模糊數(shù)學(xué)模型

1、第六局部 模糊數(shù)學(xué)第十五章 模糊數(shù)學(xué)模型15.1 模糊數(shù)學(xué)的起源15.1.1 數(shù)學(xué)是精確的數(shù)學(xué)是關(guān)于物質(zhì)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。在二十世紀(jì)三十年代，數(shù)學(xué)的開展 被劃分成三個(gè)階段：第一階段：數(shù)學(xué)是數(shù)，量，幾何圖形的科學(xué)； 第二階段：數(shù)學(xué)是研究量的變化和幾何圖形變換的科學(xué) ； 第三階段：數(shù)學(xué)是作為關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界一切普遍性的數(shù)量形式和空間形式的科學(xué)。近代科學(xué)技術(shù)的開展同精確數(shù)學(xué)方法的開展和應(yīng)用是密切相關(guān)的，牛頓力學(xué)為其經(jīng)典。 到了 19 世紀(jì)，天文，力學(xué)，屋里，化學(xué)等理論自然科學(xué)先后在不同程度上走向定量化，數(shù) 學(xué)化，形成一個(gè)被稱為“精密科學(xué)的學(xué)科群。大量使用數(shù)學(xué)方法，反過來又推動(dòng)了數(shù)學(xué)的 巨大

2、進(jìn)步。 19 世紀(jì)是精確科學(xué)方法飛速開展的時(shí)期。20 世紀(jì)以來，精確數(shù)學(xué)及其應(yīng)用以更大的規(guī)模和速度開展著。相對論，量子力學(xué)，分子 生物學(xué)， 原子能，電子計(jì)算機(jī)和空間技術(shù)等鄰域的創(chuàng)立和開發(fā)為精確方法奏響了一曲又一曲 的凱歌，但也進(jìn)一步助長了對精確方法的盲目崇拜。人們愈加相信，一切都應(yīng)當(dāng)精確化，只 有現(xiàn)在還沒有實(shí)現(xiàn)精確化的問題，沒有不需要或不可能精確化的問題。客觀而言，精益求精是科學(xué)工作者的美德，是評價(jià)研究工作科學(xué)性的一條準(zhǔn)那么，但是， 這種對精確方法的崇拜， 似乎被當(dāng)作一種不言而喻的真理， 在很長的歷史時(shí)期中未受到人們 的疑心?？茖W(xué)方法論中的這種絕對化的觀點(diǎn)， 也反映到哲學(xué)中。例如， 一些分析哲

3、學(xué)家提倡 把一切概念，包括日常用語都加以精確化，這種現(xiàn)象的發(fā)生是值得深思的。 但是， 實(shí)踐是檢 驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)， 任何理論上的片面性和絕對化， 遲早會(huì)在實(shí)踐中暴露其錯(cuò)誤而得到糾正。15.1.2 精確數(shù)學(xué)的局限性人腦的思維活動(dòng)一般說來具有兩方面的特征：1 直覺性跟嚴(yán)格性的有機(jī)結(jié)合， 可以進(jìn)行整體性和平行性的思考， 例如聯(lián)想過程， 這些是具有模糊性的；2 邏輯推理過程，它具有邏輯和順序的特點(diǎn)，因而又是形式化的。 關(guān)于形式化思維，可以用數(shù)理邏輯的方法把它數(shù)學(xué)化，這樣就能把它變成一系列的數(shù)學(xué) 符號，可以用計(jì)算機(jī)去解。最突出的成果就是 1976 年美國人阿貝爾和哈肯利用電子計(jì)算機(jī) 解決有名的數(shù)學(xué)難題四

4、色問題， 這一難題的解決使不少人驚嘆： 這簡直是電腦對人腦的 嘲弄！真是這樣嗎？ 從另一個(gè)角度來看，譬如，看電視的時(shí)候，要把圖像調(diào)得“更清楚一些 ，或者，說一 個(gè)人比另一個(gè)人更好看一些或更丑一些，這對于人來說是件容易的事，但是對于電腦來說， 卻是個(gè)大難題。從這個(gè)角度來說，電腦的“智力還不如一個(gè)小孩子。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況呢？ 因?yàn)橛脗鹘y(tǒng)數(shù)學(xué)的方法處理模糊食物，首先要求將對象簡化，舍棄對象固有的模糊性， 在本來沒有明確界限的對象之間認(rèn)為地掛定界限， 變模糊數(shù)量關(guān)系為清晰數(shù)量關(guān)系。 例： 西瓜因大小不同而價(jià)格不登，但大瓜與小瓜并無天然的界限，認(rèn)為地規(guī)定6斤以上者為大瓜，6斤以下者為小瓜，就有了區(qū)

