大學物理：第5章 振動和波動

1、12 振動依機理不同區(qū)分為機械振動、電磁振動，振動依機理不同區(qū)分為機械振動、電磁振動，但描述和研究方法相同。本章通過討論機械振動認但描述和研究方法相同。本章通過討論機械振動認識其共性。識其共性。 振動類型：自由振動、阻尼振動、受迫振動振動類型：自由振動、阻尼振動、受迫振動狹義的振動：狹義的振動：指物體在其平衡位置附近的往復運動。指物體在其平衡位置附近的往復運動。廣義的振動：廣義的振動：指任一物理量指任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一在某一數(shù)值附近反復變化。數(shù)值附近反復變化。 振動是一種重要的運動形式，自然界中普遍存在。振動是一種重要的運動形式，自然界中普遍存在。5.1 5

2、.1 簡諧振動簡諧振動彈簧振子彈簧振子35.1.1 5.1.1 簡諧運動的描述簡諧運動的描述簡諧振動是理想化模型簡諧振動是理想化模型,許多實際的小振幅振動許多實際的小振幅振動都可看成簡諧振動。都可看成簡諧振動。例例. 雙原子分子雙原子分子 兩個原子之間的振動。兩個原子之間的振動。簡諧振動是簡諧振動是最簡單、最基本最簡單、最基本的振的振動，可用來研究復雜的振動。動，可用來研究復雜的振動。x0EPxx0omxA簡諧振動的條件：簡諧振動的條件：1、在平衡位置附近來回振動。、在平衡位置附近來回振動。2、受回復力作用。、受回復力作用。4彈簧質量不計彈簧質量不計,不計摩擦。不計摩擦。xo彈F Fx x1.

3、 1. 簡諧振動的簡諧振動的運動學判據(jù)運動學判據(jù) 以彈簧振子為例：以彈簧振子為例：建立坐標系，建立坐標系，o點選在彈簧平衡位置處。點選在彈簧平衡位置處。回復力回復力x xF Fk彈kxdtxdmmaF22220dxmkxdt一維振動一維振動令令mk20222xdtxd簡諧振動微分方程簡諧振動微分方程5)cos(tAx其中其中A為振幅，為振幅，為圓頻率，為圓頻率，為初相位。為初相位。k m圓頻率圓頻率只與彈簧振子性質有關。只與彈簧振子性質有關。解微分方程得解微分方程得簡諧振動運動方程簡諧振動運動方程定義：定義：凡是決定其位置的坐標按余弦或正弦函數(shù)凡是決定其位置的坐標按余弦或正弦函數(shù)規(guī)律隨時間變化

4、的振動都是規(guī)律隨時間變化的振動都是簡諧振動簡諧振動。簡諧振動的判據(jù)：簡諧振動的判據(jù)：1. .判斷合外力與物體離開平衡位置的位移是否成判斷合外力與物體離開平衡位置的位移是否成F=-kxF=-kx的形式。的形式。2. .判斷位移與時間是否滿足微分方程：判斷位移與時間是否滿足微分方程：2220d xxdt3.3.根據(jù)物體的運動是否滿足方程：根據(jù)物體的運動是否滿足方程：cos()xAt6單擺單擺220dgdtl在角位移很小的時候，單擺的在角位移很小的時候，單擺的振動是簡諧振動。角頻率振動是簡諧振動。角頻率,振動振動的周期分別為：的周期分別為：glTlg 22 結論gmfsin當當 時時 sinmgdt

5、dml 22簡諧振動的實例簡諧振動的實例72. 2. 簡諧振動的特征量簡諧振動的特征量由系統(tǒng)本身固有情況決定由系統(tǒng)本身固有情況決定( 彈性彈性, 慣性慣性 )(2)(2)角（圓）頻率角（圓）頻率 A 由初始條件（振動能量）決定。由初始條件（振動能量）決定。21T22T2T)cos(tAx單位：單位：rad/s單位：單位：Hzx x位移位移 振動物體振動物體離開平衡位置的位移。離開平衡位置的位移。三個特征量：三個特征量：(1)(1)振幅振幅A物體物體離開平衡位置的最大距離。離開平衡位置的最大距離。8 Av)tsin(Adtdxvm 2222 Aa)tcos(Adtxdam xa2 可見，有：可見

6、，有：)tcos(Ax 加速度與位移成正比而反向加速度與位移成正比而反向(3)(3)初相初相 由初始條件決定由初始條件決定, 初位相確定簡諧振動初始時刻的初位相確定簡諧振動初始時刻的運動狀態(tài)。運動狀態(tài)。 (t)= t+ 位相位相 物體在任一時刻的位相。物體在任一時刻的位相。它確定簡諧振動在該時刻的運動狀態(tài)。它確定簡諧振動在該時刻的運動狀態(tài)。t=0t=0時物體的位相時物體的位相3. 3. 簡諧振動的速度、加速度簡諧振動的速度、加速度9簡諧振動的簡諧振動的 x-t,v-t,a-t圖圖注注意意三三者者相相位位的的關關系系)cos(tAx22cos()cos()aAtAt xa234o,xav,tAA

7、A2vsin()cos(/2)vAtAt 10000cossintxAvA 時，22002vAx00vtgx 3.3.振幅與初相的確定振幅與初相的確定初始條件：初始條件：0t00,vvxx)cos(tAxA、由初始條件（由初始條件（何時開始計時何時開始計時）決定。）決定。)cos(tAx 由由)sin(tAv解得：解得： 在在002 2 之間有兩個解，但只有一個解符合要求，之間有兩個解，但只有一個解符合要求，為此要根據(jù)已知的為此要根據(jù)已知的x x0 0、v v0 0的正負來判斷和取舍。的正負來判斷和取舍。11例題例題 在一輕彈簧下端懸掛在一輕彈簧下端懸掛m0=100克砝碼時，克砝碼時，彈簧伸彈

