力-物體的平衡-典型例題

1、無(wú) 處于共點(diǎn)力作用下物體平衡的分析及求解處于共點(diǎn)力作用下物體平衡的分析及求解 湖南衡東歐陽(yáng)遇實(shí)驗(yàn)中學(xué)湖南衡東歐陽(yáng)遇實(shí)驗(yàn)中學(xué) 陽(yáng)其保陽(yáng)其保 421411 一：共點(diǎn)力作用下的平衡狀態(tài)一：共點(diǎn)力作用下的平衡狀態(tài) ： 1：兩種狀態(tài)： A：靜止，B：勻速直線運(yùn)動(dòng) 2：兩個(gè)基本特征： A：運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：速度為 0 或速度不變。 B：動(dòng)力學(xué)特征：物體所受的合外力為 0， （即平衡條件） 二：求解共點(diǎn)力平衡的基本步驟：二：求解共點(diǎn)力平衡的基本步驟： 1：正確畫出受力分析圖。 受力分析方法：A：整體法和隔離法（區(qū)分內(nèi)力和外力） B：假設(shè)法。 （判定彈力、摩擦力的有無(wú)和方向） 2：合理建立坐標(biāo)系，對(duì)不在坐標(biāo)軸上的力

2、進(jìn)行分解 3：利用力的分解和合成求合力，列平衡方程。 4：解方程。 三：求解共點(diǎn)力平衡的基本方法：三：求解共點(diǎn)力平衡的基本方法： 1：力的正交分解法：此方法適用于三個(gè)以上共點(diǎn)力作用下物體的平衡，注意合理選取坐標(biāo)系，盡可能使落在坐標(biāo)軸上的力多一些，被分解的力盡可能是已知力，不宜分解待求力。 2：力的合成、分解法：對(duì)于三力平衡，可根據(jù)結(jié)論： “任意兩個(gè)力的合力與第三個(gè)力等大反向” ，借助幾何知識(shí)求解。對(duì)于多個(gè)力的平衡，可利用先分解再合成的正交分解法。 3：矢量三角形法：物體受同一平面內(nèi)三個(gè)互不平行的力作用下平衡時(shí)，這三個(gè)力的矢量箭頭首尾相接，構(gòu)成一個(gè)矢量三角形，利用三角形法，根據(jù)正弦定理、余弦定理

3、或相似三角形等數(shù)學(xué)知識(shí)求得未知力。此種方法直觀、簡(jiǎn)便，但它僅適于三力平衡。 4：相似三角形法：即找一個(gè)與矢量三角形相似的三角形，利用幾何知識(shí)求解。 5：正弦定理法：三力平衡時(shí)，三個(gè)力可構(gòu)成一封閉的三角形，若由題設(shè)條件尋找到角度關(guān)系，則可用正弦定理列式求解。 四：平衡問(wèn)題中的臨界與極值問(wèn)題。四：平衡問(wèn)題中的臨界與極值問(wèn)題。 1：臨界狀態(tài)：是從一種物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N物理現(xiàn)象，或從一物理過(guò)程轉(zhuǎn)入到另一物理過(guò)程的轉(zhuǎn)折狀態(tài)。臨界狀態(tài)也可理解為“恰好出現(xiàn)”和“恰好不出現(xiàn)”某種現(xiàn)象的狀態(tài)。 常見的臨界狀態(tài)有： A： 兩接觸物體脫離與不脫離的臨界條件是相互作用力為 0 （主要體現(xiàn)為兩物體間的彈力為 0） ，

