模糊數學模型

1、第六局部 模糊數學第十五章 模糊數學模型15.1 模糊數學的起源15.1.1 數學是精確的數學是關于物質世界的空間形式和數量關系的科學。在二十世紀三十年代，數學的開展 被劃分成三個階段：第一階段：數學是數，量，幾何圖形的科學； 第二階段：數學是研究量的變化和幾何圖形變換的科學 ； 第三階段：數學是作為關于現實世界一切普遍性的數量形式和空間形式的科學。近代科學技術的開展同精確數學方法的開展和應用是密切相關的，牛頓力學為其經典。 到了 19 世紀，天文，力學，屋里，化學等理論自然科學先后在不同程度上走向定量化，數 學化，形成一個被稱為“精密科學的學科群。大量使用數學方法，反過來又推動了數學的 巨大

2、進步。 19 世紀是精確科學方法飛速開展的時期。20 世紀以來，精確數學及其應用以更大的規(guī)模和速度開展著。相對論，量子力學，分子 生物學， 原子能，電子計算機和空間技術等鄰域的創(chuàng)立和開發(fā)為精確方法奏響了一曲又一曲 的凱歌，但也進一步助長了對精確方法的盲目崇拜。人們愈加相信，一切都應當精確化，只 有現在還沒有實現精確化的問題，沒有不需要或不可能精確化的問題?？陀^而言，精益求精是科學工作者的美德，是評價研究工作科學性的一條準那么，但是， 這種對精確方法的崇拜， 似乎被當作一種不言而喻的真理， 在很長的歷史時期中未受到人們 的疑心。科學方法論中的這種絕對化的觀點， 也反映到哲學中。例如， 一些分析哲

3、學家提倡 把一切概念，包括日常用語都加以精確化，這種現象的發(fā)生是值得深思的。 但是， 實踐是檢 驗真理的唯一標準， 任何理論上的片面性和絕對化， 遲早會在實踐中暴露其錯誤而得到糾正。15.1.2 精確數學的局限性人腦的思維活動一般說來具有兩方面的特征：1 直覺性跟嚴格性的有機結合， 可以進行整體性和平行性的思考， 例如聯想過程， 這些是具有模糊性的；2 邏輯推理過程，它具有邏輯和順序的特點，因而又是形式化的。 關于形式化思維，可以用數理邏輯的方法把它數學化，這樣就能把它變成一系列的數學 符號，可以用計算機去解。最突出的成果就是 1976 年美國人阿貝爾和哈肯利用電子計算機 解決有名的數學難題四

4、色問題， 這一難題的解決使不少人驚嘆： 這簡直是電腦對人腦的 嘲弄！真是這樣嗎？ 從另一個角度來看，譬如，看電視的時候，要把圖像調得“更清楚一些 ，或者，說一 個人比另一個人更好看一些或更丑一些，這對于人來說是件容易的事，但是對于電腦來說， 卻是個大難題。從這個角度來說，電腦的“智力還不如一個小孩子。為什么會出現這樣的情況呢？ 因為用傳統(tǒng)數學的方法處理模糊食物，首先要求將對象簡化，舍棄對象固有的模糊性， 在本來沒有明確界限的對象之間認為地掛定界限， 變模糊數量關系為清晰數量關系。 例： 西瓜因大小不同而價格不登，但大瓜與小瓜并無天然的界限，認為地規(guī)定6斤以上者為大瓜，6斤以下者為小瓜，就有了區(qū)

5、分大小瓜的精確判據。對于模糊性較弱的事物，或者日常生活 的簡單話題，這樣處理是許可的，方便的。但人為地劃定界限畢竟是對本來相互聯系的食物 的性質的一種歪曲， 特別是在分界線附近， 這種描述的失真性更明顯。 當研究的對象相當復 雜時，這種處理方法便不適用了。1965年，美國自動控制論專家， 加利福尼亞大學教授查德根據動作中的體會寫出了?模糊集合?一文，開始用數學的觀點來刻畫模糊事物，這標志著模糊數學這門新學科的誕生。模糊數學決不是把已經很精確的數學變得模模糊糊，而是用精確的數學方法來處理過去無法用數學描述的模糊事物。15.2模糊集合論的根底知識模糊子集和它的運算模糊概念不能用普通集合來描述，是因

