微分方程公式運用表_第1頁
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文檔簡介

1、微分方程公式運用表一、一階微分方程判斷特征：d = f (x, y)dx類型一：屯二g(x)h(y)(可分離變量的方程)dx解法(分離變量法)：旦 g(x)dx，然后兩邊同時積分。h(y)類型二：3p(x)y =Q(x)( 階線性方程)dx解法(常數(shù)變易法)：<P(x)dx( Q(x)eP(x)dxdx)類型三：dy = f(x,y)= f(tx,ty)( 階齊次性方程)dx解法(換元法)：令u =-=類型一x類型四：P(x)y=Q(x)y n(伯努利方程)dx解法(同除法)：y' P(x)y1=Q(x)=類型二dx二、可降階的高階微分方程類型一：y(n)=f(x)解法(多次積分

2、法)：令u =yW= f(x)=多次積分求f(x)dx類型二：y''=f(x, y')解法：令p=y'= "(x, p)= 階微分方程dx類型三：y，f(y,y')解法：令p=y住二生業(yè)二p坐=f(y,p)=類型二dx dy dx dy三、線性微分方程類型一：yP(x)y'Q(x)y =0 (二階線性齊次微分方程)解法：找出方程的兩個任意線性不相關(guān)特解：(x),y2(x)則：y(x) “yi(x)類型二：y P(x)y' Q(x)y = f (x)(二階線性非齊次微分方程)解法：先找出對應(yīng)的齊次微分方程的通解：y3(xc1y1(

3、x) c2y2(x)再找出非齊次方程的任意特解 yp(x)，貝心y(x) -yp(x) g%(x) gy2(x)類型三：y'' py' q = 0 (二階線性常系數(shù)齊次微分方程) 解法(特征方程法)：h2+ph+q=0二壬于石() A = p24q>0二人式再=y = Ge"+c2ehx() =0= = 2 _ ' _ y =(G gx)e %(三) ；：0二 '二: i ：, 2 二:_ i I' y 二 e：x(q cos : x c2 sin ： x)類型四：py'q二f(x)(二階線性常系數(shù)非齊次微分方程)解法(待定系數(shù)法)：(1) f(x)二Pm(x)Le：x型：先找出對應(yīng)齊次微分方程的通解y3(x)、不是特征方程的根，k=0n yp(x) =xke僞Qm(x)2是特征方程的單根，k=1Q是特征方程的二重根，k=2其中令Qm(x)二Axm Bxm4 IH,將yp(x)帶入方程求出A,B,C二 y =yp(x) y3(x)(2) f (x)二e*Pm(x)cos x P(x)sin : x 型:先找出對應(yīng)齊次微分方程的 通解y3 (x)n = max<m,l二 yp(x)二 xke x Qn(x)cos x Rn(x)sinQn(x)與Rn(x)是待定的n次多項式x若口 土iB不是特

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