地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11)課件

1、地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11) 4. 普通克里格方程組和簡單克里格方差普通克里格方程組和簡單克里格方差（E(Z(x)=m 未知）未知） 要使估計量要使估計量 是無偏的，就必須增加限制條件：是無偏的，就必須增加限制條件： （1）無偏性條件）無偏性條件 若要使若要使ZV*為為ZV的無偏估計量，即要求的無偏估計量，即要求 EZV*- ZV =0 因為：因為： 又因為：又因為： 所以得無偏性條件為：所以得無偏性條件為：niiiVZZ1*mxxZEVZEVVd)(1)(niiniiiniiiVmZEZEZE111)()(11nii地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11) （2）普通克里格方程組）普通克里格方程組 在區(qū)域化變量在區(qū)域化變量

2、Z(x) 滿足二階平穩(wěn)的條件下類似于簡單克里格方法滿足二階平穩(wěn)的條件下類似于簡單克里格方法的估計方差的推導(dǎo)，同樣可以得到估計方差：的估計方差的推導(dǎo)，同樣可以得到估計方差： 在無偏性條件在無偏性條件 下，要使得估計方差最小，從而求得諸權(quán)下，要使得估計方差最小，從而求得諸權(quán)系數(shù)系數(shù) i , (i=1,2,n)，這是一個求條件極值的問題，要用拉格朗日乘這是一個求條件極值的問題，要用拉格朗日乘數(shù)法。數(shù)法。 令：令： ，為，為n個權(quán)系數(shù)個權(quán)系數(shù) I和和 的的(n+1)元函數(shù)。元函數(shù)。-2 是拉格朗日乘數(shù)。求出是拉格朗日乘數(shù)。求出F對對 i , (i=1,2,n)以及以及F對對的偏導(dǎo)數(shù)，并的偏導(dǎo)數(shù)，并令其

3、為零，得到普通克里格方程組。令其為零，得到普通克里格方程組。nininjjijiiiExxCVxCVVC1112),(),(2),(11nii1212niiEF地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11)普通克里格方程組：普通克里格方程組： 整理得：整理得： 這這n+1個方程的方程組，稱為普通克里格方程組。個方程的方程組，稱為普通克里格方程組。 012), 2 , 1( 02),(2),(211niinijiiiiFnixxCVxCF1), 2 , 1( ),(),(11niiinijiiniVxCxxC地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11)普通克里格方差：普通克里格方差： 將上式克里格方程組中的第一式（前將上式克里格方程組中的第一式（前

4、n個方程）兩邊乘以個方程）兩邊乘以 i ，再，再對對i 從從1到到n求和得：求和得： 將此式代入到普通克里格估計方差公式中得：將此式代入到普通克里格估計方差公式中得：1), 2 , 1( ),(),(11niiinijiiniVxCxxC),(),(111VxCxxCiniininjjiji),(),(12VxCVVCiniiE地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11) （3）用變差函數(shù)表示的普通克里格方程組與普通克里格方差）用變差函數(shù)表示的普通克里格方程組與普通克里格方差 若若Z(x)只滿足本征假設(shè)，而不滿足二階平穩(wěn)假設(shè)時，則利用協(xié)方只滿足本征假設(shè)，而不滿足二階平穩(wěn)假設(shè)時，則利用協(xié)方差函數(shù)與變差函數(shù)的關(guān)系差函數(shù)與變

5、差函數(shù)的關(guān)系C(h)=C(0) - (h) 可得用變差函數(shù)可得用變差函數(shù)(h)表示的表示的普通克里格方程組與普通克里格方差：普通克里格方程組與普通克里格方差：),(),(12VVVxniiiE1), 2 , 1( ),(),(11niinjijijniVxxx地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11) （4）信息樣品為非點承載時的普通克里格方程組與普通克里格方差）信息樣品為非點承載時的普通克里格方程組與普通克里格方差 若樣品的承載不能看作是點承載，而是以若樣品的承載不能看作是點承載，而是以x i為中心，其體積為為中心，其體積為v i的承載時，樣點之間的協(xié)方差的承載時，樣點之間的協(xié)方差C(xi ,x j )，就變?yōu)闃悠?/p>

