線性代數(shù)課件：3-4向量組的最大無關(guān)組與秩

1、3.4 向量組的最大無關(guān)組與秩向量組的最大無關(guān)組與秩 一、向量組的最大無關(guān)組與秩一、向量組的最大無關(guān)組與秩二、矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系二、矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系三、向量組秩的一些結(jié)論三、向量組秩的一些結(jié)論一、向量組的最大無關(guān)組與秩一、向量組的最大無關(guān)組與秩定義定義3.5 設(shè)向量組設(shè)向量組 A(含有有限個(gè)或者無窮多個(gè)向量含有有限個(gè)或者無窮多個(gè)向量) , 若在若在A中存在中存在 r 個(gè)向量個(gè)向量 1, 2, , r , 滿足：滿足：(1) 向量組向量組 A0 : 1, 2, , r 線性無關(guān)線性無關(guān),(2) 向量組向量組 A 中任意中任意 r+1 個(gè)向量個(gè)向量(若存在若存在 r+1 個(gè)向量個(gè)

2、向量的話的話)都線性相關(guān)都線性相關(guān), 則稱向量組則稱向量組 A0 是向量組是向量組 A 的一個(gè)的一個(gè)最大線性無關(guān)向最大線性無關(guān)向量組量組 (簡稱簡稱最大無關(guān)組最大無關(guān)組).定義定義3.6 向量組向量組 A的最大無關(guān)組所含向量的最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)稱為稱為向量組的向量組的秩秩, 記作記作 RA .向量組向量組 1, 2, , m 的秩也記作的秩也記作 R( 1, 2, , m ) . 幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明:1. 只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組.規(guī)定它的秩為規(guī)定它的秩為0.2. 含有含有m個(gè)非零向量的向量組的秩個(gè)非零向量的向量組的秩 R 滿足滿足 1 R m.3

3、. 向量組向量組 1, , m 線性無關(guān)線性無關(guān) R( 1, , m ) = m .4. 向量組向量組 1, , m 線性相關(guān)線性相關(guān) R( 1, , m ) m .最大無關(guān)組的一個(gè)等價(jià)定義最大無關(guān)組的一個(gè)等價(jià)定義:定理定理3.15 設(shè)向量組設(shè)向量組 A0 : 1, 2, , r 是向量組是向量組 A 的一的一個(gè)部分組個(gè)部分組,且滿足且滿足:(1) 向量組向量組 A0 線性無關(guān)線性無關(guān),(2) 向量組向量組 A 的任一向量都能由向量組的任一向量都能由向量組 A0線性表示線性表示, 則向量組則向量組 A0 是向量組是向量組 A 的一個(gè)最大無關(guān)組的一個(gè)最大無關(guān)組.證明證明 設(shè)設(shè) 1, 2, , r

4、+1 是組是組A中任意中任意r+1個(gè)個(gè)向量向量, 由由(2)可知這可知這r+1個(gè)個(gè)向量能由向量組向量能由向量組 A0線性表示線性表示, 從而有從而有: R( 1, 2, , r+1) R( 1, 2, , r ) =r所以所以 r+1個(gè)個(gè)向量向量 1, 2, , r+1 線性相關(guān)線性相關(guān), 故故向量組向量組 A0 是向量組是向量組 A 的一個(gè)最大無關(guān)組的一個(gè)最大無關(guān)組. 證證. 0,)(),( 21 rmDrrARaaaA階子式階子式并設(shè)并設(shè)，設(shè)設(shè)定理定理3.13 矩陣的秩等于它的列向量組的秩矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也等也等于它的行向量組的秩于它的行向量組的秩.；列線性無關(guān)列線性無關(guān)知其

5、所在的知其所在的由由 rDr0 .1,1個(gè)列向量都線性相關(guān)個(gè)列向量都線性相關(guān)中任意中任意知知階子式均為零階子式均為零中所有中所有又由又由 rArA, 向量的一個(gè)最大無關(guān)組向量的一個(gè)最大無關(guān)組的列的列所在的所在的因此因此ArDr是是列. r故列向量組的秩等于故列向量組的秩等于).(ARA的行向量組的秩也等于的行向量組的秩也等于類似可證類似可證二、矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系二、矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系即即: 利用矩陣的秩可以求向量組的秩利用矩陣的秩可以求向量組的秩.例例1 1 已知已知向量組向量組 1=(1, 2, 3, 4)T, 2=(2, 3, 4, 5)T, 3 =(3,4, 5, 8)T

6、, 4=(4, 5, 6, 7)T, 求求 1, 2, 3, 4 的的秩及秩及一個(gè)最大無關(guān)組一個(gè)最大無關(guān)組 解解A=( 1, 2, 3, 4) 7654854354324321r,0000200032104321 rank( 1, 2, 3, 4) = rank A= 3,且且 1, 2, 4 為向量組的一個(gè)為向量組的一個(gè)最大無關(guān)組最大無關(guān)組. .說明說明: 向量組的向量組的最大無關(guān)組一般不是唯一的最大無關(guān)組一般不是唯一的. .例例2 2 設(shè)矩陣設(shè)矩陣,1129513151133173113311 A求矩陣求矩陣 A 的列向量組的列向量組的的一個(gè)最大無關(guān)組一個(gè)最大無關(guān)組, 并把不屬并把不屬最大

7、無關(guān)組的列向量用該最大無關(guān)組線性表示最大無關(guān)組的列向量用該最大無關(guān)組線性表示. 解解記記 A=( 1, 2, 3, 4 , 5 5)r,00000210001121013311 1, 2, 4 為列向量組的一個(gè)為列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組最大無關(guān)組,r 00000210003021080101,2 213 且有且有.2384215 三、向量組秩的一些結(jié)論三、向量組秩的一些結(jié)論3.2的定理的定理3.6中中矩陣的秩矩陣的秩均可改為均可改為向量組的秩向量組的秩.定理定理3.14 向量組向量組 1, 2, , s 能由向量組能由向量組 1, 2, , m 線性表示的充分必要條件是線性表示的充分必要條件是

8、R( 1, 2, , m ) =R( 1, 2, , m, 1, 2, , s) .定理定理3.16 向量組向量組 A和它的最大無關(guān)組和它的最大無關(guān)組 A0 是等價(jià)的是等價(jià)的.證明證明 因?yàn)橄蛄拷M因?yàn)橄蛄拷M A0 是組是組A的一個(gè)部分組的一個(gè)部分組 ,故故 A0組總能由組總能由A組組 線性表示線性表示, 由由最大無關(guān)組最大無關(guān)組定義可知定義可知: 對于對于A 中任一向量中任一向量 , r+1個(gè)個(gè)向量向量 , 1, 2, , r 線性相關(guān)線性相關(guān),而而 1, 2, , r 線性無關(guān)線性無關(guān),可知可知 能由能由 1, 2, , r 線性表示線性表示,即即 A組能由組能由A0組線性表示組線性表示, 所以所以 A組和組和A0組等價(jià)組等價(jià). 在在3.中中, 我們在限制向量組只含有限個(gè)向量的條我們在限制向量組只含有限個(gè)向量的條件下得到定理件下得到定理3.5, 3.6, 3.7現(xiàn)在我們就可以利用向量組的最大無關(guān)組作過渡去現(xiàn)在我們就可以利用向量組的最大無關(guān)組作過渡去掉這個(gè)限制掉這個(gè)限制, 可將定理可將定理3.5, 3.6