6、為不能絕對地區(qū)別“屬于或“不屬于，而只能問屬于的程度，就是論域上的元素符合概念的程度不是絕對的0或1,而是介于0和1之間的一個實數。查德1965年給出的定義：定義14.1從論域U到閉區(qū)間1.0,1 的任意一個映射：A：U 0,1 1，對任意 U，UA> A u ，A u1.0,1 1，那么A叫做U的一個模糊子集， A u叫做u的隸屬函數，也記做JA u。根據定義，我們知道所謂模糊集合，實質上是論域U到1.0,1 1上的一個映射，而對于模糊子集的運算，實際上可以轉換稱為對隸屬函數的運算：A二一 =% x=0， A二UuAx=1A Bu % x x，A=Bu Ja xxA=七 x =1-%

7、xAuB=C=卩c、(x )=max l»a(x ), %(x )A - B 二D= x 二 mi ng x , x假設給定有限論域 U taja?,，an，它的模糊子集 A可以用查德給出的表示法：A_ "a a1A a2 ."a ai . .ana1a2aian其中aU ( i =1,2,n )為論域里的元素，?A(a )是4對A的隸屬函數，0乞A. ai <1° 上式表示一個有 n個元素的模糊子集?！?+ 叫做查德記號，不是求和。例題 14.1設論域 E - ix1,x2,x3,x?，0.2.06X4XiX2X3X4XiX2X3意思是,X2,X

8、3,X4對模糊子集A的隸屬度分別是0.5，0.1, 0.4，0.2；對模糊子集B的隸屬度分別是 0.2，0，0.6，1°例題14.2設以人的歲數作為論域U - 10,120丨，單位是“歲，那么“年輕，“年老，都是U上的模糊子集。隸屬函數如下:0 : u 1251 Ju-25 jl5丿% u = “年輕 (u)=25 ： u : 120(14.1)0 ： u 5)U = “年老 (u)冷1+(L Iu -25 2550: uD(14.2)(14.1)表示：不大于25歲的人，對子集“年輕子集；而大于25歲的人,對子集“年輕的隸屬函數值按的隸屬函數值是1，即一定屬于這一來計算，例如,540

9、歲的人，隸屬函數值忙40)=卜嚴5=0.1 °同理，由(14.2)可得：'B u = 55 =0.5, u = 60 =0.8 °模糊子集的隸屬函數值確實定通常是根據經驗或統(tǒng)計，常常帶有主觀性，但大家也較容 易接受。,X2, X3,X4, X；，其體溫分別為:15.2.2 '截集和支集例題14.3某醫(yī)生今天給五個發(fā)燒病人看病，設為38.9 C , 37.2 C , 37.8 C , 39.2 C , 38.1 C。醫(yī)生在統(tǒng)計表上就可以這樣寫:37 C以上的五人，字，X2,X3,X4,怡？;38 C以上的三人，1xi,x4,X5?;39 C以上的一人，兇？；如

10、果規(guī)定37.5 C以下的不算發(fā)燒，問有多少發(fā)燒病人？醫(yī)生就可以答復：X1,X3,X4,X?，但所謂“發(fā)燒實際上是一個模糊概念，它存在程度上的不同，也就是說 要用隸屬函數來描述。如果根據醫(yī)師的經驗規(guī)定，對“發(fā)燒來說：體溫39 C以上的隸屬函數X i=1 ；體溫38.5 C以上不到39 C的隸屬函數丄；:：x = 0.9 ；體溫38 C以上不到38.5 C的隸屬函數二Jx =0.7 ；體溫37.5 C以上不到38 C的隸屬函數 xi； = 0.4 ；體溫37.5 C以下的隸屬函數二：；：xi=0 ；我們用模糊集合來處理這個問題。0.9Xi00.410.7+X2 X3X4X5現在如果問：隸屬函數4A