5、分大小瓜的精確判據(jù)。對于模糊性較弱的事物，或者日常生活 的簡單話題，這樣處理是許可的，方便的。但人為地劃定界限畢竟是對本來相互聯(lián)系的食物 的性質(zhì)的一種歪曲， 特別是在分界線附近， 這種描述的失真性更明顯。 當(dāng)研究的對象相當(dāng)復(fù) 雜時(shí)，這種處理方法便不適用了。1965年，美國自動(dòng)控制論專家， 加利福尼亞大學(xué)教授查德根據(jù)動(dòng)作中的體會(huì)寫出了?模糊集合?一文，開始用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來刻畫模糊事物，這標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)這門新學(xué)科的誕生。模糊數(shù)學(xué)決不是把已經(jīng)很精確的數(shù)學(xué)變得模模糊糊，而是用精確的數(shù)學(xué)方法來處理過去無法用數(shù)學(xué)描述的模糊事物。15.2模糊集合論的根底知識模糊子集和它的運(yùn)算模糊概念不能用普通集合來描述，是因

6、為不能絕對地區(qū)別“屬于或“不屬于，而只能問屬于的程度，就是論域上的元素符合概念的程度不是絕對的0或1,而是介于0和1之間的一個(gè)實(shí)數(shù)。查德1965年給出的定義：定義14.1從論域U到閉區(qū)間1.0,1 的任意一個(gè)映射：A：U 0,1 1，對任意 U，UA> A u ，A u1.0,1 1，那么A叫做U的一個(gè)模糊子集， A u叫做u的隸屬函數(shù)，也記做JA u。根據(jù)定義，我們知道所謂模糊集合，實(shí)質(zhì)上是論域U到1.0,1 1上的一個(gè)映射，而對于模糊子集的運(yùn)算，實(shí)際上可以轉(zhuǎn)換稱為對隸屬函數(shù)的運(yùn)算：A二一 =% x=0， A二UuAx=1A Bu % x x，A=Bu Ja xxA=七 x =1-%

7、xAuB=C=卩c、(x )=max l»a(x ), %(x )A - B 二D= x 二 mi ng x , x假設(shè)給定有限論域 U taja?,，an，它的模糊子集 A可以用查德給出的表示法：A_ "a a1A a2 ."a ai . .ana1a2aian其中aU ( i =1,2,n )為論域里的元素，?A(a )是4對A的隸屬函數(shù)，0乞A. ai <1° 上式表示一個(gè)有 n個(gè)元素的模糊子集。“ + 叫做查德記號，不是求和。例題 14.1設(shè)論域 E - ix1,x2,x3,x?，0.2.06X4XiX2X3X4XiX2X3意思是,X2,X

8、3,X4對模糊子集A的隸屬度分別是0.5，0.1, 0.4，0.2；對模糊子集B的隸屬度分別是 0.2，0，0.6，1°例題14.2設(shè)以人的歲數(shù)作為論域U - 10,120丨，單位是“歲，那么“年輕，“年老，都是U上的模糊子集。隸屬函數(shù)如下:0 : u 1251 Ju-25 jl5丿% u = “年輕 (u)=25 ： u : 120(14.1)0 ： u 5)U = “年老 (u)冷1+(L Iu -25 2550: uD(14.2)(14.1)表示：不大于25歲的人，對子集“年輕子集；而大于25歲的人,對子集“年輕的隸屬函數(shù)值按的隸屬函數(shù)值是1，即一定屬于這一來計(jì)算，例如,540

