高等數(shù)學(xué)：8-3 全 微 分

1、1全微分的定義全微分的定義可微的條件可微的條件小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)total differentiation第三節(jié)第三節(jié) 全全 微微 分分第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用2函數(shù)的變化情況函數(shù)的變化情況.偏導(dǎo)數(shù)討論的只是某一自變量變化時(shí)偏導(dǎo)數(shù)討論的只是某一自變量變化時(shí)函數(shù)的變化率函數(shù)的變化率.現(xiàn)在來討論當(dāng)各個(gè)自變量同時(shí)變化時(shí)現(xiàn)在來討論當(dāng)各個(gè)自變量同時(shí)變化時(shí)全全 微微 分分3先來介紹先來介紹全增量全增量的概念的概念),(yxfz 設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù),時(shí)時(shí)、增增量量yx ),(),(yxfyyxxfz 的的在點(diǎn)在點(diǎn)稱為稱為),(),(yxyxf為了引進(jìn)全微分的

2、定義為了引進(jìn)全微分的定義,全增量全增量. .處分別有處分別有在點(diǎn)在點(diǎn)、當(dāng)變量當(dāng)變量),(yxyx域內(nèi)有定義域內(nèi)有定義,函數(shù)取得的增量函數(shù)取得的增量全增量全增量. .全全 微微 分分一、全微分的定義一、全微分的定義( , )P x y在點(diǎn)的某鄰4全微分的定義全微分的定義的的全全增增量量在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz ),( oyBxAz ,有有關(guān)關(guān)、僅僅與與、其其中中yxBA,)()(22yx yBxA , yx 、( , )( , )zf x yx y在點(diǎn)處處的處的全微分全微分. .全全 微微 分分可表示為可表示為),(yxfz 可微分可微分, ,在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx則稱則稱稱

3、為函數(shù)稱為函數(shù)記作記作,dz即即.dyBxAz 函數(shù)若在某平面區(qū)域函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時(shí)內(nèi)處處可微時(shí), 則稱則稱可微函數(shù)可微函數(shù). .這函數(shù)在這函數(shù)在D內(nèi)的內(nèi)的而不依賴于而不依賴于(,)( , )zf xx yyf x y 5 可微與偏導(dǎo)數(shù)存在有何關(guān)系呢？可微與偏導(dǎo)數(shù)存在有何關(guān)系呢？微分系數(shù)微分系數(shù)注注yxz 與與是是d. 1 之差是比之差是比與與 zzd. 2yBxAz d全微分全微分有類似一元函數(shù)微分的有類似一元函數(shù)微分的)( oyBxAz A=? B=?兩個(gè)性質(zhì)兩個(gè)性質(zhì): :全全 微微 分分全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).的的線性函

4、數(shù)線性函數(shù);高階無窮小高階無窮小. .61. 可微分的必要條件可微分的必要條件由下面的定理來回答：由下面的定理來回答：.dyyzxxzz ( 可微必可導(dǎo)可微必可導(dǎo)).定理定理1 1( (可微必要條件可微必要條件) )如果函數(shù)如果函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxfz 的的則該函數(shù)在點(diǎn)則該函數(shù)在點(diǎn)),(yx可微分可微分,),(yx,必存在必存在且函數(shù)且函數(shù)),(yxfz ),(yx在點(diǎn)在點(diǎn)的全微分為的全微分為yzxz 、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)全全 微微 分分二、可微的條件二、可微的條件7證證)( oyBxAz 總成立總成立,),()0,(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0

5、xz同理可得同理可得.yzB 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 y上式仍成立上式仍成立, 此時(shí)此時(shí)|,|x PyyxxP ),(的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域如果函數(shù)如果函數(shù)),(),(yxPyxfz在點(diǎn)在點(diǎn) 可微分可微分,全全 微微 分分yyzxxzz d),(),(yxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù) 則則該該函函數(shù)數(shù)可微分可微分,),(yxfz 且函數(shù)且函數(shù),必存在必存在、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)yzxz 的的在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的全全微微分分為為在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx8都不能保證都不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). 多元函數(shù)多元函數(shù)在某點(diǎn)在某點(diǎn)可微可微是否保證是否保證 事實(shí)上事實(shí)上,)( oyBxAz 顯然顯然,答答:由全微