11、.(x)K0.9的有哪些人，用 民.9來表示這一集合，那么A). 9 = <XjiX ，冋理，A0.8=<Xi, X4 ，A0.6= <X|,X4 , X5，A0.4=<Xi,X3,X4, X5。一般地，用A表示X _ 的集合，這個集合就叫截集或水平集A. -X % x 一 X支集A0+=uA； = 'x. 4A(x )a0,X ，即所有人> 0的二截集的并集，本例中即為所有發(fā)燒病人。確定隸屬函數的原那么隸屬函數確實定過程，本質上應該說是客觀的，但是事實上現在還沒有一個完全客觀的 評定標準。在許多情況下，常是初步確定粗略的隸屬函數，然后通過“學習和時間檢驗

12、逐 步修改和完善化，而實際效果正是檢驗和調整隸屬函數的依據。模糊統(tǒng)計是確定隸屬函數的一種主要方法，它需要做大量的試驗，因此工作量是比擬大的。怎樣度量模糊性隸屬函數的值確實定，雖然有各種方法，本質上應該是客觀的，但實際上常常帶有主觀 性，對同一論域上的模糊集合，不同的人或用不同的判斷標準，所得出的各元素的隸屬度也不盡相同，那么，有沒有方法來比擬哪一個更正確些呢，這就涉及到怎樣來度量模糊性的問題。下面我們通過一個實例來說明這個問題。例題14.4假定有甲乙兩個顧客商場買衣服，他們主要考慮三個因素：花色式樣XJ；2耐穿程度X2；3價格X3；甲乙兩人就會根據自己的觀點，分別給X,X2X3打分，這種打分實

13、際上是模糊的，也就是要確定對這個因素“滿意的隸屬度，但是由于兩個人的經驗，性格和經濟情況等都不相 同，所以他們對 N X2 X3所確定的隸屬度也不會相同。化色式樣X-1耐穿程度X2 價格X3 顧客甲確定的隸屬度%(X1 )=0.8比 X2 )=0.4H(X3 )=0.7顧客乙確定的隸屬度Xi )=0.6X2 )= 0.64b(X3 )=0.5這就得到兩個模糊集:A* 0407，°60605Xi X2 X3Xi X2 X3究竟誰的觀點正確呢？看來沒法確定。因為各人有各人的經驗，各人有各人的道理，這就是怎樣度量模糊性的問題。 解決這個問題的研究途徑很多， 目前用得較多的大致有“距離， “

14、貼近度兩個。用“距離來度量模糊性定義14.2在有限論域X上有兩個模糊子集 A和B， A和B的漢明距離定義如下:絕對漢明距離：nd(A,B)= E)備(X |；i#相對漢明距離：1§(A, B)= d(A, B 卜 n例如在例 14.4 中：d(A B )= 0.80.6+|0.4 0.6 + 0.70.5 =0.61、 A, Bd A B 0. 23定義14.3在有限論域X上有兩個模糊子集 A和B , A和B的歐幾里得距離定義如下:絕對歐幾里得距離：e A,B 心a洛b人2相對歐幾里得距離：1；A, B ：一 e 代 B例 14.4 中：e A, Bj=02.3，A, B = 0.2

15、怎樣用距離來描述一個模糊集合的模糊程度呢？要定義一個跟 A最貼近的集合，這個集合用 A來表示，如果A里某元素的隸屬度.0.5，A的相應元素的隸屬度為1，如果_0.5，那么相應的隸屬度為0，即x 0.5% x <0.5令 A =2： A, A， A =2 ； AA，用、A， A來表示模糊集合的模糊度。 A或 A大，即模糊度大。因此，例14.4中,101110A， B =-x1x2x3x-ix2x3、代 A A0.3，- B，B 1=0.433，所以A =0.6 ：、. B =0.866;；A, Ai； = 0.311 ,； B,B =0.436，所以 A=0.622 ： B嚴0.872；可

16、見B的模糊度比A的模糊度大。用“貼近度來度量模糊性 先定義內積，外積：定義14.4設A和B為論域U上的兩個模糊子集，記：內積：A B二uu丄B. u ，外積：A -一 B = u u % u ；B u ，其中 為最大下界，為最小上界。貼近度：A, BA_B 1 - A 二 B例 14.4中: a=08 空 07, X! x2x3x-ix2x3A_B = 0.8 0.6 i0.4 0.6 0.7 0.5 =0.6 0.4 0.5 = 0.6A, BA_B 1 - A二B =0.5，表示貼近度不大不小。因此,A B = 0.8 0.6 10.4 0.6 i 0.7 0.5 = 0.8 0.6 0.