4、 B：繩子斷與不斷的臨界條件為作用力達(dá)到最大值，彎與不彎的臨界條件為作用力為 0； C：靠摩擦力連接的物體間發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)靜止的臨界條件為摩擦力達(dá)到最大。 研究的基本思維方法：采用假設(shè)推理法。 2：極值問(wèn)題：是指研究平衡問(wèn)題過(guò)程中某物理量變化時(shí)出現(xiàn)的最大值或最小值，中學(xué)物理的極值問(wèn)題可分為簡(jiǎn)單極值問(wèn)題和極值條件問(wèn)題，區(qū)分的依據(jù)就是是否受附加條件限制。 處理極值問(wèn)題的兩種基本方法： A：解析法：根據(jù)物體的平衡條件列方程，通過(guò)數(shù)學(xué)求極值的方法求極值。思維嚴(yán)謹(jǐn)，但有時(shí)運(yùn)算量比較大，相對(duì)來(lái)說(shuō)較復(fù)雜。 無(wú) B：圖解法：即根據(jù)物體的平衡條件作出力的矢量三角形，然后由圖進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，確定最大值和最小值。

5、此法簡(jiǎn)便、直觀。 通?？衫脦缀螛O值原理：如圖：三角形一條邊 a 的大小和方向都確定，另一條邊 b 只能確定其方向（即 a、b 間的夾角角確定） ，欲求第三邊的最小值，則必有 c 垂直于 b，且 c=asin。 例例 1 1 (2003 年全國(guó)高考卷19 題)如圖所示，一個(gè)半球形的碗放在桌面上，碗口水平，點(diǎn)為其球心，碗的內(nèi)表面及碗口是光滑的。一根細(xì)線跨在碗口上，線的兩端分別系有質(zhì)量為m1和m2的小球， 當(dāng)它們處于平衡狀態(tài)時(shí)，質(zhì)量為 m1的小球與點(diǎn)的連線與水平線的夾角為=60兩小球的質(zhì)量比 m2/m1為 33:A 32:B 23:C 22:D 解析：解析：本題若采用整體法，因?yàn)槔K與碗口處的彈力未

6、知無(wú)法得解，故應(yīng)該用隔離法 對(duì) m2進(jìn)行受力分析可知 T=m2g, 對(duì) m1進(jìn)行受力分析，如圖所示 由幾何知識(shí)有：=/2 由共點(diǎn)力的平衡條件得 Tcos(/2)+N cos(/2)=m1g Tcos=N cos 解得: m2/m1=33 正確答案：(A) 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是利用正交分解法列平衡方程，正交分解法解物體的平衡是基本方法，必須熟練掌握 例例 2 2 三根不可伸長(zhǎng)的相同的輕繩，一端系在半徑為 r0的圓環(huán) 1 上，彼此間距相等，繩穿過(guò)半徑也為r0的圓環(huán) 2，另一端同樣等間距地系在半徑為 2ro的圓環(huán) 3 上，三個(gè)圓環(huán)環(huán)面平行環(huán)心在同一豎直線上，如圖所示環(huán) 1 固定在水平面上，整

7、個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，試求第 2 個(gè)環(huán)中心與第 3 個(gè)環(huán)中心之間的距離(三個(gè)環(huán)都是用相同的金屬絲制作的，摩擦不計(jì)) 解解：由于對(duì)稱，三根輕繩中張力相同，設(shè)為 T，如右圖所示，若環(huán) 2 重為 G，則可得環(huán) 3 的重力為 2G，b c a m1g T N r r0 0 T T T T 2 2 3 3 無(wú) 對(duì)環(huán) 2、3 整體平衡有 3T=G+2G，即有：T=G 隔離環(huán) 3，由平衡條件得：3Tsin=2G 則：sin=2/3 即：3/2/220 drd 所以環(huán) 2、3 間間距0552rd 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：本題雖為全俄競(jìng)賽題，物理情景有所變換，但處理的方法仍是基本的隔離法與整體法的應(yīng)用，注意在利用整體法時(shí)，系統(tǒng)