9、歲的人，隸屬函數(shù)值忙40)=卜嚴(yán)5=0.1 °同理，由(14.2)可得：'B u = 55 =0.5, u = 60 =0.8 °模糊子集的隸屬函數(shù)值確實(shí)定通常是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)，常常帶有主觀性，但大家也較容 易接受。,X2, X3,X4, X；，其體溫分別為:15.2.2 '截集和支集例題14.3某醫(yī)生今天給五個(gè)發(fā)燒病人看病，設(shè)為38.9 C , 37.2 C , 37.8 C , 39.2 C , 38.1 C。醫(yī)生在統(tǒng)計(jì)表上就可以這樣寫:37 C以上的五人，字，X2,X3,X4,怡？;38 C以上的三人，1xi,x4,X5?;39 C以上的一人，兇？；如

10、果規(guī)定37.5 C以下的不算發(fā)燒，問有多少發(fā)燒病人？醫(yī)生就可以答復(fù)：X1,X3,X4,X?，但所謂“發(fā)燒實(shí)際上是一個(gè)模糊概念，它存在程度上的不同，也就是說 要用隸屬函數(shù)來描述。如果根據(jù)醫(yī)師的經(jīng)驗(yàn)規(guī)定，對“發(fā)燒來說：體溫39 C以上的隸屬函數(shù)X i=1 ；體溫38.5 C以上不到39 C的隸屬函數(shù)丄；:：x = 0.9 ；體溫38 C以上不到38.5 C的隸屬函數(shù)二Jx =0.7 ；體溫37.5 C以上不到38 C的隸屬函數(shù) xi； = 0.4 ；體溫37.5 C以下的隸屬函數(shù)二：；：xi=0 ；我們用模糊集合來處理這個(gè)問題。0.9Xi00.410.7+X2 X3X4X5現(xiàn)在如果問：隸屬函數(shù)4A

11、.(x)K0.9的有哪些人，用 民.9來表示這一集合，那么A). 9 = <XjiX ，冋理，A0.8=<Xi, X4 ，A0.6= <X|,X4 , X5，A0.4=<Xi,X3,X4, X5。一般地，用A表示X _ 的集合，這個(gè)集合就叫截集或水平集A. -X % x 一 X支集A0+=uA； = 'x. 4A(x )a0,X ，即所有人> 0的二截集的并集，本例中即為所有發(fā)燒病人。確定隸屬函數(shù)的原那么隸屬函數(shù)確實(shí)定過程，本質(zhì)上應(yīng)該說是客觀的，但是事實(shí)上現(xiàn)在還沒有一個(gè)完全客觀的 評定標(biāo)準(zhǔn)。在許多情況下，常是初步確定粗略的隸屬函數(shù)，然后通過“學(xué)習(xí)和時(shí)間檢驗(yàn)

12、逐 步修改和完善化，而實(shí)際效果正是檢驗(yàn)和調(diào)整隸屬函數(shù)的依據(jù)。模糊統(tǒng)計(jì)是確定隸屬函數(shù)的一種主要方法，它需要做大量的試驗(yàn)，因此工作量是比擬大的。怎樣度量模糊性隸屬函數(shù)的值確實(shí)定，雖然有各種方法，本質(zhì)上應(yīng)該是客觀的，但實(shí)際上常常帶有主觀 性，對同一論域上的模糊集合，不同的人或用不同的判斷標(biāo)準(zhǔn)，所得出的各元素的隸屬度也不盡相同，那么，有沒有方法來比擬哪一個(gè)更正確些呢，這就涉及到怎樣來度量模糊性的問題。下面我們通過一個(gè)實(shí)例來說明這個(gè)問題。例題14.4假定有甲乙兩個(gè)顧客商場買衣服，他們主要考慮三個(gè)因素：花色式樣XJ；2耐穿程度X2；3價(jià)格X3；甲乙兩人就會(huì)根據(jù)自己的觀點(diǎn)，分別給X,X2X3打分，這種打分實(shí)