17、7 = 0.62 j度量模糊性十全十美的公式是不存在的，只能根據實際需要和經驗選取。15.3模糊數學應用模糊相似選擇在實際工作中常會遇到對一組確定的對象按照某種性質排出優(yōu)劣次序的問題，但是，在 許多情況下，由于用來比擬的性質具有邊界不清楚的模糊性，使得比擬優(yōu)劣產生困難。例題14.5由10名專家組成評比小組對某一行業(yè)中的三家企業(yè)甲、乙、丙的綜合效益 進行評比，企業(yè)的綜合效益是一個復雜系統(tǒng)，包括經濟效益，社會效益，環(huán)境效益等，而每 個專家考慮問題的角度不同，觀點不同，使得難以排出一個整體的優(yōu)劣次序。如發(fā)生以下情況：7人認為甲比乙好,6人認為乙比丙好,8人認為丙比甲好,3人認為乙比甲好;4人認為丙比

18、乙好;2人認為甲比丙好;那么如何確定一個整體上的優(yōu)劣呢？給出一個模糊選擇矩陣：對x e U，R( x , K )=0.5，即優(yōu)越程度一樣；對U，*0.5 0.70.2 'XjU，R(Xi, Xj )+R(Xj, x ) = 1，那么，R= 0.3 0.5 0.6l0.8 0.40.5；0.70.2第一步：令 Rj =0，得 R = 0.300.6衛(wèi).8 0.40丿第二步：取(0 J： 1)，寫出截矩陣R ,如本例中可取=0.5 ,得010、£ 5=001<100第三步：令，減小，當下降到某一值時，第一次出現R中某一行除對角線外全為1,認扎0 10'為該行對應的元

19、素 xk是U中相對最優(yōu)的元素。本例中當取k = 0.4時，丘.4= 0 0 1 ，J 10丿那么丙的綜合效益最好。第四步：劃去Xk所在第k行第k列元素，得n-1階矩陣。本例中劃去第3行第3列元素，八 f00.7)得2階矩陣為Rf)=030 /八(01)第五步：繼續(xù)上述過程，逐個選出相對最優(yōu)元素，即得優(yōu)劣次序。R0.7=，因.2 0丿此，甲第二好，整體優(yōu)劣為丙，甲，乙。模糊聚類例題14.6用生產工人的勞動生產率，每萬元固定資產容納職工人數和技術管理人員在 職工中的比重三項指標作為衡量一個企業(yè)技術密集程度的指標體系。現有6家企業(yè)構成論域：U = ' x-i ,x2,x3, x4,x5, x

20、 ，這6家企業(yè)關于上述三項指標的數值依次是：人二 X11，x!2，X13 = 1.8,0.95,0.15x2 =(X21 , X22 ,x23 ) = Q.2,1.01,。.18 )x - X31, X32, X33 - 2.5,0.98,0.16X4 二 X41 , X42 , X43 = 1.9,1.2,0.09X5 hX51,X52,X53 i=2.1,0.99,0.21耳：I. X61,X62,X63!：1.2.2,1.°3,°.17評價這6個企業(yè)的技術密集程度。6乞 min (Xk, Xjk )建立模糊相似矩陣 R = rij 6 §，其中rij =瓦

21、max(Xik, Xjk )k =1經計算得：廣10.660.80.870.880.85、0.6610.830.660.740.770.80.8310.770.880.9R =0.870.660.7710.850.850.850.740.880.8510.950850.770.90.850.951用直接聚類法進行分類。取水平？；. =1時，將u分成6個等價類 屛, ；乂：, xj ,氐？ , ；、x '。 取水平丸=0.9時，那么R】=匕片藝0.9 = 捲,上2】=*)r2j 3 0.9 = x2,R3 =匈気 X0.9 = x3, X6),JX4 = xj r4j 3 0.9 = x