8、簧伸長長8厘米，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛厘米，現(xiàn)在這根彈簧下懸掛m=250克的物體。將物克的物體。將物體從平衡位置向下拉動體從平衡位置向下拉動4厘米并給予向上的厘米并給予向上的21厘米厘米/秒的秒的初速度。選初速度。選X軸向下，求振動的表達式。軸向下，求振動的表達式。mNlgmk/08. 08 . 91 . 00 解：sradmk/0 . 725. 008. 08 . 91 . 0smvmx/21. 004. 000mvxA05. 0/22020100370.64vtgradx 0.05cos(70.64)(SI)xt00,sin0,v取正值.12xoxytM t=0, ,矢量與坐標軸的夾角等矢量與

9、坐標軸的夾角等于初相于初相P5.1.2 5.1.2 簡諧振動的旋轉矢量法簡諧振動的旋轉矢量法矢量矢量 以角速度以角速度 逆時針作勻逆時針作勻速圓周運動，速圓周運動，A 在平面上作一坐標軸在平面上作一坐標軸Ox，由原點由原點O作一長度等于振幅作一長度等于振幅的矢量的矢量 。AA (1)解析法解析法振動的表示法振動的表示法 (2)振動曲線法振動曲線法 (3) 旋轉矢量法旋轉矢量法)tcos(Ax 133. . M 點的加速度點的加速度2Aaxoxy0MMtAPa在在x軸上投影加速度軸上投影加速度)cos(2tAa2A利用旋轉矢量法還可以很容易確定簡諧振動的初位相。利用旋轉矢量法還可以很容易確定簡諧

10、振動的初位相。 這種以一個勻速旋轉的矢量這種以一個勻速旋轉的矢量 ，在，在oxox軸上的投影軸上的投影來表示簡諧振動的方法，稱為來表示簡諧振動的方法，稱為旋轉矢量法旋轉矢量法。A1. . M 點在點在 x 軸上投影點的運動軸上投影點的運動)cos(tAx為簡諧振動。為簡諧振動。2. . M 點的運動速度點的運動速度)sin(tAv在在x軸上投影速度軸上投影速度Av 研究端點研究端點 M 在在 x 軸上投影點的運動軸上投影點的運動，Av14oxyA0 x0v0 x0 x0 x0v0v0a0a0a0a0v旋轉矢量法確定初位相。旋轉矢量法確定初位相。0, 0 vx0, 0 vx0, 0 vx0, 0

11、 vx在第在第象限象限在第在第象限象限在第在第象限象限在第在第象限象限oxyA0t2/0Ax 00v3315幾種特特殊位置初位相。幾種特特殊位置初位相。oxyA0t00Ax000voxyA00 x00v22oxyAoxyAAx000v00 x00v2/32316 在簡諧振動運動方程在簡諧振動運動方程x=Acos(x=Acos(t+) )中，中， ( (t+) )叫做振子在叫做振子在t時刻的位相。在旋轉矢量中，它還有一時刻的位相。在旋轉矢量中，它還有一個直觀的意義：個直觀的意義：在在t t時刻振幅矢量和時刻振幅矢量和x x軸的夾角。軸的夾角。 對一個確定的簡諧振動來說，一定的相就對應于振動對一個

12、確定的簡諧振動來說，一定的相就對應于振動質點一定時刻的運動狀態(tài)，即一定時刻的位置和速度。質點一定時刻的運動狀態(tài)，即一定時刻的位置和速度。在簡諧振動中，常用相來表示質點的某一運動狀態(tài)。在簡諧振動中，常用相來表示質點的某一運動狀態(tài)。 相的概念在比較兩個同頻率的簡諧振動的步調時相的概念在比較兩個同頻率的簡諧振動的步調時特別有用：特別有用：1212)()(tt兩個同頻率簡諧振動的位相差：兩個同頻率簡諧振動的位相差：如：當用余弦函數(shù)表示簡諧振動時，如：當用余弦函數(shù)表示簡諧振動時， t t+ + = 0= 0即位即位相為零的狀態(tài)表示質點在正位移最大處而速度為零，相為零的狀態(tài)表示質點在正位移最大處而速度為零

13、， t t+ + = = 表示質點在負位移最大處而速度為零。表示質點在負位移最大處而速度為零。 17A諧振動諧振動旋轉矢量旋轉矢量t+T振幅振幅初相初相位相位相圓頻率圓頻率諧振動周期諧振動周期半徑半徑初始角坐標初始角坐標角坐標角坐標角速度角速度園周運動周期園周運動周期物理模型與數(shù)學模型比較：物理模型與數(shù)學模型比較：21 0 2超前超前 10 2落后落后 1=2n 同相同相=（2n 1） 反相反相18例例1.1.一質點沿一質點沿x x軸作簡諧振動，振幅軸作簡諧振動，振幅A=0.12mA=0.12m，周期，周期T=2sT=2s，當當t=0t=0時，質點對平衡位置的位移時，質點對平衡位置的位移x x

14、0 0=0.06m=0.06m，此時刻質點，此時刻質點向向x x軸正向運動。求（軸正向運動。求（1 1）此簡諧振動的表達式；（）此簡諧振動的表達式；（2 2）從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時刻。從初始時刻開始第一次通過平衡位置的時刻。解：解：)(12. 0mA)/(2sradT3)cos(tAx取平衡位置為坐標原點，取平衡位置為坐標原點，oxyA3由旋轉矢量法可得：由旋轉矢量法可得：)(3cos(12. 0SItx（2 2）由旋轉矢量法可知，質點第一次通過平衡位置）由旋轉矢量法可知，質點第一次通過平衡位置時，振幅矢量轉過的角度為：時，振幅矢量轉過的角度為：設設65)3(2)(83. 0st

15、 19例例2.2.一質點在一質點在x x軸上作簡諧振動，選取該質點向右運動通過軸上作簡諧振動，選取該質點向右運動通過A A點點作為計時起點（作為計時起點（t=0t=0），經(jīng)過），經(jīng)過2s2s后第一次經(jīng)過后第一次經(jīng)過B B點，再經(jīng)過點，再經(jīng)過2s2s后后第二次經(jīng)過第二次經(jīng)過B B點，若已知該質點在點，若已知該質點在A A、B B兩點具有相同的速率，且兩點具有相同的速率，且AB=10cmAB=10cm。求。求（1 1）質點的振動方程；）質點的振動方程；(2)(2)質點在質點在A A點處的速率。點處的速率。解：解： （1 1）由旋轉矢量圖和）由旋轉矢量圖和v vA A=v=vB B可知，可知，由此兩