6、分的定義有由全微分的定義有可得可得 z0lim 0 多元函數(shù)可微必連續(xù)多元函數(shù)可微必連續(xù) 連續(xù)的定義連續(xù)的定義不連續(xù)不連續(xù)的函數(shù)的函數(shù)上一節(jié)指出上一節(jié)指出, 多元函數(shù)多元函數(shù)在某點(diǎn)各個(gè)在某點(diǎn)各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)即使都即使都存在存在,函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)如果函數(shù)如果函數(shù)),(),(yxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn) 可微分可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). )(lim0 oyBxA 一定是一定是不可微不可微的的.全全 微微 分分9多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在如，如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf下面舉例說明下面舉例說明二元函數(shù)可微一定存在兩

7、個(gè)偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)可微一定存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在回憶回憶:一元函數(shù)的可導(dǎo)與可微的關(guān)系一元函數(shù)的可導(dǎo)與可微的關(guān)系?但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也不一定可微但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也不一定可微.(由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得)0)0 , 0()0 , 0( yxff由定理由定理1知知,)0 , 0(處有處有在點(diǎn)在點(diǎn)全全 微微 分分10)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 則則22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx 處有處有在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(說明它不能隨

8、著說明它不能隨著0 而趨于而趨于0,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 因此因此,.)0 , 0(處不可微處不可微函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)如果考慮點(diǎn)如果考慮點(diǎn)),(yxP 沿直線沿直線xy 趨近于趨近于),0 , 0(全全 微微 分分),( o .000),(222222 yxyxyxxyyxf11說明說明 各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件的必要條件而不是充分條件. 這也是這也是一元函數(shù)一元函數(shù)推廣到推廣到多元函數(shù)多元函數(shù)出現(xiàn)的又出現(xiàn)的又函數(shù)是函數(shù)是可微分可微分的的. 多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在全微分存在.一個(gè)原則一個(gè)原則區(qū)別區(qū)別.現(xiàn)

9、再假定函數(shù)的現(xiàn)再假定函數(shù)的則可證明則可證明全全 微微 分分各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),12),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf 2. 可微分的充分條件可微分的充分條件 證證),(),(yxfyyxf 在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在的意思的意思.定理定理2 2的的如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz ,),(連續(xù)連續(xù)在在、yxyzxz .可微分可微分(今后常這樣理解今后常這樣理解).用拉氏定理用拉氏定理(微分充分條件微分充分條件)假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)連續(xù)連續(xù), 就含有就含有偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(yx則該函數(shù)在點(diǎn)則該函數(shù)在點(diǎn)全全 微微 分分偏

10、導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)13),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 xxyxfx 1),( 11),(),(.),(),( yxfyyxxfyxyxfxxx令令連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)由由)0, 0(01 yx 其其中中全全 微微 分分14xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z yx21 , 00 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處可微處可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 全全 微微 分分xyxfx ),(x 1 yyxfy ),(y 2 21 , 0,02 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) y),(),(yyxfxyxfzyx yx21 15在原點(diǎn)在原

11、點(diǎn)(0,0)可微可微.yzxz ,并非必要條件并非必要條件.如如 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函數(shù)函數(shù)xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 xxxx 220)(1sin)(lim事實(shí)上事實(shí)上,注注 定理定理2的條件的條件 (即兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)即兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)連續(xù))可微的充分可微的充分0 全全 微微 分分),(yx僅是函數(shù)僅是函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx),(yxfz 條件條件,同樣同樣, 0)0 , 0( yf16)0 , 0()0 ,0(fyxfz 2222)()(1sin)()(yxyx 0lim )()(22yx 全全 微微

12、 分分在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)可微可微. 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函數(shù)函數(shù)0)0 , 0( yf0)0 , 0( xf201sinlim z 0 0)0 , 0()0 , 0(yfxfyx 于是于是,)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx )( o17即函數(shù)即函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)可微可微. 但是但是, yfxfzyx)0 , 0()0 , 0(d事實(shí)上事實(shí)上,2222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函數(shù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)(0,0)

13、不連續(xù)不連續(xù).全全 微微 分分 所以所以,0)0 , 0( yf0)0 , 0( xf特別是特別是 ),(lim0 xxfxx 不存在不存在.即即fx(x,y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù)不連續(xù).極限極限,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xy )21cos121sin2(lim220 xxxxx fy(x,y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)也不連續(xù)也不連續(xù).同理可證同理可證,022時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx函數(shù)在一點(diǎn)可微函數(shù)在一點(diǎn)可微,此題說明此題說明:在這點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)在這點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).0 ()0 ()xy 18記全微分為記全微分為.dddyyzxxzz .ddddzzuyyuxxuu 通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微

