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1、本文發(fā)表于中學(xué)數(shù)學(xué)研究(南昌)2003年第11期證明分式不等式的關(guān)鍵是去分母215006 蘇州市第一中學(xué) 劉祖希文1234從不同角度介紹了如何使用均值不等式證明輪換對(duì)稱不等式,實(shí)際表明,輪換對(duì)稱不等式中相當(dāng)一部分是分式不等式.經(jīng)過一番探究,筆者發(fā)現(xiàn),關(guān)鍵在去分母,即根據(jù)分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),兼顧整體的“次數(shù)”、“系數(shù)”,添加(構(gòu)造)適當(dāng)?shù)氖阶?,再?yīng)用均值不等式去掉全部或部分分母.下面以文1234的例題為例詳細(xì)予以介紹.1 直接添加分母當(dāng)分母比較簡(jiǎn)單時(shí)、分子分母次數(shù)差異不大,可直接添加分母,但應(yīng)根據(jù)等號(hào)成立的條件搭配適當(dāng)?shù)南禂?shù)(用待定系數(shù)法).例1 (第26屆全俄數(shù)學(xué)奧林匹克)已知,則. 分析:要去分
2、母,可添加,常數(shù)待定, 比較,則即.證明略.同類問題還有:已知,且,則.已知,則.(第二屆“友誼杯”國(guó)際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)已知,且.求證.(第24屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽)推廣:已知,且.求證.已知,則.(1984全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)2 選擇添加和式、積式當(dāng)分母由幾個(gè)式子構(gòu)成時(shí),則要選擇添加這幾個(gè)式子的和式或積式.例2 (IMO39預(yù)選題)已知,且,求證:. 分析:根據(jù)的分母,嘗試兩種添加方法:添加,則,由取等號(hào),得;添加,則,由取等號(hào),得;比較與,選擇添加方法.證明:,同理,.3 適當(dāng)調(diào)整分母、分子次數(shù)設(shè)原分式為型,考慮“次數(shù)”的基本要求是:添加以后,應(yīng)盡量使得中與次數(shù)相同、中與次數(shù)相同,等等.例3 (
3、IMO36試題)已知,則. 分析:分母、分子次數(shù)相去甚遠(yuǎn),考慮先縮小二者次數(shù)差距,分子“二次”、分母“一次”,添加,由取等號(hào),得.證明:,相加,.例4 (IMO31預(yù)選題)設(shè),且,求證:. 分析:若直接添加,則,不能進(jìn)行下去;根據(jù)的分母,考慮次數(shù)要求,應(yīng)添加二次式:(題設(shè)恰有且為定值),則,由取等號(hào),得;接下去需要比較與,這容易辦到.證明:, ,相加,.4 構(gòu)造正負(fù)項(xiàng)相消以上各例均為分式相加,若出現(xiàn)分式相乘的情況應(yīng)考慮“正負(fù)項(xiàng)抵消”.例5 (IMO41試題)設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù),且,證明:. 分析:求證結(jié)論中分式相乘且不等號(hào)為“”,用均值不等式必定會(huì)出現(xiàn)式子相加,嘗試用正負(fù)項(xiàng)抵消的辦法消去分式,中有,能否出現(xiàn)?提取即可.證明:,同理,相乘,.5 簡(jiǎn)短總結(jié)選準(zhǔn)去分母的式子的結(jié)構(gòu):和式還是積式、含哪幾個(gè)字母、字母的次數(shù)各是多少、待定式子的系數(shù),
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