經(jīng)典力學(xué)：習(xí)題課1－質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)

1、力學(xué)力學(xué)習(xí)題課習(xí)題課一、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)一、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)例例1 1 路燈離地面高度為路燈離地面高度為H H，一個身高，一個身高h(yuǎn) h的人，在燈下水的人，在燈下水平路面上以勻速步行，步行速度值為平路面上以勻速步行，步行速度值為v v0 0H0h人x解：建坐標(biāo)如圖。任意解：建坐標(biāo)如圖。任意時刻影子長為時刻影子長為l，影子移，影子移動的速度為動的速度為xol求：當(dāng)人與燈距離為求：當(dāng)人與燈距離為 x x人人時時,頭頂在地面的影子移動的頭頂在地面的影子移動的速度速度v。dxvdt影()dxldt人0dxdldlvdtdtdt人H0人xxol由圖可得由圖可得Hhxll人hxlH h人0dlhvdtHh00hvvv

2、Hh0HvHh則則例例2 2 如圖所示，橢圓規(guī)的如圖所示，橢圓規(guī)的ABAB桿上桿上A A、B B兩點(diǎn)分別沿兩點(diǎn)分別沿oyoy槽、槽、oxox槽移動，且槽移動，且A A點(diǎn)以勻速點(diǎn)以勻速v v0 0運(yùn)動。試求桿上運(yùn)動。試求桿上C C點(diǎn)的運(yùn)動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，速度和加速度。軌跡，速度和加速度。【解解】(1)(1)求軌跡。設(shè)求軌跡。設(shè)t t時刻時刻ABAB桿與桿與x x軸的夾角為軸的夾角為 ，則，則C C點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為在以上兩式中消去在以上兩式中消去 得得C C點(diǎn)軌跡為橢圓點(diǎn)軌跡為橢圓12122c osc os() c os,sinccxllllyl (1)(1)22221221()ccxylll (2

3、)(2)（2 2）求速度和加速度）求速度和加速度C C點(diǎn)得速度分量為點(diǎn)得速度分量為122()(sin)cosCC xCC ydxdvlldtdtdydvldtdt (3)(3)110,sin,0,cosAAA xA yxyldvvldt (4)(4)按題意按題意 v vA Av v0 0，由，由(4)(4)式得式得代入代入 (3)(3)式得式得C C點(diǎn)的速率點(diǎn)的速率01cosvddtl (5)(5)12120011201() sin()tan,cosC xC yllllvvvlllvvl (6)(6)2222220121() tan CCxCxvvvvllll (7)(7)將將(3)(3)式對

4、時間求導(dǎo)，得式對時間求導(dǎo)，得C C點(diǎn)的加速度點(diǎn)的加速度由于桿的由于桿的A A端作勻速直線運(yùn)動，端作勻速直線運(yùn)動，a aA A0 0 或或 a aAyAy0 0，而，而221212222222()cos()sinsincosCxCxCyCydvddalllldtdtdtdvddalldtdtdt (8)(8)22112sincos0AyAydvddalldxdtdt (9)(9)由此得由此得222212tan()0c s,o,CxCydddtdtlldaadt (10)(10)(11)(11)222122120231()()()cos()1cosCCxCylldaaadtllvl (12)(12

5、)對（對（6 6）式可直接求導(dǎo)得到以上結(jié)果）式可直接求導(dǎo)得到以上結(jié)果題題1.3 1.3 以速度以速度V V和地平面成和地平面成角發(fā)射一火箭，角發(fā)射一火箭，在驅(qū)動力、空氣阻力、重力三者作用下使火箭在驅(qū)動力、空氣阻力、重力三者作用下使火箭作恒定速率的曲線運(yùn)動。已知驅(qū)動力和空氣阻作恒定速率的曲線運(yùn)動。已知驅(qū)動力和空氣阻力所產(chǎn)生的加速度僅有切向分量。求火箭的運(yùn)力所產(chǎn)生的加速度僅有切向分量。求火箭的運(yùn)動軌跡。動軌跡。xogav0v0ydydxds題題1.3圖圖【解解】設(shè)驅(qū)動力與阻力所產(chǎn)生的加速度為設(shè)驅(qū)動力與阻力所產(chǎn)生的加速度為a，火箭的，火箭的加速度為加速度為aag其切向分量和法向分量分別為其切向分量和

6、法向分量分別為sin,cosnaagag 因?yàn)榛鸺乃俾屎愣?，故有因?yàn)榛鸺乃俾屎愣ǎ视?dvadt（1）即有即有2sin0,cosnvaagag（2）式中式中是火箭所在處的曲率半徑。是火箭所在處的曲率半徑。,co s1co sd sd xdd sddd sd xd s d x 代入（代入（2）式得）式得2dgdxv （3）將（將（3）式積分，考慮初始條件，當(dāng)）式積分，考慮初始條件，當(dāng)t0時，時，x0， 0。可得?？傻?2gxv 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?2tan,tan()dydygxdxdxv （4）對上式兩邊積分，并考慮當(dāng)對上式兩邊積分，并考慮當(dāng) x 0時時 y0，可得，可得2002coslnco

7、s()vygxgv 題題1.4 一氣球以一氣球以v0速率自地面開始上升，由于速率自地面開始上升，由于風(fēng)的影響，氣球的水平速度以風(fēng)的影響，氣球的水平速度以vx=by的規(guī)律變的規(guī)律變化，其中化，其中b為常量，為常量，y是氣球離地面的高度（是氣球離地面的高度（x軸取地平面向右的方向）軸取地平面向右的方向） 。試求。試求（1）氣球的運(yùn)動軌跡方程）氣球的運(yùn)動軌跡方程（2）氣球沿運(yùn)動軌跡的切向加速度和曲率半）氣球沿運(yùn)動軌跡的切向加速度和曲率半徑與徑與y的關(guān)系的關(guān)系xyo氣球氣球題題1.4圖圖【解解】（1）取直角坐標(biāo)系）取直角坐標(biāo)系oxy。設(shè)。設(shè)t0時，氣球位時，氣球位于地面坐標(biāo)原點(diǎn)處。于地面坐標(biāo)原點(diǎn)處。

