熱學秦允豪第二版答案及解析

1、預測二氧化碳氣體的粘滯系數(shù)， 可將它貯存于容積為 V=1.01 的燒瓶內(nèi)，壓強 保持為p仁1600mmHg,然后翻開活門，讓二氧化碳經(jīng)由長 L=10cm,直徑的細管 自燒瓶流出，經(jīng)過t=22分鐘后，燒瓶中的壓強降低至 p3=1350mmHg。試由這 些數(shù)據(jù)計算二氧化碳的粘滯系數(shù)。外界大氣壓p2=735mmHg,整個過程可視為在15C時發(fā)生的等溫過程。設法使在平行板電容器兩板間的帶電油滴所受的電場力與其重力平衡。 ，那么可 以求到油滴的帶電量， 這就是歷史上有名的密立根油滴實驗的根本原理， 由這實 驗首次測定了電子電荷。 實驗中油滴的密度是的， 但為求得其重力， 還應知 道它的半徑r，為此，考慮

2、到不加外電場，當油滴的重力和它所受到的周圍空氣 的粘滯力相等時，油滴將以勻速v下降。假設空氣的密度p和粘滯系數(shù) 也為已 知，試問怎樣求 r?2.B.4 設想在遠離地球的太空中有一宇宙飛船，飛船內(nèi)有一真空實驗艙。內(nèi) 中有一質(zhì)量為 M 的試管，它被質(zhì)量為 m 的隔板分隔為體積相等的兩局部。被隔 板封閉的那局部空間中有溫度為T,摩爾質(zhì)量為Mm,物質(zhì)的量為的單原子理想 氣體。隔板被放開后， 隔板無摩擦的向上移動。 在隔板離開試管頂端后氣體才開 始從試管中逸出。設試管開始運動時試管靜止。試求試管的最終速度。設氣體、試管、隔板三者之間的熱量交換可以忽略，在隔板離開試管前，氣 體經(jīng)歷的是準靜態(tài)過程。【分析】

3、由于試管外部為真空， 開始時整個系統(tǒng)都是靜止的， 隔板被放開后 氣體將膨脹， 但整個過程都是絕熱的準靜態(tài)過程， 我們可以利用絕熱過程方程來 解這個問題。在絕熱膨脹過程中，氣體內(nèi)能減少，溫度降低。但是由于不存在重 力，氣體不對整個系統(tǒng)以外的局部做功， 所減少的內(nèi)能全部轉(zhuǎn)化為隔板和試管的 動能以及氣體的整體定向運動動能， 由于整個系統(tǒng)的總動量守恒， 所以隔板向上 運動的動量等于試管以及所裝氣體的向下運動的動量， 這樣就可以確定隔板離開 試管時試管以及所裝氣體的向下運動的速度 u1,以上稱為過程“ 1。當隔板離開試管以后 這稱為過程 “ 2氣體將陸續(xù)逸出 最終將全部逸出 試管。雖然系統(tǒng)仍然絕熱，但是

4、它不是準靜態(tài)過程，絕熱過程方程不能適用。詳 細分析:(1)在氣體還沒有逸出試管時，特別是隔板被固定時，由于氣體分子的無 規(guī)那么運動， 平均來說， 分別有一半分子以平均速率撞擊隔板和試管底， 因而給隔 板和試管底分別施以相等的動量。 在隔板沒有固定時， 給以隔板動量使得氣體做 絕熱膨脹；給以試管底的動量使得試管以 u1 速度向下運動。正如上面分析的， 計算 u1 的關(guān)鍵是整個系統(tǒng)的總動量守恒。 2當隔板離開試管時，氣體已經(jīng)以 速度 u1 和試管一起向下運動。但是在隔板離開試管以后，氣體給以試管底的動 量仍然存在，這個動量使得試管向下的運動速度又增加了u2,我們可以在以u1速度向下運動的參考系中來