8、內(nèi)力與外力的區(qū)別，同時(shí)，因避開了系統(tǒng)的內(nèi)力，使得解題更合理，更簡(jiǎn)便。是解物體平衡的常用方法。 例例 3 3如圖所示，三角形木塊放在傾角為的斜面上，若木塊與斜面問(wèn)動(dòng)摩擦因數(shù)tan， 則無(wú)論作用在木塊上豎直向下的外力 F多大，木塊都不會(huì)滑動(dòng)，這種現(xiàn)象叫做“自鎖” 試證明之 證明證明: : 當(dāng) F 作用在物體上時(shí), 物體所受外力沿斜面向下的分力為:(F+mg)sin 假設(shè)物體下滑,則沿斜面向上的滑動(dòng)摩擦力為: (F+mg) cos 由tan可得(F+mg) cos(F+mg) sin 即物體所受的滑動(dòng)摩擦力總大于物體沿斜面向下的分力,所以物體不會(huì)滑動(dòng),出現(xiàn) “自鎖”現(xiàn)象. 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題是假設(shè)法在

9、解物體平衡中臨界問(wèn)題的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能否找出物體滑動(dòng)的臨界條件：沿斜面向下的分力大于滑動(dòng)摩擦力，并能巧用假設(shè)法列出相應(yīng)的關(guān)系式。 例例 4 4：如圖所示，把一個(gè)球放在 AB 和 CD 兩個(gè)與紙面垂直的光滑板之間，保持靜止，AB 板固定不動(dòng)，與水平面間的夾角為，CD 板與 AB 板活動(dòng)連接，CD 板可繞通過(guò) D 點(diǎn)的并垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在角緩慢地由 0增大到90的過(guò)程中， AB 板和 CD 板對(duì)球的支持力的大小如何變化？ 解法一解法一：正交分解法： 球的受力如右圖所示，球在重力 G、AB 板的支持力F1、CD 板的支持力 F2這三個(gè)力作用下保持平衡，利用幾何關(guān)系知 F1與豎直線夾角為，F(xiàn)2

10、與豎直線夾角為，根據(jù)平行四邊形定則，將 F1、F2分解為水平、豎直方向的分力，則由平衡條件有： F1sin=F2sin F1cos+F2cos=G 聯(lián)立以上兩式得： B A C D O F1 F2 G H 無(wú) F1=G/（cos+sincot） F2=Gsin/sin（+） 故當(dāng)一定、由 0逐漸增大到 90的過(guò)程中，因cot減小，故 F1一直增大，當(dāng)+=90時(shí)，sin（+）最大為 1，故 F2最小值為 Gsin，所以 F2先減小后增大。 解法二解法二：圖解法： 如右圖所示，根據(jù)平行四邊形法則，作出 F1、F2的合力 F，由平衡條件可知，F(xiàn) 與 G 等大反向。在角一定，F(xiàn) 方向豎直向上的情況下選

11、取平行四邊形的一半，可得一矢量三角形， 當(dāng)由 0增大到 90的過(guò)程中， 由圖可知，F(xiàn)1一直增大，F(xiàn)2先減小后增大，當(dāng)+=90，即CD 板垂直 AB 板時(shí)，F(xiàn)2最小，且 F2min=Gsin 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：在用解析法和圖解法求解物體平衡中有關(guān)力的變化中，圖解法能直觀反映各力的變化情況，而解析法通常要涉及三角函數(shù)的知識(shí)，相對(duì)較為復(fù)雜，在定性判定力的變化時(shí)宜采用圖解法。 例例 5 5如圖(I)所示，一根輕繩上端固定在 0 點(diǎn)，下端拴一個(gè)重為 G 的鋼球，球處于靜止?fàn)顟B(tài)現(xiàn)對(duì)球施加一個(gè)方向向右的外力 F，使球緩慢偏移，在移動(dòng)中的每一個(gè)時(shí)刻，都可以認(rèn)為是處于平衡狀態(tài)如果外力 F 方向始終水平，最大值為 2G