16、式解得：由此兩式解得：1tg,42sT),(8 sT 42T0tcos050A.x2t)2cos(05. 0AxsinA),(205. 0mA 因為因為A A點處質點速度大于零，點處質點速度大于零，43振動方程：振動方程：)(434cos(205. 0mtxAst2st40toxAB20A A點作為計時起點，點作為計時起點，4/ )434cos(205. 0tv（2 2）質點在）質點在A A點處的速率點處的速率（t=0t=0）)/(04. 0smv例例3.3.一質點作簡諧振動，周期為一質點作簡諧振動，周期為T T。求：當它由平衡位置向。求：當它由平衡位置向x x軸正向運動時，從二分之一最大位移

17、處到最大位移處這段軸正向運動時，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時間。路程所需要的時間。解：解：由旋轉矢量圖可知，由旋轉矢量圖可知，當質點由平衡位置向當質點由平衡位置向x x軸正向運動時，軸正向運動時，從二分之一最大位移處到最大位移處從二分之一最大位移處到最大位移處時，轉過的角度為：時，轉過的角度為：oxyA33)3(0所需的時間為：所需的時間為：622TTTt215.1.3 5.1.3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量221mvEk 221kxEp m/k)tsin(Av)tcos(Ax 2 與與及及考考慮慮到到)(cos21)(sin212222tkAEtkAEpk221kAE

18、EE:pk 彈彈簧簧振振子子的的總總機機械械能能為為因因此此，幅幅的的平平方方成成正正比比。簡簡諧諧運運動動的的總總能能量量和和振振）（其其機機械械能能守守恒恒。）作作簡簡諧諧運運動動的的物物體體，（結結論論：21我們以彈簧振子為例來討論簡諧運動的能量問題。我們以彈簧振子為例來討論簡諧運動的能量問題。設振動物體在任一時刻設振動物體在任一時刻t 的位移為的位移為x ，速度為，速度為v ，于是，于是它所具有的動能它所具有的動能Ek 和勢能和勢能Ep 分別為分別為22otkEpEE動能的時間平均值動能的時間平均值:TkdttkATE022)(sin211241kA勢能的時間平均值勢能的時間平均值:T

19、PdttkATE022)(cos211241kA彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且等于總機械能的一半。且等于總機械能的一半。23例：例：一輕彈簧倔強系數(shù)為一輕彈簧倔強系數(shù)為k，下端懸掛一靜止的，下端懸掛一靜止的質量質量為為m的盤子?，F(xiàn)有一質量為的盤子?，F(xiàn)有一質量為M的物體從離盤的物體從離盤h高度處高度處由靜止落下并與盤粘在一起，使盤上下振動。（由靜止落下并與盤粘在一起，使盤上下振動。（1）求振幅求振幅A；（2 2）當）當 x x 值為多大時，系統(tǒng)的勢能為總值為多大時，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半？能量的一半？ （3 3）質點從平衡位置移動到此位置所）質點從平衡位

20、置移動到此位置所需最短時間為多少？需最短時間為多少？Xk/mgk/Mg取取M、m一起振動的平衡位置一起振動的平衡位置為坐標原點為坐標原點:總能量總能量22020212121kAv )Mm(kx 解：解：動量守恒動量守恒02v )Mm(ghM kMgx 0k)Mm(ghM)kMg(A 22224（2）勢能勢能總能總能由題意，由題意，最短時間為最短時間為 T / 8。,/kxEp22 22/kAE ,/kA/kx4222 2/Ax 2Ax kMmt 4281 Mmk （3）從平衡位置運動到）從平衡位置運動到255.2.1 5.2.1 同方向的簡諧振動的合成同方向的簡諧振動的合成)cos()cos(

21、222111tAxtAx)cos(tAx合成仍為合成仍為仍然是同頻率仍然是同頻率的簡諧振動的簡諧振動xxx1x2 12 2A1AA)cos(AAAAA122122212 22112211 cosAcosAsinAsinAtan 1. 1. 同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成21xxx合振動的位移：合振動的位移：26討論一：討論一：,2, 1,0212kk21AAA合振幅最大。稱為合振幅最大。稱為干涉相長干涉相長2AA1A討論二：討論二：稱為干涉相消。稱為干涉相消。2AA1A1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般情況：一般情

22、況：A1=A2 時，時， A=0同相同相反相反相|21AAA27例題例題 三個諧振動方程分別為三個諧振動方程分別為)tcos(Ax6113 )2cos(1tAx)tcos(Ax672 畫出它們的旋轉矢量圖。并在同一畫出它們的旋轉矢量圖。并在同一 x-t 坐標上畫出坐標上畫出振動曲線。寫出合振動方程。振動曲線。寫出合振動方程。3x2x1x合振動方程合振動方程 x=03x2x1x28)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx)cos()cos()(21tAtAtx合成振動表達式合成振動表達式： 為了簡單起見，討論兩個振幅相同，初相位也為了簡單起見，討論兩個振幅相同，初相位也相同，在同方向

23、上以不同頻率振動的合成。其振相同，在同方向上以不同頻率振動的合成。其振動表達式分別為：動表達式分別為：2)(cos2)(cos21212ttA2. 2. 同方向、不同頻率的簡諧振動的合成同方向、不同頻率的簡諧振動的合成隨隨t變化緩慢變化緩慢隨隨t變化較快變化較快2921與當當 都很大，且相差甚微時，可將都很大，且相差甚微時，可將 視為振幅變化部分，合成振動是以視為振幅變化部分，合成振動是以 為角頻率為角頻率的近似諧振動。的近似諧振動。2/ )(1221()|2 cos|2tA這種振動的振幅也是周期性變化的，即振動忽強忽弱。這種振動的振幅也是周期性變化的，即振動忽強忽弱。 由于振幅是周期性變化的