5、求 u2,而在地面參考系中試管的速度應該是 u1+u2.【解】1過程“1：正如上面分析的，這是一個準靜態(tài)絕熱過程，設開始 時以及隔板即將離開試管時氣體的溫度和體積分別是T,V和Tf, Vf那么應該有如下關(guān)系：1 1TVTfVf其中國Vf=2V，丫 =5/3單原子理想氣體)，那么有Tf3RUCv,m T- (Y隔板、試管和氣體的總的定向運動動能為氣體內(nèi)容減少了Yf)Ek2 2mv u1 ( M m M )2 2其中V為隔板離開試管時，隔板向上運動的速度, 速度。氣體內(nèi)能的減少轉(zhuǎn)變?yōu)槎ㄏ蜻\動動能，所以u1是試管向下運動時的UEk另外，根據(jù)整個系統(tǒng)的總動量守恒，有mv(Mm M )Ui由上述各式可以

6、解得2Ui3(八)mRT2( Mm M )(m Mm M)(2)過程“2隔板離開試管以后，我們把正在向下運動的試管作為參考系。 正如上面分析的，平均來說，可以認為有一半的分子向試管底撞擊， 這些分子的 數(shù)量為 N匹2分子撞擊速率應該是平均速率，現(xiàn)在已方均根速率代替它，有3RTf:m分子其中m分子為分子的質(zhì)量，Tf為隔板離開試管以后氣體的溫度。一個分子對試管底撞擊產(chǎn)生2m分子V的沖量，一半分子的撞擊給以試管底的總沖量為I N 2 m分子v也2m分子2m分子3MmRTf這個沖量使得試管產(chǎn)生動量的改變，從而得到附加速度 IU2M其中M為試管的質(zhì)量?？紤]到Mm NAm分子，并且利用1式，將78式代入9

7、得u2 -一 . 3M mRT23M由此得到試管的最終運動速度為：2u u1u21、3MmRT23M3(231) mRT半徑a的鈾球，在原子裂變過程中以體積熱產(chǎn)生率5.5 x 103W- m-3均勻地、恒定不變地散發(fā)出熱量 W-m-323(Mm M)(mMm M)H =.鈾的導熱系數(shù)k=46-K試問達穩(wěn)態(tài)時，鈾球的中心一與外外表間的溫度差是多少？【分析】對于球體內(nèi)部有恒定不變地均勻散發(fā)出熱量的傳熱問題，它到達穩(wěn)態(tài)的條件是;單位時間內(nèi)，從半徑為葉dr :的球殼向外傳遞的熱量，應該等于 單位時間內(nèi)以r為半徑的球內(nèi)所產(chǎn)生的總的熱量。 假設前者小于后者，鈾球內(nèi)部 溫度會升高，穩(wěn)態(tài)尚末到達；假設后者小于

8、前者，鈾球內(nèi)部溫度會降低，穩(wěn)態(tài)仍 然未到達.解：現(xiàn)在以半徑為rdr的球殼為研究對象，設 r及rdr處的溫度分別為 T(r)，T(r) dT。由于球殼內(nèi)、外外表之間存在溫度梯度，有熱量從球殼向外傳輸，球殼 通過的熱量dQdT 八dT , 2A4 ndtdzdr到達穩(wěn)態(tài)時球殼在單位時間內(nèi)透過的熱流應該等于以r為半徑的鈾球在單位時間內(nèi)產(chǎn).口.冋dT 2 4 n drH3生的熱量假設前者小于后者，鈾球內(nèi)部溫度會升高，穩(wěn)態(tài)尚未到達H 4 n33aHrdr0 rdr3，所以Ta dTTTaTo扣2 0)0.20 K6兩個同樣大小經(jīng)過黑化的小球， 一正在熔化的冰塊的大空洞里，發(fā)現(xiàn)鋁的溫度從 經(jīng)同樣的溫度變化

9、那么用了。問鋁和銅的比熱容之比是多少？鋁和銅的密度分別為2.7 x 10103kg?3 和8.9 X103kg?3 .一個是銅的,用絲線把它們吊在一個是鋁的3C降到1C用了 10mi n,而銅球【解】1物體外表總輻射照度E,來自空腔的總輻射出射度 ME M 1BTw；物體凈能量流密度為T4tW t4dQ mCpdTCpdT Cp為熱容量4物體單位時間、單位外表上吸收的輻射能量為: 發(fā)射的能量為：MdQdTJtA (3)atW4 t4atwT Tw T4 ATw Tw TCpdT(4)4 AT擊 Tw T dtdtCpT2 dT4A TJ T1 Tw TCp 4A T誌In2依題意：把5式中，C