13、際上是模糊的，也就是要確定對這個(gè)因素“滿意的隸屬度，但是由于兩個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)，性格和經(jīng)濟(jì)情況等都不相 同，所以他們對 N X2 X3所確定的隸屬度也不會(huì)相同?；綐覺-1耐穿程度X2 價(jià)格X3 顧客甲確定的隸屬度%(X1 )=0.8比 X2 )=0.4H(X3 )=0.7顧客乙確定的隸屬度Xi )=0.6X2 )= 0.64b(X3 )=0.5這就得到兩個(gè)模糊集:A* 0407，°60605Xi X2 X3Xi X2 X3究竟誰的觀點(diǎn)正確呢？看來沒法確定。因?yàn)楦魅擞懈魅说慕?jīng)驗(yàn)，各人有各人的道理，這就是怎樣度量模糊性的問題。 解決這個(gè)問題的研究途徑很多， 目前用得較多的大致有“距離， “

14、貼近度兩個(gè)。用“距離來度量模糊性定義14.2在有限論域X上有兩個(gè)模糊子集 A和B， A和B的漢明距離定義如下:絕對漢明距離：nd(A,B)= E)備(X |；i#相對漢明距離：1§(A, B)= d(A, B 卜 n例如在例 14.4 中：d(A B )= 0.80.6+|0.4 0.6 + 0.70.5 =0.61、 A, Bd A B 0. 23定義14.3在有限論域X上有兩個(gè)模糊子集 A和B , A和B的歐幾里得距離定義如下:絕對歐幾里得距離：e A,B 心a洛b人2相對歐幾里得距離：1；A, B ：一 e 代 B例 14.4 中：e A, Bj=02.3，A, B = 0.2

15、怎樣用距離來描述一個(gè)模糊集合的模糊程度呢？要定義一個(gè)跟 A最貼近的集合，這個(gè)集合用 A來表示，如果A里某元素的隸屬度.0.5，A的相應(yīng)元素的隸屬度為1，如果_0.5，那么相應(yīng)的隸屬度為0，即x 0.5% x <0.5令 A =2： A, A， A =2 ； AA，用、A， A來表示模糊集合的模糊度。 A或 A大，即模糊度大。因此，例14.4中,101110A， B =-x1x2x3x-ix2x3、代 A A0.3，- B，B 1=0.433，所以A =0.6 ：、. B =0.866;；A, Ai； = 0.311 ,； B,B =0.436，所以 A=0.622 ： B嚴(yán)0.872；可

16、見B的模糊度比A的模糊度大。用“貼近度來度量模糊性 先定義內(nèi)積，外積：定義14.4設(shè)A和B為論域U上的兩個(gè)模糊子集，記：內(nèi)積：A B二uu丄B. u ，外積：A -一 B = u u % u ；B u ，其中 為最大下界，為最小上界。貼近度：A, BA_B 1 - A 二 B例 14.4中: a=08 空 07, X! x2x3x-ix2x3A_B = 0.8 0.6 i0.4 0.6 0.7 0.5 =0.6 0.4 0.5 = 0.6A, BA_B 1 - A二B =0.5，表示貼近度不大不小。因此,A B = 0.8 0.6 10.4 0.6 i 0.7 0.5 = 0.8 0.6 0.

17、7 = 0.62 j度量模糊性十全十美的公式是不存在的，只能根據(jù)實(shí)際需要和經(jīng)驗(yàn)選取。15.3模糊數(shù)學(xué)應(yīng)用模糊相似選擇在實(shí)際工作中常會(huì)遇到對一組確定的對象按照某種性質(zhì)排出優(yōu)劣次序的問題，但是，在 許多情況下，由于用來比擬的性質(zhì)具有邊界不清楚的模糊性，使得比擬優(yōu)劣產(chǎn)生困難。例題14.5由10名專家組成評比小組對某一行業(yè)中的三家企業(yè)甲、乙、丙的綜合效益 進(jìn)行評比，企業(yè)的綜合效益是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，包括經(jīng)濟(jì)效益，社會(huì)效益，環(huán)境效益等，而每 個(gè)專家考慮問題的角度不同，觀點(diǎn)不同，使得難以排出一個(gè)整體的優(yōu)劣次序。如發(fā)生以下情況：7人認(rèn)為甲比乙好,6人認(rèn)為乙比丙好,8人認(rèn)為丙比甲好,3人認(rèn)為乙比甲好;4人認(rèn)為丙比