8、已知已知 vy= v0 , vx = by 即有即有 y = v0t (1) 00 xdxvbybv tdxbv tdtdt則則由由積分可得積分可得202bvxt(2)氣球的運(yùn)動方程氣球的運(yùn)動方程2002bvrt iv tj(3)消去消去t可得軌跡方程可得軌跡方程20y2bxv(4)（2）氣球的速率）氣球的速率2222222000()xyvvvbv tvb yv加速度加速度(5)22002222201b v tb v ydvadtb tb yv(6)222xyaaa222000 xxydvabvaab vdt,22naaa 切向加速度切向加速度(7)法向加速度法向加速度得到得到20222023

9、2222020()nnbvab yvbvb yvva (8)(9)題題1.5 一細(xì)桿繞一細(xì)桿繞o端點(diǎn)在平面內(nèi)以勻角速旋轉(zhuǎn)，端點(diǎn)在平面內(nèi)以勻角速旋轉(zhuǎn)，角速度為角速度為。在桿上套有一小環(huán)（可看作質(zhì)點(diǎn)）。在桿上套有一小環(huán)（可看作質(zhì)點(diǎn)）相對于桿作勻速運(yùn)動，速率為相對于桿作勻速運(yùn)動，速率為u。時間。時間t0時小時小環(huán)位于端點(diǎn)環(huán)位于端點(diǎn)o處。求小環(huán)的運(yùn)動軌跡及在任意時處。求小環(huán)的運(yùn)動軌跡及在任意時刻小環(huán)的速度和加速度?？绦…h(huán)的速度和加速度?！窘饨狻咳∑矫鏄O坐標(biāo)系。設(shè)取平面極坐標(biāo)系。設(shè)t0時，桿與極軸重合。時，桿與極軸重合。任意任意t時刻時刻urt 消去消去t小環(huán)的軌跡是阿基米德螺旋線小環(huán)的軌跡是阿基米德螺

10、旋線徑向速度徑向速度rvru橫向速度橫向速度22222 2()1rvvvuu tut 速率速率,rutt =vrru t 小環(huán)的加速度小環(huán)的加速度200()(2)dvarrrrrdt 2000,02rarrr 222 24raaaut 徑向加速度徑向加速度橫向加速度橫向加速度加速度加速度220,0rartru 22aru 題題1.5圖圖題題1.6 一條筆直的河流，寬為一條筆直的河流，寬為d，河水以恒定，河水以恒定速度速度u流動。小船從河岸流動。小船從河岸A點(diǎn)出發(fā)，為了到達(dá)對點(diǎn)出發(fā)，為了到達(dá)對岸的岸的O點(diǎn)，它相對于河水以勻速率點(diǎn)，它相對于河水以勻速率v（vu）運(yùn)）運(yùn)動，無論在何處，小船的運(yùn)動方向

11、始終指向動，無論在何處，小船的運(yùn)動方向始終指向O點(diǎn)。已知點(diǎn)。已知AO= r0，AOP=0。求小船的運(yùn)動。求小船的運(yùn)動軌跡。若軌跡。若O點(diǎn)剛好在點(diǎn)剛好在A點(diǎn)的正對面（即點(diǎn)的正對面（即AO=d）結(jié)果又如何？結(jié)果又如何？題題1.6圖圖 【解解】取平面極坐標(biāo)系。極點(diǎn)與取平面極坐標(biāo)系。極點(diǎn)與O重合，極軸與河岸重合，極軸與河岸OP重合。小船的位置由重合。小船的位置由r、確定。確定。徑向速度與橫向速度分別為徑向速度與橫向速度分別為rcos ,sindrdvvuvrudtdt 兩式相除得兩式相除得sincosdrdudtrdrdrvudt 分離變量分離變量0000000()sinln(ln tanln tan

12、)(lnsinltansin2lnsintansin)n222rvrudrvctgdrurvru 積分積分cos()sinsindrvuvdctgdruu 小船的運(yùn)動軌跡方程小船的運(yùn)動軌跡方程000tansin2sintan2vurr 若若O點(diǎn)在點(diǎn)在A點(diǎn)正對面，則點(diǎn)正對面，則r0d，0/2。則有。則有0tansin2vudrr 題題1.7 1.7 質(zhì)點(diǎn)在有心力的作用之下運(yùn)動，此力的質(zhì)點(diǎn)在有心力的作用之下運(yùn)動，此力的量值為質(zhì)點(diǎn)到力心距離量值為質(zhì)點(diǎn)到力心距離r r的函數(shù)，而質(zhì)點(diǎn)的速率的函數(shù)，而質(zhì)點(diǎn)的速率與此距離成反比，即與此距離成反比，即 v v = = a a/ /r r。如果如果 ，求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng) r r = = r r0 0時，時，= =0 0= 0= 0。222a h (h= r) 解題思路解題思路：要求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程，即求：要求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程，即求 r r 關(guān)于關(guān)于 的函數(shù)，的函數(shù)，利用速率的平方等于徑向速度和橫向速度的平方之和，利用速率的平方等于徑向速度和橫向速度的平方之和，求得關(guān)于求得關(guān)于 的一階微