10、p C c為比熱1C7InAw 2.7103wRt?10R6TWT1IntW4WT2R 4A1uW8.9 103W銅：CuRtu14.2R10RC a/2.7103W108.92.32Cu14.2R14.22.77十88.9 10 W鋁:4ATta7氣體的平均自由程可通過實驗測定(例如由測量氣體的粘度算出氣體的平均自 由程).現(xiàn)在測得t=2 0C，壓強為1.0105Pa時氬和氮的平均自由程分別為A 9.9108m N 27.510 8m.試問:(l)氮和氬的有效直徑之比是多少?2t=-20C, 2.0105Pa時的-是多少？3t=-40C, 1.0105Pa 時的是多少？解 pnkT在壓強和混

11、度相同時有如下關(guān)系：a2 dNndN 2n2d；ndA那么有12 8 2dNA 29.910 83dA匚27.510 85在溫度都是t=20C情況下, kTA=2 p氬氛的平均自由程和壓強成反比，也就是說9_1.0105m 5.010 7m2.0104P(3)同樣對于壓強相同而溫度不同的氮氣，其平均自由程和溫度成正比827.510 “a233m2932.210 7m因為nmv CV,mMmnmvT，所以nmv q,mMmM,那么有3D因為nmv3nm所以MV，所以那么有4由1式可以得到RTM23 1Na1.021 210 m23 2 Na2.821 210 m標準狀態(tài)下氦氣的粘度為1，氬氣的粘

12、度為2，他們的摩爾質(zhì)量分別為Ml和M2.。試冋：1氦原子和氦原子碰撞的碰撞截面1和氬原子與氬原子的碰撞截面2之比等于多少？ 2氦的導熱系數(shù)1與氬的導熱系數(shù)2之比等于多少？ 3此時測得氦氣的粘度氦的擴散系數(shù)Di與氬的擴散系數(shù)D2之比等于多少？ 411.87 10 3N s m 2和氬氣的粘度232.11 10 N s2。用這些數(shù)據(jù)近似的估算碰撞截面【解】1因為 nmv31 -2 n，V8kT那么有mmv 23.23km *在溫度相同情況下，原子和氦原子碰撞的碰撞截面1和氬原子與氬原子的碰撞截面2之比為M1M221(2)因為nmv3CV,mnmv3所以CV ,m那么有M2M1(3)應為nmv3mn

13、所以Dm2M1(4)由1可以得到3 1Na1.0 10 21 m2RTM222Na2.8 10 21 m2假設旋轉(zhuǎn)粘度計(如圖3-1左圖所示)中的A的半徑為R2,它和B的半徑1之差 為S令(R2-R1M)而S與R1相比不是很小.試問當扭絲扭轉(zhuǎn)力矩為G,圓筒旋 轉(zhuǎn)速度為3時所測得的流體的粘度是多少？【分析】 注意R2-R1=S與R1相比不是很小，在兩圓筒之間沿半徑方向的速度 梯度不能認為是處處相同的怎樣應用牛頓枯性定律解此題？設當圓筒旋轉(zhuǎn)速度為 3時，夾層內(nèi)氣體的運動已經(jīng)到達穩(wěn)態(tài)，夾層內(nèi)氣體 受到的合力矩應該為零現(xiàn)在在待測氣體中隔離出一層其中心軸與圓筒中心軸相 同，其內(nèi)徑為R,厚度為dR,長度為

14、L的薄圓筒，如圖3-1右圖所示.當圓筒以 角速度3勻速轉(zhuǎn)動時，這一層薄圓筒狀氣體也必做勻速轉(zhuǎn)動.由于這層氣體對圓筒中心軸的角動量是守恒的，于是根據(jù)角動量守恒定理可以知道這層氣體所受到 的相對于圓筒中心軸的合外力矩等于零.因此應該對這一層氣體所受到的力矩進 行分析.【解】作用于夾層中RR+dR這層氣體的外力有：內(nèi)、外外表所受的壓力，它 們對軸的力矩均為零；內(nèi)外表所受的粘性力F,它對軸作用的力矩為-FR其中“- 號表示其方向與圓筒轉(zhuǎn)動方向相反：外外表所受的粘性力為F十dF,它對軸的力 矩為+(F+dF)x (R+dR), “+號表示其方向是與圓筒轉(zhuǎn)動方向一致的。由角動量 守恒定理得(F+dF)(R