22、4,上5 = 'xj r5j 王0.9=x5,x6,6 I ='xj r6 j 乏0.9=卜3, x5,滄將有公共元素的類進行合并，得水平 =0.9下U的分類為 ；,；、心,；、x3,x5,x6?,：x4/，說明在這一水平下可以認為第三，五，六家企業(yè)的技術密集程度是相同的。最后取水平 =0.8，那么R 】 = <Xj R| j > 0.8 = x!,X3, X4,X5,X6>，2 】='xj Dj H0.8= x2, X3 ，R3 = xj3j 0.8=X|,X2,X3,X5, xj， lxxj|r4j >0.(X!,X4,X5,xJ，65 =

23、<Xj|r5j 狂0.8 = 為公3, X4,X5,xJ，66 = <Xj |6j >0.x|,X3,X4,X5,xJ，將所有具有公共元素的類合并，得到水平'=0.8下的U分類為'X!, x2, x3, x, x5, x?。由于在水平 =0.8下所有企業(yè)的技術密集程度屬于同一類，說明在這一水平下可以認為6家企業(yè)的技術密集程度是相同的。模糊綜合評價模糊綜合評價的一般步驟如下:(1 )確定評價對象的因素集 U% , X2，Xn；(2) 確定評語集；(3) 作出單因素評價R二rijn：m(4) 綜合評價。例題14.7評價某種牌號的手表，U - ：Xi,X2, X3,

24、X4 ?，其中X,表示外觀式樣，X2表示走時準確，X3表示價格，X4表示質量。評語集為V = ：y, y2, y3，其中y-i表示很滿意，y2表示滿意，y3表示不滿意。例如，對外觀式樣有 70%的顧客很滿意，20%的顧客滿意，10 %的顧客不滿意，那么同理可得:f(X10.7y1+ °2y2+ 0.1y30.60.30.1f ( X2 )-+y1y20.5i 0.3L 0.2f (X3 )：+y1y2y30.5丄0.4丄0.1f(X4 )：+y1y2y3-0.70.20.110.60.30.1R =0.50.30.20.50.40.1 一那么這個問題的單因素評價矩陣為由于各個因素在綜

25、合評價中的作用不同，為此給出一個U的模糊集合A二a1, a2 / ,an，滿足條件ai = 1,在綜合評價中，將 A稱為綜合評價的權重向量, 對于給定的權重，綜合評價就是 U > V的一個模糊變換。假設如果某類顧客評價手表的權40%, 20%, 30%, 10%。重為A二0.4,0.2,0.3,0.1，即對四個方面的重視程度為B = A R 0. 4,0. 2, 0. 3,2 3 3 4 o o o O7 615 5 o ooo o_00. 10. 4, 0. 3, 0. 2說明很滿意，滿意，不滿意的隸屬度依次是0.4, 0.3, 0.2，根據最大隸屬原那么，可以認為這類顧客對這種手表“

26、很滿意15.4 模糊數學模型舉例【11在英語教學過程中，利用計算機輔助手段，改變傳統(tǒng)的課堂教學方式，根據課文內容制 作課件，對學生進行更多的聽、說訓練，為學生創(chuàng)造一個良好的學習環(huán)境，讓他們面對計算機進行情景對話，從而克服面對教師或同學的緊張情緒，培養(yǎng)學生的語言學習的自信心。為評價計算機輔助英語教學的效果，我們采用了模糊綜合評判法。模糊綜合評判的數學 模型可以分為以下幾個步驟：1 建立評判對象的因素集 U = U1, U2,比。因素就是對象的各種屬性或性能，在不同場合，也稱為參數指標或質量指標，它們綜合地反映出對象的質量，人們就是根據這些因素給對象評價。2 .建立評判集 V = V1 , V2 , , , Vm。3. 建立單因素評判，即建立一個從U到F(V)的模相映射f :U ?F V , -Uj UUi0乞r；j乞1, 1乞i乞n, 1乞j乞mrn1r12r22rn2r1mr2mrnmR稱為單因素評判矩陣。于是(U, V, R)構成了一個綜合評判模型。4. 綜合評判由于對U中各因素有不同的側重，需要對每個因素賦予不同的權重，它可表示為U上 的一個模糊子集Aa,a2,，an，并且規(guī)定ai =1。i 4在R和A求出之后，那么綜合評判為 B