24、，所以合振動不再是由于振幅是周期性變化的，所以合振動不再是簡諧振動。簡諧振動。這種合振動忽強忽弱的現(xiàn)象稱為這種合振動忽強忽弱的現(xiàn)象稱為拍拍。振幅振幅tAtA2cos2)(1230播放動畫播放動畫1. .振幅是周期變化的，振幅是周期變化的，,21振幅振幅A（t）隨時間）隨時間t緩慢緩慢地變化地變化-“拍拍”現(xiàn)象，現(xiàn)象，最大值為最大值為 2A。2. .合振幅變化頻率合振幅變化頻率-“-“拍頻拍頻”。221很小，很小，單位時間內振動加強或減弱的次數(shù)叫單位時間內振動加強或減弱的次數(shù)叫拍頻拍頻|21vvv 拍拍31tx1 2=6tx2 1=7 = 1 - 2 拍頻拍頻tx（可測頻，或得到更低頻的振動）（

25、可測頻，或得到更低頻的振動）325.2.2 5.2.2 相互垂直簡諧振動的合成相互垂直簡諧振動的合成1. 1. 同頻率同頻率)(cos)(cos2211 tAytAx)(sin)cos(21221221222212 AAxyAyAx將兩式聯(lián)立，消去將兩式聯(lián)立，消去t,可得可得 )sin(cossinsin)sin(sincoscos121221121221 tAyAxtAyAx再將上兩式平方后相加即可得再將上兩式平方后相加即可得33)(sin)cos(21221221222212 AAxyAyAx1 1） 合振動為合振動為線線振動。振動。, 012 2 2） 合振動為合振動為正橢圓正橢圓。21

26、2 3 3） 一般情況下，合振動為一般情況下，合振動為斜橢圓。斜橢圓。且當且當 A1=A2 時時,即為即為圓圓。344/yx13482567x12345687y12345678352/xy13482567x12345687y123456783637合成運動又具有合成運動又具有穩(wěn)定的封閉軌跡穩(wěn)定的封閉軌跡, ,稱為李薩如圖。稱為李薩如圖。例如例如. .)(cos)(cosyyyxxxtAytAx 右圖：右圖：23 yx yxAyAxo-Ax- Ay達達到到最最大大值值的的次次數(shù)數(shù)達達到到最最大大值值的的次次數(shù)數(shù)yxyxyx 具體的圖形與具體的圖形與yx ,有關有關, ,可以畫出可以畫出。應用舉例

27、：應用舉例：測定未知頻率。測定未知頻率。當兩個頻率有微小差別時當兩個頻率有微小差別時, ,位相在緩慢變化位相在緩慢變化, ,軌跡形狀也會緩慢變化軌跡形狀也會緩慢變化, ,不穩(wěn)定。不穩(wěn)定。2. 2. 不同頻率不同頻率, ,但有簡單整數(shù)比時，但有簡單整數(shù)比時，380 x 412143yx :1:21:32:3李薩如圖的一些例子李薩如圖的一些例子xy;costAyyy 3:2: yxAA);cos(xxxtAx 39 5.3 5.3 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振)cos(e00 tAxt稱為為衰減因子稱為為衰減因子t e1.1.欠阻尼欠阻尼（ 0 0）3.3.臨界阻尼（臨界阻尼（ =

28、 = 0 0 ）為非周期振動。為非周期振動。剛能作非周期振動，剛能作非周期振動， 且回到平衡位置的時間最短。（電表設計）且回到平衡位置的時間最短。（電表設計）音叉、鋼琴弦音叉、鋼琴弦- Q 103例例. 無線電震蕩回路無線電震蕩回路-Q 102激光器光學諧振腔激光器光學諧振腔- Q 107425.3.2 5.3.2 受迫振動受迫振動 共振共振若系統(tǒng)受彈性力若系統(tǒng)受彈性力, ,阻力外阻力外, ,還受周期性策動力還受周期性策動力0cosFFt其穩(wěn)定振動解為：其穩(wěn)定振動解為： tAxcos202ddcosddxxmkxFttt ,2m ,20mk 0Fhm43穩(wěn)定振動穩(wěn)定振動阻尼振動阻尼振動二者的疊

29、加二者的疊加例如，例如，44此此穩(wěn)定穩(wěn)定解與簡諧振動很相似解與簡諧振動很相似, ,但很不一樣但很不一樣: : 是策動力的角頻率是策動力的角頻率 與系統(tǒng)本身的性質無關與系統(tǒng)本身的性質無關 ,A是是 ,0h的函數(shù)的函數(shù) 與初始條件與初始條件 x0, v0無關無關 振幅振幅 A A為最大值為最大值, ,這稱為這稱為共振現(xiàn)象。共振現(xiàn)象。 220212222202tan4cos hAtAx式式中中 tAxcos注意：注意：在弱阻尼（在弱阻尼（ ）情況下）情況下, , 當當 時，時，0 0 穩(wěn)定振動穩(wěn)定振動45共振時共振時, ,振動系統(tǒng)能最大限度地從外界獲得能量。振動系統(tǒng)能最大限度地從外界獲得能量。因為此

30、時因為此時2tan 即策動力與速度同相即策動力與速度同相, ,策動力總是作正功策動力總是作正功, ,系統(tǒng)就能最大限度從外界獲得能量系統(tǒng)就能最大限度從外界獲得能量, ,振幅振幅可達最大值可達最大值。2202tan tHF cos )cos()2cos(tAtAtxv d dd d有有46我國四川綦江我國四川綦江彩虹橋彩虹橋的斷裂。的斷裂。 橋質量太差橋質量太差, 齊步跑。齊步跑。共振現(xiàn)象有利有弊。共振現(xiàn)象有利有弊。1940年美國華盛頓州年美國華盛頓州的塔科曼大橋在大風的塔科曼大橋在大風中產(chǎn)生共振中產(chǎn)生共振斷塌斷塌例如：例如： 收音機收音機 樂器樂器 核磁共振等。核磁共振等。47我國古代對我國古代