15、+dR)-FR=0那么有d(FR)=0(1)(這里忽略了二級無窮小項)根據(jù)牛頓粘性定律得Fdu dR2 RL2(2)式代人(1)式得d 2u小d u小R2 2 0 dR2dR人dudu令u，得R2u 0dRu 積分得uC1R2Cidu dR2dR2 R-再積分得到其中Ci,C2為積分常數(shù).由邊界條件：在R=Ri處，u=0;R=R2處，u= 3 R2 可以得到c1C20,RiCiR24C2RCiRiR；5R2%R2R2 R將5)中的兩個式了代人到(3式,就得到待測氣體中氣體流速隨半徑變化的規(guī) 律為1 rR2u R2R RR2R6(2)式中只有R是變星).即可求得薄圓筒所受到將(6)式代入式應該注

16、意到, 的粘性力對中心軸的力矩為2 L R12 dU7x dRR2 R1由此解得被測氣體的粘性系數(shù)等于R2%2 LRRf3.B.2 個均勻的非金屬環(huán)形圓柱，它的內(nèi)、外半徑分別為ri,r2其長度為1(1, 如圖3-2所示.它的內(nèi)、外外表分別保持Ti和T2溫度不變，試求它到達穩(wěn)態(tài)時的 內(nèi)部溫度分布【解】由于l r2,在忽略上、下外表和外界之間的熱傳遞的情況下，在離開 環(huán)形圓柱中心軸r處的溫度是處處相等的(因為材料是均勻的)，設其導熱系數(shù)為，考慮從r到葉dr那一殼層空間，它的溫度從T變到T+dT對這一殼層應用傅 里葉定律dQdTdTdr2 rl1到達穩(wěn)態(tài)時上式應該是一個常量，設它等于C,那么dT2

17、rldrAdrr兩邊積分，得到T( r )Al nr B2將邊界條件:當r=ri時，T(ri)=Ti時；當r=r2時，T(r2)=T2一起分別代入2式, 得到TjA In r1B,T2Aln r2B聯(lián)立(3)式中的兩個式子，解得3T2TiIn ri百 In r2T2 In riIn2ri將(4)式中的兩個式子代入到2)式，可以解得在非金屬環(huán)形圓柱中半徑r處的溫 度為T(r)In ri In r2(T,T2)ln rT? In r2T, In 片如圖3-5所示，利用一直徑為，焦距為f=0.5的凸透鏡B在一粗糙的黑色薄圓盤 A上形成一個太陽C的聚焦像，像的大小與薄圓盤正好一樣大.假定太陽的黑體溫

18、度是T日=6000K,太陽中心與地球中心間距離為x i0iim，太陽半徑為a=i.4x i09m 試問盤可能到達的最高溫度是多少？【分析】這是一個輻射傳熱和幾何光學相結(jié)合的復合題一所有射到凸透鏡上的 太陽光線都聚焦到薄圓盤上，薄圓盤是一個黑體，所以射到凸透鏡上的太陽光線 的能量能全部被薄圓盤吸收、薄圓盤又向外發(fā)射熱輻射能，到達穩(wěn)定狀態(tài)時，其 能量的收和支相等，溫度不再上升。【解】按照斯忒藩一玻耳茲曼定律，太陽作為黑體，它在單位時間內(nèi)在單位面積的外表上向外發(fā)射的熱輻射能為叫tB4門其中，c為斯忒藩一玻耳茲曼常量.太陽外表在單位時間內(nèi)向外發(fā)射的總的熱輻 射能為PB 4 R| TB4 2顯然，在以太

