數(shù)字邏輯：第二章 邏輯代數(shù)基礎

1、1第二章第二章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎22.1.1 2.1.1 三種基本運算三種基本運算 前面介紹了數(shù)字信號是離散信號，其變量只有兩種取值，故稱雙值變量。電路表示：高電位(UH)、低電位(UL)雙值代數(shù)表示：兩個符號“1”、“0”定義：邏輯代數(shù)L是一個封閉的代數(shù)系統(tǒng)，它由一個邏輯變量集K、常量0和1以及“邏輯乘(與)”、 “邏輯加(或)”、“邏輯反(非)”三種基本運算所構成，記為： L= K , + , , - , 0 , 1 一、邏輯代數(shù)的定義一、邏輯代數(shù)的定義3二、邏輯代數(shù)的三個基本運算二、邏輯代數(shù)的三個基本運算若定義開關閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈滅為0。1 1、與運算、與運算FE

2、 AB真值表 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A B F4即 Ff(A，B)AB=ABAB ABF曾用符號 A B&F國標符號ABF美國符號實現(xiàn)邏輯乘的邏輯電路稱為與門。與門的邏輯符號為：5若定義開關閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈滅為0。F 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 A B F真值表6或門的邏輯符號為：實現(xiàn)邏輯加的電路稱或門。即：Ff(A，B)ABAB ABF+曾用符號 1ABF國標符號ABF美國符號71 00 1A F真值表若定義開關閉合為1，斷開為0。燈亮為1，燈滅為0。8 1國標符號美國符號非門的邏輯符號為：完成邏輯反運算的電路稱非門。 曾

3、用符號函數(shù)式為：FA 。92.1.22.1.2邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等10二、邏輯函數(shù)的相等二、邏輯函數(shù)的相等112.1.3 2.1.3 邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法122.2.1 2.2.1 邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的基本定理00011101010100111010 012.2 2.2 邏輯代數(shù)的基本定理和規(guī)律邏輯代數(shù)的基本定理和規(guī)律11100013三、交換律三、交換律00 A11 AAAAAAA0 AA1 AAABBAABBAAA 1AA 014四、結合律四、結合律15六、摩根律六、摩根律BAABBABA證：用真值表法證明BAABABABBABABA1

4、6七、其他常用公式七、其他常用公式AABA吸收律：ABAA)(BABAA消去律：BABAA)(ABAAB其它：ABABA)()(冗余律添加律CAABBCCAAB)()()()()(CABACBCABA17)1 ()1 (BCACABBCAACAAB)(CAABHGEBCDCAAB)(BCHGEBCDCAAB)()(1 HGEDBCCAABBCAABCCAABCAABBCCAABCAABBCCAABCAAB182.2.2 2.2.2 重要規(guī)則重要規(guī)則任何一個含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。一、代入規(guī)則一、代入規(guī)則例：對摩根律BAAB令 代入式

5、中BCB CBABCABCA)(則：19以此推廣得到摩根律的一般形式: DCBAABCD DCBADCBA20二、反演規(guī)則二、反演規(guī)則使用反演規(guī)則時，應注意保持原函數(shù)式中的運算符號的優(yōu)先順序不變。另外不屬于單個變量上的反號應保持不變。即由),( CBAF求反函數(shù)),( CBAF+0 11 0+AAAA21)(EDCBAF)(EDCBAF例2：CBAF(直接去掉反號)CBAFCBACBACBAF)(其實反演規(guī)則就是摩根律的推廣。例3：)(CABBAF按反演規(guī)則可直接寫出：)(CABBAF22若用摩根律則先對原函數(shù)兩邊取非，得：)(CABBAF)(CABBA)(CABBA)(CABBA23三、對偶

6、規(guī)則三、對偶規(guī)則結論：1.若一個定理是正確的，則其對偶式也一定正確。2.若兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。3.(F)=F 由 F(A，B，C )求F(A，B，C ) 0 1 1 0+AAAA2425四、展開規(guī)則四、展開規(guī)則一個多變量函數(shù)F=f(X1,X2,Xn)，可以將其中任意一個變量，例如X1分離出來，并展開成：),(21nXXXfF12121122(0,)(1,)(0,)(1,)nnnnX fXXX fXXXfXXXfXX上述算式之正確性的驗證只要令X1=0或1分別代入便知。26例：試化簡下列函數(shù)：)(EADACAABAF)0)(1 (01 1)1)(0(10 0EDCBAEDCBA

7、F解：)0)(1 (01 10EDCBA)(EBA)1 (EDBA272.2.3 2.2.3 幾種導出幾種導出( (復合復合) )的運算的運算 FAB A B111 F A B F A BABFFAB A B1 F A B F A BABF28AABB C CDD F F +1 ABFCDAB CD F=AB+CD 1&129異或門的邏輯符號:=1AABBFFFAB曾用符號美國符號國標符號=1AABBFFFAB曾用符號美國符號國標符號同或門的邏輯符號:AF BBABA異或AF BBAAB同或30異或和同或的真值表如下:A B A B A B31A A=0 A A=11 A=A 0 A=