31、對“共振共振”早有認識。早有認識。公元五世紀公元五世紀天中記天中記： 玻璃球泡因玻璃球泡因聲共振而破裂聲共振而破裂張華曰：此盤與宮中鐘相諧，張華曰：此盤與宮中鐘相諧， 蜀人有銅盤，早、晚鳴蜀人有銅盤，早、晚鳴 如人扣。如人扣。問張華。問張華。可改變其薄厚?？筛淖兤浔『?。故聲相應，故聲相應，485.4 5.4 平面簡諧波平面簡諧波1.1. 振動在空間的傳播過程叫做波動。振動在空間的傳播過程叫做波動。2. 常見的波有兩大類常見的波有兩大類:近代物理發(fā)現(xiàn)，在微觀領域中還有近代物理發(fā)現(xiàn)，在微觀領域中還有物質波。物質波。3. 各種波的本質不同各種波的本質不同, , 但其基本傳播規(guī)律有許多相同之處。但其基

32、本傳播規(guī)律有許多相同之處。 (1) 機械波機械波 (機械振動的傳播機械振動的傳播)(2)(2)電磁波（交變電場、磁場的傳播）電磁波（交變電場、磁場的傳播）下面以機械波為例來介紹波的一些物理概念，討論下面以機械波為例來介紹波的一些物理概念，討論波動的現(xiàn)象和規(guī)律。波動的現(xiàn)象和規(guī)律。49 波動是振動狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是波動是振動狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是質點本身的傳播。質點本身的傳播。 根據(jù)介質質元的振動方向與波的傳播方向間的關根據(jù)介質質元的振動方向與波的傳播方向間的關系，可以將機械波分為兩類：系，可以將機械波分為兩類：橫波橫波和和縱波縱波。2. 2. 波的分類波的分類 1. 1.

33、 產(chǎn)生機械產(chǎn)生機械波的產(chǎn)生波的產(chǎn)生產(chǎn)生波的條件產(chǎn)生波的條件存在存在彈性介質彈性介質和和波源波源波源處質點的振動通過彈性介質中的彈性力，波源處質點的振動通過彈性介質中的彈性力，將振動傳播開去，從而形成機械波。將振動傳播開去，從而形成機械波。5.4.1 5.4.1 機械波的產(chǎn)生與描述機械波的產(chǎn)生與描述501 1）橫波）橫波 各質點振動方向與波各質點振動方向與波的傳播方向垂直的波。的傳播方向垂直的波。傳播方向傳播方向如繩波、如繩波、電磁波電磁波為橫波。為橫波。播放動畫播放動畫t= T/2 t= 3T/4 t = Tt = T/40481620 12 t = 051 各質點振動方向與波的傳播各質點振動

34、方向與波的傳播方向平行的波。方向平行的波。傳播方向傳播方向播放動畫播放動畫縱波是靠介質疏密部變化傳播的?？v波是靠介質疏密部變化傳播的。如聲波，彈簧波為縱波。如聲波，彈簧波為縱波。 任一波例如，水波、地表波，都能分解為橫波任一波例如，水波、地表波，都能分解為橫波與縱波來進行研究。與縱波來進行研究。2 2）縱波）縱波 橫波和縱波只有振動方向不同，波動本質是相同的，橫波和縱波只有振動方向不同，波動本質是相同的，下面以橫波為例來討論。下面以橫波為例來討論。521、 波的傳播不是介質質元的傳播（質元波的傳播不是介質質元的傳播（質元只在各自只在各自的平衡位置附近振動），傳播出去的僅是質點的振的平衡位置附近

35、振動），傳播出去的僅是質點的振動狀態(tài)（亦稱位相）。動狀態(tài)（亦稱位相）。2 2 、“上游上游”的質元依次帶動的質元依次帶動“下游下游”的質元振動，的質元振動，某時刻質元的振動狀態(tài)將在較晚時刻于某時刻質元的振動狀態(tài)將在較晚時刻于“下游下游”某處某處出現(xiàn)。波動中各質元的振動是受迫振動，它們的振動出現(xiàn)。波動中各質元的振動是受迫振動，它們的振動頻率與波源的振動頻率相同，與介質無關。頻率與波源的振動頻率相同，與介質無關。3、同相位點同相位點-質元的振動狀態(tài)相同。質元的振動狀態(tài)相同。注意：注意：振動是描寫一個質點振動振動是描寫一個質點振動波動是描寫一系列質點作振動波動是描寫一系列質點作振動4 4、振動與波動

36、的區(qū)別、振動與波動的區(qū)別53橫軸橫軸x表示波的傳播方向，表示波的傳播方向，1 1）波形圖）波形圖yoxu坐標坐標x表示質點的平衡位置，表示質點的平衡位置，縱軸縱軸y表示質點的振動方向，表示質點的振動方向，坐標坐標y表示質點偏離平衡位置的位移。表示質點偏離平衡位置的位移。表示某一選定時刻波中各質點位置的圖。表示某一選定時刻波中各質點位置的圖。x y平面上一條曲線就表示某一時刻的波形圖。平面上一條曲線就表示某一時刻的波形圖。說明：說明：在橫波中波形圖與實際的波形是相同的，但在在橫波中波形圖與實際的波形是相同的，但在縱波中，由于波形圖表示的是各質點位移的分布情況，縱波中，由于波形圖表示的是各質點位移

37、的分布情況，而區(qū)別于質點的實際位置分布。而區(qū)別于質點的實際位置分布。3. 3. 波的幾何描述波的幾何描述 544.4.描述波特性的幾個物理量描述波特性的幾個物理量 1 1）周期）周期 T T ：傳播一個完整的波形傳播一個完整的波形所用的時間。所用的時間。或一個完整的波通過或一個完整的波通過波線上某一點所需要的時間波線上某一點所需要的時間（與質（與質點振動周期相同）點振動周期相同）2 2）頻率）頻率 ：單位時間內傳播完整波形的個數(shù)。單位時間內傳播完整波形的個數(shù)。（與質點振動頻率相同）（與質點振動頻率相同）3 3）波長）波長 ：兩相鄰兩相鄰波峰波峰或或波谷波谷或或相位相同點間相位相同點間的的距離，