14、分通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和之和疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.一元函數(shù)的許多微分性質(zhì)一元函數(shù)的許多微分性質(zhì),(一階一階)全微分形式的不變性全微分形式的不變性.同樣有同樣有:習(xí)慣上習(xí)慣上,稱為二元函數(shù)的微分符合稱為二元函數(shù)的微分符合這里仍適用這里仍適用.全全 微微 分分),(zyxfu 如三元函數(shù)如三元函數(shù)則則19解解,2xyyexxz ,xyxeyz yyzxxzzyxyxddd2121 全全 微微 分分例例 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)xyexz 2在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(的全微分的全微分.所以所以.d)d1(222yexe 20解解),2sin(

15、yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz yyzxxzzddd),4(),4(),4( ).74(82 ,4),2cos( yxyxyz當(dāng)當(dāng)求函數(shù)求函數(shù)例例.d,4d時(shí)的全微分時(shí)的全微分 yx全全 微微 分分21答案答案.的全微分的全微分求求zyxu ud全全 微微 分分yyxyzzd xyxyzzd1 zyxyxzdln 22全全 微微 分分解解例例,322yxyxz 設(shè)設(shè),96. 23,05. 22變到變到從從變到變到從從yx試比較試比較zzd與與 的值的值. . z)96. 2(96. 205. 23)05. 2(22 3323222 zd)04. 0(005. 013 .

16、65. 0 05. 0)3, 2(xz)04. 0()3, 2( yz,6449. 0 23全全 微微 分分解解例例 計(jì)算計(jì)算02. 2)04. 1(的近似值的近似值. ),(yxfz設(shè)設(shè)利用函數(shù)利用函數(shù)yxyxf ),(在點(diǎn)在點(diǎn) ),(00yx處的可微性處的可微性, 可得可得 02. 2)04. 1( )02. 2,04. 1(f )2, 1(f02. 0004. 021 .08. 1 ,yx)2, 1(04. 0 x02. 0 yzf )2, 1( )2, 1(fzdyfxfyx )2, 1()2, 1(24全全 微微 分分 2002年考研數(shù)學(xué)一年考研數(shù)學(xué)一, 3分分考慮二元函數(shù)考慮二元函

17、數(shù) f (x, y)的下面的下面4條性質(zhì)條性質(zhì): 選擇題選擇題 f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處連續(xù)處連續(xù), f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處可微處可微,f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.若用若用“”QP 表示可由性質(zhì)表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)推出性質(zhì)Q,則有則有(A) . (B) . (C) . (D) . 25下下列列處處可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù),),(),(yxyxfz 上海交大考題上海交大考題(95級(jí)級(jí)),(),(),(),()

18、(yxfyxfyxyxfByx處處兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)),(),(),(),()(yxfyxfyxyxfDyx處處兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)連續(xù).D全全 微微 分分結(jié)論結(jié)論不正確不正確的是的是( ).都存在都存在,( )( , )( , ),A f x yx y在點(diǎn)處連續(xù)( )( , )( , ),C f x yx y在點(diǎn)某鄰域內(nèi)有界26上海交大考題上海交大考題(98級(jí)級(jí)) )0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(222yxyxyxyxyxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)).()0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)在在,)(極極限限不不存存在在A,)(不不連連續(xù)續(xù)B,)(可可微微分分C.)0 , 0(),0

19、, 0(.存存在在yxffDD全全 微微 分分27上海交大考題上海交大考題(93級(jí)級(jí))(d),3(2 zyxfz則全微分則全微分設(shè)設(shè))d3d6)(3(22yxxxyyxf 上海交大考題上海交大考題(96級(jí)級(jí))(d, uxyuz則則設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zyxyyxzyxyzzzdlndd1 全全 微微 分分28上海交大考題上海交大考題(97級(jí)級(jí))是非題是非題, 0)0 , 0(, 0)0 , 0(, |),( yxffxyyxf則則可可得得設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù).)0 , 0(),(的的全全微微分分是是零零在在點(diǎn)點(diǎn)從從而而yxf(非非)事實(shí)上事實(shí)上,由由偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義可可求求得得設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù), | xyz

20、在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(處處有有, 0)0 , 0(, 0)0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx |yx yx 0lim22200)()()(limxxxxyx |2|lim0 xxx 021 全全 微微 分分29全微分的定義全微分的定義全微分的計(jì)算全微分的計(jì)算多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系(注意：與一元函數(shù)有很大的區(qū)別注意：與一元函數(shù)有很大的區(qū)別)全全 微微 分分三、小結(jié)三、小結(jié)可微分的必要條件、可微分的必要條件、 可微分的充分條件可微分的充分條件30 對(duì)對(duì)一元函數(shù)一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微間的關(guān)系：的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微間的關(guān)系：可微可微 可導(dǎo)可導(dǎo) 連續(xù)連續(xù) 有極限有極限 對(duì)對(duì)多元函數(shù)多元函數(shù)的極