12、，在此過(guò)程中，輕繩拉力T 的大小的取值范圍是 在圖()中畫出 T 與 cos的函數(shù)關(guān)系圖象 解解：鋼球受重力 G、繩拉力 T、及水平向右的外力 F作用下處于平衡狀態(tài)，所以有：F=Gtan ， 又因?yàn)椋?F2G， 所以：0 arctan2 即：1cos55 又因?yàn)椋篢=G/cos 則有：GTG5 ，Tcos圖象如右圖所示。 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：當(dāng)物體在緩慢運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，可視為平衡狀態(tài)。為得出兩物理量的圖象關(guān)系，可先由平衡條件求得其函數(shù)關(guān)系式， （注意對(duì)應(yīng)的最大值和最小值） ，再由數(shù)學(xué)知識(shí)畫出圖象。 例例 6 6：如圖所示在半徑為 R 的光滑半球面上高為 h 處懸掛一定滑輪，重力為 G 的小球用繞過(guò)滑輪的繩

13、子被站在地面上的人拉住， 人拉動(dòng)繩子， 在從與球面相切的某點(diǎn)緩慢運(yùn)動(dòng)到接近頂點(diǎn)的過(guò)程中，試分析小球?qū)Π肭虻膲毫屠K子的拉力如何變化？ cos T G5 5/5 G O 圖（） 圖（） F F1 1 F F2 2 F F O 無(wú) 解解：如圖所示，小球的重力 G 與兩分力 F1和 F2 構(gòu)成三角形，各線段組成的三角形與各力組成的三角形相似， 有：F2/L=G/（h+R） ， 即 F2=GL/（h+R） 因 G 和（h+R）不變，拉小球時(shí)繩長(zhǎng) L 減小，F(xiàn)2減小，而 F2同繩拉力大小相同，故繩拉力減小。 同理有：F1=RG/（h+R） ，式中 R、G、h 各量不變，F(xiàn)1不變，而 F1與小球?qū)Π肭虻膲?/p>

14、力大小相同，故小球?qū)Π肭虻膲毫Σ蛔儭?點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：在畫出力的合成與分解圖時(shí)，要注意幾何知識(shí)的運(yùn)用，此題應(yīng)用相似三角形求解，對(duì)于定性分析某一些力的變化很直觀、而且簡(jiǎn)便。 例例 7 7：如圖所示，將一條輕而柔軟的細(xì)繩一端拴在天花板上的 A 點(diǎn)，另一端拴在豎直墻上的 B 點(diǎn)，A 和 B 到 0 點(diǎn)的距離相等，繩的長(zhǎng)度是 OA 的兩倍一質(zhì)量可忽略的動(dòng)滑輪 k，滑輪下懸掛質(zhì)量為 m 的重物 設(shè)摩擦力可忽略， 現(xiàn)將動(dòng)滑輪和重物一起掛在細(xì)繩上，在達(dá)到平衡時(shí)，繩所受的拉力是多大? 解解：平衡時(shí)，如下圖用 FT1， 、FT2、L1、L2以及1、2 分別表示兩邊繩的拉力、長(zhǎng)度以及繩與水平面之間的夾角 因?yàn)槔K與滑輪

15、之間的接觸是光滑的， 故有： FTl一 FT2=FT 由水平方向的平衡可知 FT cos1=FTcos2，即1=2= 由題意與幾何關(guān)系可知 ： L1+L2=2s (OA 距離設(shè)為 s) Ll cos+L2cos=s 由式得 cos=1/2 =60。 由豎直方向力的平衡可知 2FT sin=mg，所以 FT=mg33 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)注意隱含條件的挖掘，即同一段繩中各處的張力相同（不計(jì)重力） ，然后由對(duì)稱性進(jìn)行求解，此結(jié)論一定是記住。 例例8 8：如圖所示，物體的質(zhì)量為2 kg，兩根輕繩AB和AC一端連接于豎直墻上，另一端系于物體上，在物體上另施加一個(gè)方向與水平線成=60的拉力F，若要使繩都能伸