38、距離，或振動在一個周期或振動在一個周期中傳播的距離。中傳播的距離。yoxu注意注意：周期、頻率與介質無關，與波源的相同。波在周期、頻率與介質無關，與波源的相同。波在不同介質中頻率不變。不同介質中頻率不變。 554 4）波速）波速 u u波在介質中的傳播速度。波在介質中的傳播速度。單位時間某單位時間某種一定的振動狀態(tài)種一定的振動狀態(tài)(或振動相位或振動相位)所傳播的距離稱為所傳播的距離稱為波速波速u ，也稱之相速，也稱之相速 。 機械波的波速決定于介質的慣性和彈性，因此，機械波的波速決定于介質的慣性和彈性，因此，不同頻率的同一類波在同一介質中波速相同。不同頻率的同一類波在同一介質中波速相同。在各向

39、同性均勻固體中在各向同性均勻固體中橫波橫波縱波縱波/Gu/EuG 切變彈性模量切變彈性模量，E 楊氏模量，楊氏模量， 密度。密度。液體中液體中 縱波縱波/KuK 容變彈性模量。容變彈性模量。yoxu,1T5）T T、 、 、 u u 的關系的關系Tu56若波源若波源作簡諧振動作簡諧振動, 在波傳到的區(qū)域在波傳到的區(qū)域, 媒質中的質媒質中的質元均作簡諧振動，稱為簡諧波元均作簡諧振動，稱為簡諧波。 人們用波函數(shù)描述波，人們用波函數(shù)描述波，波函數(shù)應能描述波在空間任一波函數(shù)應能描述波在空間任一點、點、 任一時刻的位移。任一時刻的位移。5.4.2 5.4.2 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)( ,

40、)yf x t這個函數(shù)表達式也叫做波動方程。這個函數(shù)表達式也叫做波動方程。在波函數(shù)中，若在波函數(shù)中，若x固定了，得到什么方程？固定了，得到什么方程？哪個質點的振動方程？哪個質點的振動方程？振動方程振動方程在在x位置上的質點的振動方程位置上的質點的振動方程571）右行波的波函數(shù)）右行波的波函數(shù)已知已知O點振動表達式：點振動表達式：)cos(0tAyXypuOxuxt/ P點的振動比點的振動比O O點點落后一段落后一段時間時間 t , ,相位落后相位落后 ，uxt 平面簡諧波沿平面簡諧波沿x軸正向傳播，波速為軸正向傳播，波速為u。P點處質點在時刻點處質點在時刻t的位移等于的位移等于O O點在點在

41、時的位移。時的位移。)(uxt P點的振動方程為：點的振動方程為：cos0uxtA)(cos0uxtAy1. 1. 平面簡諧波的波函數(shù)平面簡諧波的波函數(shù)580cosuxtAy右行波的波函數(shù)右行波的波函數(shù)則波函數(shù)為：則波函數(shù)為：00cos()xxyAtu若告知的是位于若告知的是位于X X0 0處的振動方程處的振動方程00cos()xyAt并且向右傳播，并且向右傳播，下述幾式等價：下述幾式等價：2cos),(0 xtAtxy)(2cos),(0 xtAtxy)xut(2cosA) t , x(y0T/2Tu/259)(cos),(0uxtAtxyXypuOx即即p點的相位超前于點的相位超前于O點相

42、位：點相位：xux2 p點運動傳到點運動傳到 O 點需用時間：點需用時間： uxt p點的點的振動振動方程，也方程，也就是左行波的波函數(shù)：就是左行波的波函數(shù)：2）左行波的波函數(shù)）左行波的波函數(shù)已知已知O點振動表達式：點振動表達式：)cos(0tAy604）若告知的是某平面簡諧波在）若告知的是某平面簡諧波在t=tt=t0 0時刻的波形圖，時刻的波形圖， 設原點設原點O O在該時刻的位相可由圖求出為在該時刻的位相可由圖求出為 0 0，則原點則原點O O的振動方程為：的振動方程為：),(0txfy oyxu)(cos00ttAy波函數(shù)為：波函數(shù)為：00cos()xyAttu此時波動向此時波動向O點左

43、右兩邊傳播，則波函數(shù)為：點左右兩邊傳播，則波函數(shù)為：3）O O點為波源時的波函數(shù)點為波源時的波函數(shù))|(cos),(0uxtAtxy)cos(0tAy波源的振動方程為：波源的振動方程為：611）振動方程與波函數(shù)的區(qū)別）振動方程與波函數(shù)的區(qū)別波函數(shù)是波程波函數(shù)是波程 x 和時間和時間 t 的的函數(shù)，描寫某一時刻任意位函數(shù)，描寫某一時刻任意位置處質點振動位移。置處質點振動位移。)(tfx),(txfy振動方程是時間振動方程是時間 t 的函數(shù)的函數(shù)oxtoyxuxtAycos)cos(tAx2）當）當dx（常數(shù)）時，（常數(shù)）時，)(tfy為距離原點為為距離原點為 d 處一點的振動方程。處一點的振動方

44、程。3）當）當ct（常數(shù)）時，（常數(shù)）時，)(xfy為某一時刻各質點的振動位移，波形的為某一時刻各質點的振動位移，波形的“拍照拍照”2. 2. 波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義624）注意相速度（即波速）與質點振動速度的區(qū)別）注意相速度（即波速）與質點振動速度的區(qū)別 機械波的相速度由介質本身的性質決定，與波的機械波的相速度由介質本身的性質決定，與波的頻率、振幅無關；而質點振動速度和振動的頻率及頻率、振幅無關；而質點振動速度和振動的頻率及所研究的質點的位置均有關。所研究的質點的位置均有關。1、寫出某個已知點的振動方程；、寫出某個已知點的振動方程；2、以剛得到的已知點的振動方程為出發(fā)點，根據(jù)、以剛