19、陽中心為球心，以 a即太陽中心與地球中心間的距離為平徑的球 面上甲也有和2式相等的熱功率透過如果不考慮地球的大氣層對太陽光的吸收 那么根據(jù)比例關(guān)系就知道凸透鏡所接收到的太陽能的熱功率為d2d2其中4為凸透鏡的面積,34 a2是以太陽的中心為圓心，太陽中心與地球中心間距離為半徑的球面面積。這一熱功率通過凸透鏡聚焦到薄圓盤上并且全部被薄圓盤吸攻因為薄圓盤是黑體，其吸收系數(shù)等于1.同時薄圓盤也向外發(fā)射熱輻射一按照斯忒藩一玻耳 茲曼定律，它向外發(fā)射的熱輻射功率為P2 r2 T4其中T為薄圓盤的溫度，r是薄圓盤的半徑.而因子2是因為薄圓盤有正、反兩個 面而乘上的.到達穩(wěn)定狀態(tài)時3式應該和4式相等。至于薄

20、圓盤的半徑要通過幾何光學的成像關(guān)系來得到，從圖3-5可以看到Rba由2式、5式。以及3式等于式.可以得到薄圓盤的溫度為1595K這個溫度是最高的，因為它不考慮大氣層對太陽能的吸收 平均說米大氣層對太 陽能的吸收率為25%，也不考慮薄圓盤的對流傳熱等熱損失，某空調(diào)器是由采用可逆卡諾循環(huán)的制冷機所制成。它工作于某房間設其溫度為T2及室外設其溫度為Tl之間，消耗的功率為 P,試問：1假設在1秒內(nèi)它從房間吸取熱量 Q，向室外放熱 Ql，那么Q2是多大?以Tl，T2 表示之。2假設室外向房間的漏熱遵從牛頓冷卻定律，即dQ/dtDTl T2，其中D是與房屋的結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。試問制冷機長期連續(xù)運轉(zhuǎn)后，房間所

21、能到達的最低溫度 T2是多大?以Tl、P、D表示之。3假設室外溫度為 30 C，溫度控制器開關(guān)使其間 斷運轉(zhuǎn)30 %的時間例如開了 3分鐘就停 7分鐘，如此交替開停，發(fā)現(xiàn)這時室內(nèi)保持 20 C溫度不變。試問在夏天仍要求維持室內(nèi)溫度20 C，那么該空調(diào)器可允許正常運轉(zhuǎn)的最高室外溫度是多少？ 4在冬天，致冷機從外界吸熱，向室內(nèi)放熱，制冷機起了熱泵的作 用，仍要求維持室內(nèi)為 20 C，那么它能正常運轉(zhuǎn)的最低室外溫度是多少？分析:這是現(xiàn)在正在廣泛使用的熱泵，它既能在夏天用來降溫，又能在冬天用來取 暖的一個理想模型認為制冷機是可逆卡諾制冷機。通常制冷機是采用交替開停的方法來控制溫度，使房間到達根本恒溫的

22、。在到達穩(wěn)定狀態(tài)時， 在相同時間內(nèi)，冬天時制冷機向房間傳遞的熱量應該等于房間向外的漏熱；夏天時外界向房間的漏熱應該等于制冷機從房間取出的熱量。解：1對于可逆卡諾制冷機，有：Q1 /(Q1 Q2 )/飛T2經(jīng)過變換可以得到Q2 /(Q1 Q2)T2/(T1T2)1又由于Q1 Q2W，而?P ? dW/dtdQ2 / dt Q2考慮到在運行穩(wěn)定時Q2/WQ2/ P ,因而1式可表示為Q2/P T2 /Tl T2，Q2 T2P/Ti T222當制冷機長期連續(xù)運轉(zhuǎn)后，房間到達的最低溫度 T2時制冷機的制冷功率應該等于 房間的漏熱功率。制冷機的制冷功率是由制冷機的效率公式?jīng)Q定的。房間的漏熱功率是由牛頓冷

