)予以介紹.1 直接添加分母當(dāng)分母比較簡單時(shí)、分子分母次數(shù)差異不大，可直接添加分母，但應(yīng)根據(jù)等號成立的條件搭配適當(dāng)?shù)南禂?shù)（用待定系數(shù)法）.例1 (第26屆全俄數(shù)學(xué)奧林匹克)已知，則. 分析：要去分

2、母，可添加，常數(shù)待定， 比較，則即.證明略.同類問題還有：已知，且，則.已知，則.（第二屆“友誼杯”國際數(shù)學(xué)邀請賽）已知，且.求證.（第24屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽）推廣：已知，且.求證.已知，則.(1984全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)2 選擇添加和式、積式當(dāng)分母由幾個(gè)式子構(gòu)成時(shí)，則要選擇添加這幾個(gè)式子的和式或積式.例2 （IMO39預(yù)選題）已知，且，求證：. 分析：根據(jù)的分母，嘗試兩種添加方法：添加，則，由取等號，得；添加，則，由取等號，得；比較與，選擇添加方法.證明：，同理，.3 適當(dāng)調(diào)整分母、分子次數(shù)設(shè)原分式為型，考慮“次數(shù)”的基本要求是：添加以后，應(yīng)盡量使得中與次數(shù)相同、中與次數(shù)相同，等等.例3 (

3、IMO36試題)已知，則. 分析：分母、分子次數(shù)相去甚遠(yuǎn)，考慮先縮小二者次數(shù)差距，分子“二次”、分母“一次”，添加，由取等號，得.證明：，相加，.例4 （IMO31預(yù)選題）設(shè)，且，求證：. 分析：若直接添加，則，不能進(jìn)行下去；根據(jù)的分母，考慮次數(shù)要求，應(yīng)添加二次式：（題設(shè)恰有且為定值），則，由取等號，得；接下去需要比較與，這容易辦到.證明：， ，相加，.4 構(gòu)造正負(fù)項(xiàng)相消以上各例均為分式相加，若出現(xiàn)分式相乘的情況應(yīng)考慮“正負(fù)項(xiàng)抵消”.例5 （IMO41試題）設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且，證明：. 分析：求證結(jié)論中分式相乘且不等號為“”，用均值不等式必定會出現(xiàn)式子相加，嘗試用正負(fù)項(xiàng)抵消的辦法消去分式，中有，能否出現(xiàn)？提取即可.證明：，同理，相乘，.5 簡短總結(jié)選準(zhǔn)去分母的式子的結(jié)構(gòu)：和式還是積式、含哪幾個(gè)字母、字母的次數(shù)各是多少、待定式子的系數(shù)，