45、得到的已知點的振動方程為出發(fā)點，根據(jù)波速的方向和大小寫出任一個點的振動方程，即得波速的方向和大小寫出任一個點的振動方程，即得到波動方程。到波動方程。 關于波動方程的題型主要有兩種：（關于波動方程的題型主要有兩種：（1 1）已知波函）已知波函數(shù)求各物理量；（數(shù)求各物理量；（2）已知各物理量求波函數(shù)。已知各物理量求波函數(shù)。波動方程的求解步驟波動方程的求解步驟0cosyAtt)cos(0tAy63（1）求）求u u、 、 ；（；（2）畫出）畫出 t =0和 t =T /8 時刻的波時刻的波形圖；（形圖；（3）距原點）距原點 o 為為 100m 處質點的振動表達式處質點的振動表達式與振動速度表達式。與

46、振動速度表達式。 )SI( /)/xt(cos.)t ,x(y4200250210 250200Hzm解：解：0( , )cos2 ()xy x tAt 由由得：得：（1）由波函數(shù)可知，波沿著）由波函數(shù)可知，波沿著x負方向傳播負方向傳播45 10/um s 例例1: 一平面簡諧波的波函數(shù)為：一平面簡諧波的波函數(shù)為：2(0,0)0.1cos42yA(2)t=0 時時64oyAy1 . 0m2001 . 0O)m(xA22)m(yux處比處比O處質點振動的相超前處質點振動的相超前波形向左傳播波形向左傳播m258/的距離的距離/8tT)m(x)m(yAOu65（3）100m處質點振動表達式處質點振動

47、表達式振動速度表達式是振動速度表達式是：)SI(4/5500sin50),100(ttv)SI(4/5500cos1 . 0),100(tty)SI( 4/)200/250(2cos1 . 0),(xttxy66例例2：如圖所示，平面簡諧波向右移動速度如圖所示，平面簡諧波向右移動速度 u = =0.08 m/s，求：，求：. .原點處的振動方程；原點處的振動方程；. .波函數(shù)；波函數(shù)；. . P 點的振動方程；點的振動方程；. . a、b 兩點振動方向。兩點振動方向。解：解：. .原點原點m4 . 02 . 02/5TusT/2)cos(tAy5/2oyxuabPm2 .0m04.0t = 0

48、 時時，o點處的質點向點處的質點向 y 軸負向軸負向運動運動 2/原點的振動方程為：原點的振動方程為：252cos04.0tyoy67. . oytuabPm2 .0m04.0P 點的振動方程點的振動方程Pxm4 .0208.04 .052cos04.0ty2552cos04. 0t. . a、b 振動方向，作出振動方向，作出t 后的波形圖。后的波形圖。. .波函數(shù)波函數(shù)208.052cos04.0 xty252cos04.0ty68例例3：如圖如圖, ,是一平面簡諧波在是一平面簡諧波在t=2t=2秒時的波形圖，由秒時的波形圖，由圖中所給的數(shù)據(jù)求：圖中所給的數(shù)據(jù)求：（1 1）該波的周期；（）該

49、波的周期；（2 2）傳播）傳播介質介質O O點處的振動方程；（點處的振動方程；（3 3）該波的波動方程。）該波的波動方程。20.02cos (2)3yt解解：32oy3其振動方程為：其振動方程為：20.02cos (2)103xyt波動方程：波動方程：X=5(m)X=5(m)處，由旋轉矢量法可知，處，由旋轉矢量法可知，2 1 1）利用旋轉矢量法求出）利用旋轉矢量法求出O O點的位相為：點的位相為：o)(cmy)(mxsmu/101-2569o)(cmy)(mxsmu/101-25720.02cos(2)33yt（2 2）O O點的振動方程為：點的振動方程為：32)10(37cos02. 0 x

50、ty（3 3）波動方程：）波動方程：)(762sT232)1050(3770處的處的p點振動曲線如圖。求：點振動曲線如圖。求：O點（點（x=0)的振動表達的振動表達式和波函數(shù)。式和波函數(shù)。)m(y05. 0O1)(st解：解：設設)tcos(A)t ,(y 1s/radT, sT,m.A 220500)0 , 1(, 0)0 , 1(vy2 )()2cos(05. 0), 1(mtty處質點超前處質點超前處質點位相比處質點位相比而而PO,muT)(61 23xx=-1的振動的振動表達式表達式解法解法1：例例4: 一平面波沿一平面波沿x方向傳播，方向傳播，u=3m/s,若若x=1m71)m()t

51、(.)tcos(A)t ,(y65050320 )m()xt(cos.)t ,x(y)( 6530502 )m()tcos(.)t ,(y20501 由由)m()xt (cos.)m()uxt (cos.)t ,x( y 65305021050 有：有：)m()tcos(.)t ,(y 650500 解法解法2：72波動的過程實際是能量傳遞的過程。由波動引起的波動的過程實際是能量傳遞的過程。由波動引起的介質的能量，稱為波的能量。介質的能量，稱為波的能量。1. 1. 波動的能量波動的能量 彈性介質中取一體積元彈性介質中取一體積元 dV，波，波的傳播的傳播速度為速度為u，質量，質量 以一列簡諧波在

52、密度為以一列簡諧波在密度為 的介質中傳播的介質中傳播為例來討論為例來討論有關波動的能量問題。有關波動的能量問題。dVu設波函數(shù)設波函數(shù))/(cosuxtAydVdm1 1）波動的動能）波動的動能5.4.3 5.4.3 波的能量波的能量質元振動速度：質元振動速度：tyv)/(sinuxtA73動能動能2 21vdmdEk)/(sin)(21222uxtAdV由于介質發(fā)生形變而具有勢能。由于介質發(fā)生形變而具有勢能。勢能勢能)/(sin)(21222uxtAdVdEPEk、EP同時達到最大同時達到最大同時達到最小同時達到最小平衡位置處平衡位置處最大位移處最大位移處2 2）波動的勢能）波動的勢能可以證