18、乙好;2人認(rèn)為甲比丙好;那么如何確定一個(gè)整體上的優(yōu)劣呢？給出一個(gè)模糊選擇矩陣：對x e U，R( x , K )=0.5，即優(yōu)越程度一樣；對U，*0.5 0.70.2 'XjU，R(Xi, Xj )+R(Xj, x ) = 1，那么，R= 0.3 0.5 0.6l0.8 0.40.5；0.70.2第一步：令 Rj =0，得 R = 0.300.6衛(wèi).8 0.40丿第二步：取(0 J： 1)，寫出截矩陣R ,如本例中可取=0.5 ,得010、£ 5=001<100第三步：令，減小，當(dāng)下降到某一值時(shí)，第一次出現(xiàn)R中某一行除對角線外全為1,認(rèn)扎0 10'為該行對應(yīng)的元

19、素 xk是U中相對最優(yōu)的元素。本例中當(dāng)取k = 0.4時(shí)，丘.4= 0 0 1 ，J 10丿那么丙的綜合效益最好。第四步：劃去Xk所在第k行第k列元素，得n-1階矩陣。本例中劃去第3行第3列元素，八 f00.7)得2階矩陣為Rf)=030 /八(01)第五步：繼續(xù)上述過程，逐個(gè)選出相對最優(yōu)元素，即得優(yōu)劣次序。R0.7=，因.2 0丿此，甲第二好，整體優(yōu)劣為丙，甲，乙。模糊聚類例題14.6用生產(chǎn)工人的勞動(dòng)生產(chǎn)率，每萬元固定資產(chǎn)容納職工人數(shù)和技術(shù)管理人員在 職工中的比重三項(xiàng)指標(biāo)作為衡量一個(gè)企業(yè)技術(shù)密集程度的指標(biāo)體系?，F(xiàn)有6家企業(yè)構(gòu)成論域：U = ' x-i ,x2,x3, x4,x5, x

20、 ，這6家企業(yè)關(guān)于上述三項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)值依次是：人二 X11，x!2，X13 = 1.8,0.95,0.15x2 =(X21 , X22 ,x23 ) = Q.2,1.01,。.18 )x - X31, X32, X33 - 2.5,0.98,0.16X4 二 X41 , X42 , X43 = 1.9,1.2,0.09X5 hX51,X52,X53 i=2.1,0.99,0.21耳：I. X61,X62,X63!：1.2.2,1.°3,°.17評價(jià)這6個(gè)企業(yè)的技術(shù)密集程度。6乞 min (Xk, Xjk )建立模糊相似矩陣 R = rij 6 §，其中rij =瓦

21、max(Xik, Xjk )k =1經(jīng)計(jì)算得：廣10.660.80.870.880.85、0.6610.830.660.740.770.80.8310.770.880.9R =0.870.660.7710.850.850.850.740.880.8510.950850.770.90.850.951用直接聚類法進(jìn)行分類。取水平？；. =1時(shí)，將u分成6個(gè)等價(jià)類 屛, ；乂：, xj ,氐？ , ；、x '。 取水平丸=0.9時(shí)，那么R】=匕片藝0.9 = 捲,上2】=*)r2j 3 0.9 = x2,R3 =匈気 X0.9 = x3, X6),JX4 = xj r4j 3 0.9 = x

22、4,上5 = 'xj r5j 王0.9=x5,x6,6 I ='xj r6 j 乏0.9=卜3, x5,滄將有公共元素的類進(jìn)行合并，得水平 =0.9下U的分類為 ；,；、心,；、x3,x5,x6?,：x4/，說明在這一水平下可以認(rèn)為第三，五，六家企業(yè)的技術(shù)密集程度是相同的。最后取水平 =0.8，那么R 】 = <Xj R| j > 0.8 = x!,X3, X4,X5,X6>，2 】='xj Dj H0.8= x2, X3 ，R3 = xj3j 0.8=X|,X2,X3,X5, xj， lxxj|r4j >0.(X!,X4,X5,xJ，65 =