16、直，求拉力F的大小范圍（g=10m/s2） 解：解：作出A受力圖，如力所示，由平衡條件得： Fsin+T1sin-mg=0 Fcos-T2-T1cos=0 由以上兩式可得：F= mg/ sin-T1 A B O k m A B C F F 無(wú) F=T2/2cos+ mg/2 sin 要使兩繩都能繃直，則有T10，T20 所以F有最大值：Fmax= mg/ sin=N3/340 最小值：Fmin= mg/2 sin=N3/320 即有N3/320FN3/340 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題是平衡中臨界條件及極值問(wèn)題的綜合，對(duì)于繩是否被拉直的臨界條件為繩的張力大于或等于0，同時(shí)注意條件極值的求解。 例例9 9

17、：1999年，中國(guó)首次北極科學(xué)考察隊(duì)乘坐我國(guó)自行研制的“雪龍”號(hào)科學(xué)考察船對(duì)北極地區(qū)海域進(jìn)行了全方位的卓有成效的科學(xué)考察， 這次考察獲得了圓滿的成功， 并取得了一大批極為珍貴的資料， “雪龍：號(hào)科學(xué)考察船不僅采用特殊的材料，而且船體的結(jié)構(gòu)也滿足一定的條件，以對(duì)付北極地區(qū)的冰層與冰塊，它是靠本身的重力壓碎周圍的冰塊，同時(shí)又應(yīng)將碎冰塊擠向船底，如果碎冰塊仍擠在冰層與船幫之間，船幫由于受巨大的側(cè)壓力而可能解體，為此，如圖所示，船幫與豎直面之間必須有一傾角，設(shè)船體與冰塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，試問(wèn)使壓碎的冰塊能被擠向船底，角應(yīng)滿足什么條件？（冰塊受到的重力、浮力忽略不計(jì)。 ） 解解：如圖為一碎冰塊的受力圖，

18、N為考察船側(cè)對(duì)冰塊的壓力，f為考察船對(duì)冰塊的滑動(dòng)摩擦力， 則有：f=N， 將N按圖分解，則有N1=Ntan， 要使冰塊能向下滑，NtanN 即滿足：tan arctan 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：本題為物體平衡在實(shí)際生活中的應(yīng)用，與現(xiàn)代高科技緊密相關(guān)?，F(xiàn)代物理教學(xué)中倡導(dǎo)的“科學(xué)、技術(shù)、社會(huì)” （STS）教育的思想，正是試圖培養(yǎng)未來(lái)人才正確的科學(xué)思想，提高人類的科學(xué)素質(zhì)，關(guān)注當(dāng)前社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，要求學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)對(duì)熱點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行思考，做出判斷，這將有助于學(xué)生形成科學(xué)的民主意識(shí)， 科學(xué)決策能力及正確的價(jià)值倫理觀念， 也正是物理教學(xué)中最終要達(dá)到的目標(biāo)之一。 專題一：平衡類問(wèn)題（專題一：平衡類問(wèn)題（） 2006.3.

19、1 【考點(diǎn)分析】【考點(diǎn)分析】 主講：陳益富 1、要熟練掌握重力、彈力、摩擦力以及電場(chǎng)力、安培力（洛侖茲力）的性質(zhì)和特點(diǎn)，能利用共點(diǎn)力平衡條件解題。 2、對(duì)力的處理方法主要是利用平行四邊形法則（三角形法則）和正交分解法；對(duì)研究對(duì)象的處理方法主要是利用整體法和隔離法。 【知識(shí)要點(diǎn)】【知識(shí)要點(diǎn)】 y y x x F F T T1 1 T T2 2 G G N N N N2 2 N N1 1 f f 無(wú) 1、共點(diǎn)力平衡狀態(tài)及條件：靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都稱為平衡狀態(tài)，處在平衡狀態(tài)的物體所受合外力一定為 0。即所有外力在任意一個(gè)方向上的投影的代數(shù)和為所有外力在任意一個(gè)方向上的投影的代數(shù)和為 0 0。 2