53、明體元內具有的勢能與動能在任意時刻具有相可以證明體元內具有的勢能與動能在任意時刻具有相同數(shù)值：同數(shù)值：74)/(sin)(222uxtAdVPkdEdEdE在在 孤立振動系統(tǒng)中，孤立振動系統(tǒng)中，Ek、EP相互交換，系統(tǒng)總機相互交換，系統(tǒng)總機械能守恒。械能守恒。而對于波動來說，由于媒質中各部分由彈性力彼此而對于波動來說，由于媒質中各部分由彈性力彼此相聯(lián)，使得振動在其中傳播。任一質元總機械能隨相聯(lián)，使得振動在其中傳播。任一質元總機械能隨時間周期性的變化，時間周期性的變化，波動能量中波動能量中Ek、EP同時達到最同時達到最大，同時為零，總能量隨時間周期變化。系統(tǒng)總機大，同時為零，總能量隨時間周期變化

54、。系統(tǒng)總機械能不守恒。械能不守恒。波動的能量與振動能量的區(qū)別：波動的能量與振動能量的區(qū)別：3 3）波動的能量）波動的能量75)/(sin222uxtAdVdEw平均能量密度：平均能量密度：能量密度在一個周期內的平均值能量密度在一個周期內的平均值dtuxtATwT)(sin12202 2221A能量密度隨時間周期性變化，其周期為波動周期的能量密度隨時間周期性變化，其周期為波動周期的一半。一半。 T平均能量密度與振幅平方、頻率平方和質量密度均平均能量密度與振幅平方、頻率平方和質量密度均成正比。成正比。2. 2. 波的強度波的強度能量密度：能量密度：單位體積內的總能量單位體積內的總能量76單位單位:

55、 :W/m2uSuxuwSPI2221 uAI 單位時間內通過垂直于波的傳播方向的單位時間內通過垂直于波的傳播方向的單位面積的平均能量單位面積的平均能量, ,稱為稱為平均能流密度平均能流密度, ,又稱為又稱為 波的強度波的強度 I 。單位時間內垂直通過某一截面的能量單位時間內垂直通過某一截面的能量稱為波通過該截稱為波通過該截面的能流。面的能流。EPuS wt 在一個周期內能流的平均值稱為平均能流在一個周期內能流的平均值稱為平均能流PwSuP單位單位: :W，J/s77例題例題 一平面簡諧波，波速為一平面簡諧波，波速為 340ms1，頻率為，頻率為 300Hz在橫截面積在橫截面積為 3.00 1

56、02m2的管內的空氣中傳播，若的管內的空氣中傳播，若在在10秒內通過截面的能量為秒內通過截面的能量為 2.70 102J，求：，求：（1）通過截面的平均能流；）通過截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度。）波的平均能量密度。解：解：t/EP)( 1S/PI )( 2 1310702 sJ. 21210009 msJ.uwI )( 3 3410562 mJ.u/Iw 5.5聲波聲波 超聲波超聲波 次聲波（略）次聲波（略）785.6.1 5.6.1 波的疊加原理波的疊加原理2波的傳播獨立性波的傳播獨立性 幾列波相遇之后，幾列波相遇之后， 仍然保持它們仍然

57、保持它們各自原有的特征（頻各自原有的特征（頻、波長、振幅、振動方向等）不、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他變，并按照原來的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他波一樣波一樣.2波的疊加原理波的疊加原理在相遇區(qū)域內任一點的振動，為各列在相遇區(qū)域內任一點的振動，為各列波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和.5.6 波的疊加波的疊加795.6.2 5.6.2 惠更斯原理惠更斯原理1.1.波線、波面、波前波線、波面、波前波線波線（或波射線（或波射線)波的傳播方向稱之為波射線或波線。波的傳播方向稱之為波射線或波線。波面波面

58、（或相面、波陣面）（或相面、波陣面）某時刻介質內振動相位相同的點組成的面稱為波面某時刻介質內振動相位相同的點組成的面稱為波面。波前波前某時刻處在最前面的波面。某時刻處在最前面的波面。在各向同性均勻介質在各向同性均勻介質中，波線與波陣面垂中，波線與波陣面垂直直.波面波線球面波球面波波線波面平面波平面波802. 2. 惠更斯原理惠更斯原理 常用惠更斯作圖法，它是基于惠更斯原理常用惠更斯作圖法，它是基于惠更斯原理 的一種方法。的一種方法?！懊劫|中波傳到的各點媒質中波傳到的各點,都可看作開始發(fā)射都可看作開始發(fā)射子波子波(次級波次級波)的子波源的子波源(點波源點波源)，在以后的任一時刻在以后的任一時刻,

59、這些子波面的包絡面這些子波面的包絡面就是新的波前就是新的波前 ”。研究波的傳播方向：研究波的傳播方向：知道某時刻波前的位置，知道某時刻波前的位置， 能否知道下一時刻的波前位置？能否知道下一時刻的波前位置？若媒質若媒質均勻、各向同性均勻、各向同性 ,各子波都是各子波都是以波速以波速 u 向外擴展的球面波向外擴展的球面波。815.6.3 5.6.3 波的干涉波的干涉 穩(wěn)定的波的疊加圖樣是指在媒質中某些位置的振穩(wěn)定的波的疊加圖樣是指在媒質中某些位置的振幅幅始終最大始終最大，另一些位置振幅，另一些位置振幅始終最小始終最小，而其它位置，而其它位置振動的強弱介乎二者之間，保持不變，振動的強弱介乎二者之間，

60、保持不變，稱這種穩(wěn)定的稱這種穩(wěn)定的疊加圖樣為疊加圖樣為干涉干涉現(xiàn)象現(xiàn)象。 相干條件：相干條件：1r2r1S2Sp滿足相干條件的波源滿足相干條件的波源稱為稱為相干波源相干波源。 具有恒定的相位差具有恒定的相位差兩波源的波振幅相近或兩波源的波振幅相近或相等時干涉現(xiàn)象明顯。相等時干涉現(xiàn)象明顯。 兩波源具有相同的頻率兩波源具有相同的頻率 兩波源振動方向相同兩波源振動方向相同82干涉加強、減弱條件干涉加強、減弱條件設有兩個頻率相同的波源設有兩個頻率相同的波源 和和 ，1S2S其振動表達式為：其振動表達式為：)cos(11010tAy)cos(22020tAy1r2rP1S2S兩列波傳播到兩列波傳播到 P