8、A(2) 0 A=A 1 A=A1 1=0 0 0=10 0=0 1 1=1(1) 1 0=0 1=1 0 1=1 0=0A A=1 A A=032A B=B A A B=B A(4) (4) 結合律結合律 A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C(5) (5) 分配律分配律 =ABC+ABC=A(B C)=左式證: 右式=ABAC+ABAC=AB(A+C)+AC(A+B)A(B C)=AB AC33若 A B=C 則 A C=B 或 B C=A 若 A B=C 則 A C=B 或 B C=A(6) (6) 因果互換律因果互換律=A+BC+BC=A+(B C)=左式 證:

9、右式=A+BA+C+(A+B)(A+C)=ABC+A+BC34 352.2.4 2.2.4 正邏輯與負邏輯正邏輯與負邏輯36正邏輯 負邏輯與門 或門或門 與門與非門 或非門或非門 與非門異或門 同或門同或門 異或門37ABF&1如：正邏輯與門F=AB，對應負邏輯的或門F=A+B。38例：正邏輯的與門等價負邏輯的或門0V 0V 0V 0 0 0 1 1 1 0V +3.6V 0V 0 1 0 1 0 1 +3.6V 0V 0V 1 0 0 0 1 1 +3.6V +3.6V +3.6V 1 1 1 0 0 0電平表 正邏輯 負邏輯輸入 輸出 真值表 真值表VA VB VF A B F A

10、 B F392.3.1 2.3.1 邏輯函數(shù)表達式的基本形式邏輯函數(shù)表達式的基本形式一、標準與或式一、標準與或式( (積之和積之和) )、最小項和式、最小項和式二、標準或與式二、標準或與式( (和之積和之積) )、最大項積式、最大項積式標準式的定義：n個變量組成的函數(shù)式，其中每個變量在函數(shù)式的每一項中都必須以原變量或反變量的形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。如:ABCCBACABCBAF),(如:)()(),(CBACBACBACBAF2.3.1 2.3.1 402.3.2 2.3.2 邏輯函數(shù)的標準形式邏輯函數(shù)的標準形式=)6 , 5 , 3 , 2(m6532mmmmCABCBABCACBACBAF)

11、,(41最小項的幾個性質最小項的幾個性質CBAm 5(3) ，即任意兩個不相同的最小項的乘積為0。0jimm)(ji 例：0),(52CBACBAmmCBAF421201niim(4) 所有最小項的和為1，即 。ABBABABAmmmmBAF3210),(1)()(AABBABBA(6) 任一個n變量的最小項，都有n個相鄰的最小項。43)()(),(CBACBACBACBAF)4 , 2 , 0(M042MMM44最大項的性質(1) 在輸入變量的任何取值下，必有一個，且僅有一個最大項的值為0。如三變量ABC101，則：0)(CBA(2) ，即任意兩個最大項之和為1。1jiMM)(ji 0)(A

12、ABABAAABBAA)()()(),(BABABABABAF例：1200niiM45(4) 只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和，即消去一個變量。例:BABCACCBBABCAABACBACBA)(5) ，即相同編號的最大項與最小項互為反函數(shù)。 iimM 例:CBAm0CBACBAmM0046A B C 最小項 編號 最大項 編號1 1 1 m7 M71 1 0 m6 M61 0 1 m5 M5 1 0 0 m4 M40 1 1 m3 M30 1 0 m2 M20 0 1 m1 M10 0 0 m0 M0CBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBA

13、CBACBACBACBA472.3.3 2.3.3 邏輯函數(shù)表達式的轉換邏輯函數(shù)表達式的轉換第一步：將函數(shù)式變換成一般“與或”表達式用代數(shù)法求一個函數(shù)的“最小項之和”的形式：一、代數(shù)轉換法一、代數(shù)轉換法第二步：反復使用 ，將表達式中所有非最小項的“與項”擴展成最小項。)(BBAA48用代數(shù)法求一個函數(shù)的“最大項之積”的形式：第二步：反復利用 把表達式中非最大項的“或項”擴展成最大項。)(BABAA49(2)變換為標準積之和ABCBBACBAF)(),(ABCBBAABCBBACBAF)()(),(ABBCCABA)()()()(CCABAABCBBCACCBAFABCCABBCACBACBA解

14、：(1)將表達式變換成“與或”表達式76310mmmmm)7 , 6 , 3 , 1 , 0(m50解：(1)將表達式變換成“或與”表達式例2：將 變換成最大項之積。CBCAABCBAF),(CBCAABCBCAABCBAF),(CBCABA)()()(CCABABCABAF)()(CBACBABA)()()(CCACBABCABBA51)()()(CBACBACBACBAF)()(CBACBACBA)7 , 6 , 3(763MMMM52例1：將 表示成最小項之和。CBBACBAF),(二、真值表轉換法二、真值表轉換法)6 , 5 , 4 , 2(),(mCABCBACBACBACBAF53