23、卻定律決定的，因而利用1式，有DTi T2 T2P/G1 T2 3DT1 T22 T2P 0即:DT； 2DT1 PT2 DT120因為T2 T1，所以上式中只能取負號，所以有4哺)T2TiP 1 P 2 (二(P)2 2D 2、Dd43當室外溫度為30 C，制冷機長期運轉(zhuǎn)30 %時間并且到達穩(wěn)態(tài)時，這時的房間 0溫度為T2 20 C。我們可以利用這一條件求出D。因為在到達穩(wěn)定狀態(tài)時，單位時間內(nèi)外界向房間的漏熱(dQ/dt)D(T1 T2)應該等于制冷機從房間取出的熱量，而后者可以用2式來求出，不過其中的P應該用.3P來代替。這樣,就有D(T1 T2 )0.3P T2/(TT2)5將T130

24、c，T220 c代入5式，可以得到D 2.93 0.3 P6到了夏天仍要求維持室內(nèi)溫度 20 C，假設該空調(diào)器可允許正常運轉(zhuǎn)的最高室外溫度 0設為Ti，而室內(nèi)溫度仍為 T2 20 C。這時到達穩(wěn)態(tài)的條件同樣是：制冷機的制冷功 率應該等于房間的漏熱功率。但是現(xiàn)在空調(diào)器是不間歇地連續(xù)運轉(zhuǎn)，在5式中的P應改為3 P，即/III得到T2)P T2 /(TiT2 )64在冬天要求維持室內(nèi)溫度T1那么參考6式，有311.26 K 38.11 c20 C,設它能正常運轉(zhuǎn)的最低室外溫度為D(TiT2 )P T2 /(TiT2 )8將5中的D 2.93 0.3P代入，可以得到T；274.74 K 1.59 c有

25、三個熱容都是 C(C為常量夕的相同物體 A,B,D 其溫度分 TA=TB=300K,TD=100K .假設外界不做功也不供給熱量.利用熱機將這三個物體 作為熱觸，使二個物體中的某一溫度升高，試向它所能到達的最高溫度是多少?這時其他兩物體的溫度分別是多少？【分析】 初看起來，要求出所能到達的最高溫度，是不是要利用仁諾定理 以及可逆卡諾熱機效率公式來解此題了當然， 要使得共中某物休的IJ到達最高， 必須利用可逆卜諾熱機.但是注意到，此題中利用可逆卡諾熱機以后，不僅效率 最高，而且物體A，B，D和卡諾熱機所組成的系統(tǒng)是絕熱的，而可逆的絕熱過 程其總熵是不變的，所以我們可以利用熵增加原理來解此題，其解

26、題方法比擬簡， 并且具有普遍意義.【解】設溫度改變后三物體的最后溫度分別為。一因為外界不做功也不供熱，所以系統(tǒng)的內(nèi)能不變，在不考慮物體由于溫度變化而發(fā)生體積改變的情況 下，內(nèi)能改變只和吸收或者釋放熱量有關(guān)，所以QTa Ta) C(Tb TB) C(Td TD)0可得Ta Tb TdTa Tb Td700KStTb dTS C0TaTbTTd T1ln 1ln TB1ln ID0有TaTbTd可得1 1 1TaTbTdTaTbTd9106K2又因為該過程屬于可逆過程。故絕熱.系統(tǒng)伏態(tài)改交前后的總熵不變.即假設A物體升到最高溫度，那么B,D溫度將相等且低于A的溫度，即IIITbTdTa聯(lián)立(I)式、(2)式、3式，解得tbTd150K，Ta400K也可能出現(xiàn)如下的解：(1)III(1)出現(xiàn)并立的兩個最高溫度(TbTdTa)TbTd150K，Ta400K其最高溫度低于(4)中的數(shù)值而被舍去。(2)出現(xiàn)負的溫度數(shù)值，也被舍去.所似能夠到達溫度最高的物體的溫度是 400K 如圖6-5所示，一塊高為a,寬為b的長方形鋼板放在邊長為c的立方體 的冰塊上，鋼板兩側(cè)分別各掛上一質(zhì)量為 m的重物。整個系統(tǒng)及周邊環(huán)境均在0C 溫度以下。1證明鋼板下面冰的溫度降低了。2在鋼板下面的冰熔解，在板上面的水又凝結(jié)，熱量從鋼板往下傳，假設在 單位時間內(nèi)從單