23、<Xj|r5j 狂0.8 = 為公3, X4,X5,xJ，66 = <Xj |6j >0.x|,X3,X4,X5,xJ，將所有具有公共元素的類合并，得到水平'=0.8下的U分類為'X!, x2, x3, x, x5, x?。由于在水平 =0.8下所有企業(yè)的技術(shù)密集程度屬于同一類，說明在這一水平下可以認(rèn)為6家企業(yè)的技術(shù)密集程度是相同的。模糊綜合評價(jià)模糊綜合評價(jià)的一般步驟如下:(1 )確定評價(jià)對象的因素集 U% , X2，Xn；(2) 確定評語集；(3) 作出單因素評價(jià)R二rijn：m(4) 綜合評價(jià)。例題14.7評價(jià)某種牌號的手表，U - ：Xi,X2, X3,

24、X4 ?，其中X,表示外觀式樣，X2表示走時(shí)準(zhǔn)確，X3表示價(jià)格，X4表示質(zhì)量。評語集為V = ：y, y2, y3，其中y-i表示很滿意，y2表示滿意，y3表示不滿意。例如，對外觀式樣有 70%的顧客很滿意，20%的顧客滿意，10 %的顧客不滿意，那么同理可得:f(X10.7y1+ °2y2+ 0.1y30.60.30.1f ( X2 )-+y1y20.5i 0.3L 0.2f (X3 )：+y1y2y30.5丄0.4丄0.1f(X4 )：+y1y2y3-0.70.20.110.60.30.1R =0.50.30.20.50.40.1 一那么這個(gè)問題的單因素評價(jià)矩陣為由于各個(gè)因素在綜

25、合評價(jià)中的作用不同，為此給出一個(gè)U的模糊集合A二a1, a2 / ,an，滿足條件ai = 1,在綜合評價(jià)中，將 A稱為綜合評價(jià)的權(quán)重向量, 對于給定的權(quán)重，綜合評價(jià)就是 U > V的一個(gè)模糊變換。假設(shè)如果某類顧客評價(jià)手表的權(quán)40%, 20%, 30%, 10%。重為A二0.4,0.2,0.3,0.1，即對四個(gè)方面的重視程度為B = A R 0. 4,0. 2, 0. 3,2 3 3 4 o o o O7 615 5 o ooo o_00. 10. 4, 0. 3, 0. 2說明很滿意，滿意，不滿意的隸屬度依次是0.4, 0.3, 0.2，根據(jù)最大隸屬原那么，可以認(rèn)為這類顧客對這種手表“

26、很滿意15.4 模糊數(shù)學(xué)模型舉例【11在英語教學(xué)過程中，利用計(jì)算機(jī)輔助手段，改變傳統(tǒng)的課堂教學(xué)方式，根據(jù)課文內(nèi)容制 作課件，對學(xué)生進(jìn)行更多的聽、說訓(xùn)練，為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓他們面對計(jì)算機(jī)進(jìn)行情景對話，從而克服面對教師或同學(xué)的緊張情緒，培養(yǎng)學(xué)生的語言學(xué)習(xí)的自信心。為評價(jià)計(jì)算機(jī)輔助英語教學(xué)的效果，我們采用了模糊綜合評判法。模糊綜合評判的數(shù)學(xué) 模型可以分為以下幾個(gè)步驟：1 建立評判對象的因素集 U = U1, U2,比。因素就是對象的各種屬性或性能，在不同場合，也稱為參數(shù)指標(biāo)或質(zhì)量指標(biāo)，它們綜合地反映出對象的質(zhì)量，人們就是根據(jù)這些因素給對象評價(jià)。2 .建立評判集 V = V1 , V2 , , , Vm。3. 建立單因素評判，即建立一個(gè)從U到F(V)的模相映射f :U ?F V , -Uj UUi0乞r；j乞1, 1乞i乞n, 1乞j乞mrn1r12r22rn2r1mr2mrnmR稱為單因素評判矩陣。于是(U, V, R)構(gòu)成了一個(gè)綜合評判模型。4. 綜合評判由于對U中各因素有不同的側(cè)重，需要對每個(gè)因素賦予不同的權(quán)重，它可表示為U上 的一個(gè)模糊子集Aa,a2,，an，并且規(guī)定ai =1。i 4在R和A求出之后，那么綜合評判為 B