15、例2：將例1的式子表示成最大項之積。)7 , 3 , 1 , 0()()(),(MCBACBACBACBACBAFCBBACBAF),(542.4.1 2.4.1 公式法化簡公式法化簡2.4 2.4 邏輯函數(shù)的化簡邏輯函數(shù)的化簡55ABAABBACBACBAACBACAB例2：BAFEBCDABA)(3、消去法：利用定理 BABAA2、吸收法：利用定理 AABA例3：DCACADCCADCA564、配項法，利用 及 AA11 AABACBCBBA例4：CDABAACDBACBAF),(CBABCACBACBACBBABACCCBAACBBA)()(CACBBA)()(CDBACDBACDB)(

16、),(DCABABDCABABDCBAF)(1 DCDCABAB57EDCBEEADCBADCBAF),(DEBADBCACBADCDBCBACF)(EDCBAEDCBA)(EDCBAEDCBABAEDCBADEBACBADCDBCBACDEBAADCDBCBACDCDBCBADBCBA58二、或與式化簡二、或與式化簡例1:)()()(DCACBBABAFACDBCBAABF對于或與式的化簡，可以直接用公理、定理進行化簡，也可以先用對偶規(guī)則把F的或與式轉換成F的與或式，化簡得到F的最簡與或式后，再用對偶規(guī)則把F轉換成F的最簡或與式。ACDBCABCA)()(CBAFF59例2:)()()(CA

17、CBBABAFCABCBABAFCBABAFF)()(CABBABA)(CBABABACBABA602.4.2 2.4.2 卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法F1AB0011m0m1m2m3F2ABC0110110100m0m1m2m3m4m5m6m761ABCDF30001000110101111m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m1562BCDEF40001 111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15BCDEF40001 111000011110m16m17m18m19m20m21m22m23m24m25m

18、26m27m28m29m30m31A=0A=163圖形兩側標注的“0”和“1”表示使對應小方格內(nèi)最小項為1時的變量取值(1為原變量,0為反變量)。64（2）按（1）將卡諾圖中所有的“1”格圈完。在卡諾圖中，變量取值為0的是反變量，變量取值為1的是原變量。（3）將所得到的乘積項相加，得到函數(shù)的最簡與或式。65660011ABF11110011ABF211BAF1BABAF2ABBABA670001101101BCAF3111111CBCABAF3BACACB680001101101BCAF3111111BACBCAF3CACBBA690001101101BCAF411111ABBCACCBAF4

19、CBABCACAB700001101101BCAF51111CF 5C710001101101BCAF6111111CAF6AC720001101101BCAF711111111F7CAABCCDACBAF8CBACDAABCDCA7411111111DCBDF9BDDC7511111111DBBDF10BDDB761111111111DCBCADBAF11BAADBCDC7711111111DBDBF12DBDB78在卡諾圖中，圈“1”可以得到邏輯函數(shù)的最簡與或表達式，而圈“0”可以得到邏輯函數(shù)的最簡或與表達式。注意：用卡諾圖求最簡與或表達式時，原變量為1，反變量為

20、0；而用卡諾圖求最簡或與表達式時，原變量為0，反變量為1。7911111111)()()(13CBADCADCACBAFCBADCADCACBA8011111111)(14DBDBFDBDB811111111111)()(15DCBDBACAFCADBADCB821、把與或式化成標準與或式填入卡諾圖例1BCAACABFBCABBACCCAB)()(BCACBACABABC)7 , 6 , 5 , 3(7653mmmmm0100101101BCAF1111化簡后： F=AC+AB+BCACBCAB83CDBDCBACABDCBFABCD00FCBACDCBFCBCDCBA843、化簡為或與式)(

21、DCBAFDC BA854、利用禁止邏輯化簡邏輯函數(shù)0001101101BCAF111CBACCBACBCACmCF)(3即任何邏輯函數(shù)邏輯加上不屬于它的最小項后再乘上不屬于這個最小項之非，其邏輯功能不變。禁止項86以上圖為例，則：0001101101BCAF111禁止項75137513375133)()()(mmmmmmmmmmmmmmFF87事實上，禁止邏輯也可由幾個最小項組成，例如可將函數(shù)F寫成 ，只要mi和mj都不屬于原函數(shù)F即可。這種利用禁止項化簡邏輯函數(shù)的方法，稱為禁止法或阻塞法，寫出的表達式叫做禁止邏輯式。jijimmmmF)(例1：試用禁止法化簡下列邏輯函數(shù)：CBAACDDBADABDCBAF),(88DCABADABCBF)(1111111CBABAD89例2:試用禁止法化簡下列邏輯函數(shù))14,13,11,10, 7 , 4 , 1 , 0(),(mDCBAF)(ABCDDCBABDACCAFABCDF000001011010111111111111禁止項CAACBD90)(ABCDDCBABDACCAFBDACCABDACCA)( )()(BD