微積分課件：9-5 函數(shù)的泰勒級數(shù)

1、一、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)三、小結(jié)三、小結(jié) 第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的泰勒級數(shù)函數(shù)的泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數(shù)在其收斂存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)為和函數(shù)問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?證明證明即即內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010定定理理 1 1

2、如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在),(0 xU內(nèi)內(nèi)具具有有任任意意階階導導數(shù)數(shù), , 且且在在),(0 xU內(nèi)內(nèi)能能展展開開成成)(0 xx 的的冪冪級級數(shù)數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 則則其其系系數(shù)數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且且展展開開式式是是唯唯一一的的. . )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann系數(shù)是唯一的系數(shù)是唯一的,.)(的展開式是唯一的的展開式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項求導任意次逐項求導任意次,得得

3、如如果果)(xf在在點點0 x處處任任意意階階可可導導, ,則則冪冪級級數(shù)數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱稱為為)(xf在在0 xx 處處的的泰泰勒勒級級數(shù)數(shù). . nnnxnf 0)(!)0(稱稱為為)(xf的的麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù). . 問題問題nnnxxnxfxf)(!)()(000)(? 定義定義泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.定定理理 2 2 )(xf在在點點0 x的的泰泰勒勒級級數(shù)數(shù), ,在在),(0 xU內(nèi)內(nèi)收收 斂斂于于)(xf在在),(0 xU內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. . 證明證明必要性必要性)()(!)()

4、(000)(xRxxixfxfninii ),()()(xsxfxRnn ,)(能展開為泰勒級數(shù)能展開為泰勒級數(shù)設(shè)設(shè)xf)()(limxfxsnn )(limxRnn)()(limxsxfnn ;0 充分性充分性),()()(xRxsxfnn )()(limxsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(limxfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級數(shù)收斂于的泰勒級數(shù)收斂于定理定理 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在)(0 xU上有定義上有定義, ,0 M, ,對對),(00RxRxx , ,恒有恒有 Mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,則則)(xf在在),(00RxRx 內(nèi)可

5、展內(nèi)可展開成點開成點0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù). .證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收斂收斂在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故.0的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù)可展成點可展成點x),(00RxRxx 二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收例例1解解.)

6、(展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù)將將xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn!1!)0()(nnfann , 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!

7、12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x常用函數(shù)的關(guān)于常用函數(shù)的關(guān)于x的冪級數(shù)展開的冪級數(shù)展開n nx xn0n0 x x(1) e;(x)(1) e;(x)n!n! n 1n 1n nn0n0 x x(4) ln(1x)( 1);( 1x1)(4) ln(1x)( 1);( 1x1)n1n1 2n 12n 1n nn0n0 x x(2)sin x( 1);(x)(2)sin x( 1);(x)(2n1)!(2n1)! 2n2nn nn0n0 x x(3)cos x( 1);(x)(3)cos x( 1);(x)(2n)!(2n)! n nn0n01 1特特別別x

8、;( 1x1)x ;( 1x1)1x1x n nn0n0 ( (1)(1)(2)(2)(n1)n1)(5)(1x)x ;(5)(1x)x ;n!n!( 1x1)( 1x1) 210(6)arctan( 1) 1,121nnnxxxn 2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積分逐項積分等方等方法法,求展開式求展開式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxx

9、xxxnn 2 2例例3 3 : : 將將下下列列函函數(shù)數(shù)展展開開成成x x的的冪冪級級數(shù)數(shù)( (1 1) )f f( (x x) )s si in n x x x0ydyef(x) )3(22 2(4) f(x)ln(1x2x )(4) f(x)ln(1x2x )例例421( )43f xxxx 將將展展開開成成 的的冪冪級級數(shù)數(shù)1x(2) f(x)arctan1-x 例例5處展開成泰勒級數(shù)處展開成泰勒級數(shù)在在將將141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x展開

10、成展開成 的冪級數(shù)的冪級數(shù)0 xx 0 0 xxtxxtxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n x6 f(x)x-12x 例例將將展展開開成成的的冪冪級級數(shù)數(shù)利用冪級數(shù)展開式求常數(shù)項級數(shù)的和利用冪級數(shù)展開式求常數(shù)項級數(shù)的和 n n0 0例例7 7 求求下下列列級級數(shù)數(shù)的的和和( (n n1 1) ) n n ! !四、小結(jié)四、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級數(shù)如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法.

11、思考題思考題什么叫冪級數(shù)的間接展開法？什么叫冪級數(shù)的間接展開法？思考題解答思考題解答 從已知的展開式出發(fā)從已知的展開式出發(fā), 通過變量代換、四則運通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項積分等辦法算或逐項求導、逐項積分等辦法,求出給定函數(shù)求出給定函數(shù)展開式的方法稱之展開式的方法稱之.一一、 將將下下列列函函數(shù)數(shù)展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù), ,并并求求展展開開式式成成立立的的區(qū)區(qū)間間: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 將將函函數(shù)數(shù)3)(xxf 展展開開成成)1( x的的冪冪級級數(shù)數(shù), ,并并求求展展開開式式成成立立的的區(qū)區(qū)間間 . .三三、 將將 函函 數(shù)數(shù)231)(2 xxxf展展 開開 成成)4( x的的 冪冪 級級數(shù)數(shù) . .四四、 將將級級數(shù)數(shù) 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函數(shù)數(shù)展展開開成成)1( x的的冪冪級級數(shù)數(shù) . .練練 習習 題題練習題答案練習題答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122