20、、整體法和隔離法：合理選擇研究對(duì)象是研究力學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵，有時(shí)選擇一個(gè)物體為研究對(duì)象分析較為煩瑣，但選用整個(gè)系統(tǒng)作為研究對(duì)象卻簡(jiǎn)潔明了，整體法的優(yōu)點(diǎn)是未知量少，方程數(shù)少，求解簡(jiǎn)捷原則：先整體后隔離先整體后隔離 思路點(diǎn)撥 本專題內(nèi)容高考涉及的主要是三力平衡,往往以選擇填空為主，在電場(chǎng)磁場(chǎng)中帶電粒子及導(dǎo)體的平衡計(jì)算題出現(xiàn)較多。近幾年考查在運(yùn)動(dòng)中受變力（如運(yùn)動(dòng)中受變力（如 f=kxf=kx，f=kvf=kv、f=Kvf=Kv2 2）出現(xiàn)的）出現(xiàn)的變化過(guò)程和穩(wěn)定狀態(tài)（平衡態(tài)）較為頻繁，應(yīng)引起足夠的重視。變化過(guò)程和穩(wěn)定狀態(tài)（平衡態(tài)）較為頻繁，應(yīng)引起足夠的重視。 【解題指導(dǎo)解題指導(dǎo)】 一、靜力學(xué)中的平衡問(wèn)題

21、：一、靜力學(xué)中的平衡問(wèn)題：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未發(fā)生改變，即0a，表現(xiàn)：靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng) 1 1、二力平衡：、二力平衡： 2 2、三力平衡：、三力平衡：任何兩力的合力為第三個(gè)力的平衡力任何兩力的合力為第三個(gè)力的平衡力 例一、如圖 1-3 所示，一個(gè)重力為mg的小環(huán)套在豎直的半徑為r的光滑大圓環(huán)上，一勁度系數(shù)為 k，自然長(zhǎng)度為 L（L2r）彈簧的一端固定在小環(huán)上，另一端固定在大圓環(huán)的最高點(diǎn) A。當(dāng)小環(huán)靜止時(shí)，略去彈簧的自重和小環(huán)與大圓環(huán)間的摩擦。求彈簧與豎直方向之間的夾角 ？ 例二、如圖所示，一個(gè)重量為 G 的物體，被懸掛后，要對(duì)物體施加一個(gè)大小一定的作用力 F（F小于 G） ，使物體在某一位置重新獲得平

22、衡，若不計(jì)懸線的質(zhì)量，求懸線與豎直方向的最大夾角？ 3 3、多力平衡、多力平衡：正：正交分解法交分解法 例三： 質(zhì)量為 m=5kg 的物體置于一粗糙的斜面上,用一平行于斜面的大小為 30N 的力 F 推物體,使物體沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng),斜面體的質(zhì)量 M=10Kg,且始終保持靜止,g=10m/s2,求地面對(duì)斜面體的摩擦力 f 和地面對(duì)斜面體的支持力 N . 無(wú) 練： 如圖所示,質(zhì)量為 m=1kg 的物體置于一斜面體的光滑斜面上,用一大小為 10N 的水平力 F 推物體,使物體和斜面一起沿水平面向右勻速運(yùn)動(dòng),斜面體的質(zhì)量 M=4kg,求: (1)斜面的傾角; (2)斜面體底面和水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù). 例四：質(zhì)量為m的物體置于動(dòng)摩擦因數(shù)為的水平面上，現(xiàn)對(duì)它施加一個(gè)拉力，使它做勻速直線運(yùn)動(dòng)，問(wèn)拉力與水平方向成多大夾角時(shí)這個(gè)力最??？ 專題一：平衡類問(wèn)題（專題一：平衡類問(wèn)題（） 2006.3.2 主講：陳益富 二、動(dòng)態(tài)收尾平衡問(wèn)題二、動(dòng)態(tài)收尾平衡問(wèn)題： 例：如圖所示，AB、CD 是兩根足夠長(zhǎng)的固定平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間距離為l，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為?？臻g有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為 B。在導(dǎo)軌的 A、C 端連接一個(gè)阻值為 R 的電阻。一根垂直于導(dǎo)軌放置的金屬棒ab，質(zhì)量為m，從靜止開始沿導(dǎo)軌下滑。求ab棒的最大