6、域之間的平均協(xié)，就變?yōu)闃悠酚蛑g的平均協(xié)方差方差 ，相應(yīng)的普通克里格方程組與普通克里格方差分別寫成：，相應(yīng)的普通克里格方程組與普通克里格方差分別寫成： 用變差函數(shù)用變差函數(shù)(h)表示的普通克里格方程組與普通克里格方差：表示的普通克里格方程組與普通克里格方差：niiiKVvCVVC12),(),(1), 2 , 1( ),(),(11niinjijijniVvCvvC),(jivvC),(),(12VVVvniiiK1), 2 , 1( ),(),(11niinjijijniVvvv地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11) （5）普通克里格方程組及其方差的矩陣的表示法）普通克里格方程組及其方差的矩陣的表示法 為簡單起

7、見，我們僅給出樣品點為非點承載下的普通克里格方程為簡單起見，我們僅給出樣品點為非點承載下的普通克里格方程組及其方差的矩陣表示形式：組及其方差的矩陣表示形式： 其中：其中： K稱為普通克里格矩陣，它是一個對稱矩陣，因為有：稱為普通克里格矩陣，它是一個對稱矩陣，因為有： 估計方差表示為：估計方差表示為： 1),(),(),( ,2121VvCVvCVvCMnnjivvCvvCijji , ),(),( MK MVVCTK),(2 01111),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(212221212111nnnnnnvvCvvCvvCvvCvvCvvCvvCvvCvvCK地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)

8、(11) 用變差函數(shù)表示時，普通克里格方程組的矩陣表示形式為：用變差函數(shù)表示時，普通克里格方程組的矩陣表示形式為： 1),(),(),( ,2121VvVvVvMnn01111),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(212221212111nnnnnnvvvvvvvvvvvvvvvvvvK MK ),( 2VVMTK地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11)進(jìn)一步的說明進(jìn)一步的說明 1. 只有當(dāng)協(xié)方差矩陣只有當(dāng)協(xié)方差矩陣C(vi,vj)nn（即矩陣（即矩陣K的左上角的左上角nn階方陣）是嚴(yán)格正定的，克里格方程組才有唯一解。階方陣）是嚴(yán)格正定的，克里格方程組才有唯一解。因為此時其系數(shù)矩陣的行列式嚴(yán)格大

9、于零。因此，要求所因為此時其系數(shù)矩陣的行列式嚴(yán)格大于零。因此，要求所用的點協(xié)方差函數(shù)用的點協(xié)方差函數(shù)C(h)是正定的。（若用變差函數(shù)是正定的。（若用變差函數(shù)(h)表表示，則要求示，則要求- (h)是條件正定的），且數(shù)據(jù)承載無一重合。是條件正定的），且數(shù)據(jù)承載無一重合。因為若有因為若有vk=vj，則，則C(vi,vk)= C(vi,vj) (i=1,2,n)，從而矩陣，從而矩陣C(vi,vj)nn中有兩列（行）完全相等，故其行列式的值為中有兩列（行）完全相等，故其行列式的值為零。零。地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11)進(jìn)一步的說明進(jìn)一步的說明 2. 克里格估值是一種無偏的內(nèi)插估值。即若待估塊段克里格估值是一種無偏

10、的內(nèi)插估值。即若待估塊段（承載）（承載）V與有效數(shù)據(jù)的任意承載與有效數(shù)據(jù)的任意承載vi重合，則由克里格方程重合，則由克里格方程組給出組給出ZK*=Z(vi)及及K2=0。這在制圖學(xué)中稱為這在制圖學(xué)中稱為“克里格估克里格估值曲面通過實測點值曲面通過實測點”。傳統(tǒng)的估計方法并沒有這種性質(zhì)。傳統(tǒng)的估計方法并沒有這種性質(zhì)。這也說明了克里格估值精度高于其它估值方法。這也說明了克里格估值精度高于其它估值方法。地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11)進(jìn)一步的說明進(jìn)一步的說明 3. 對于克里格方程組所用到的協(xié)方差函數(shù)對于克里格方程組所用到的協(xié)方差函數(shù)C(h)和變差和變差函數(shù)函數(shù)(h)的模型，不論它們所表征的基本結(jié)構(gòu)如何均可，的模型

11、，不論它們所表征的基本結(jié)構(gòu)如何均可，它們可以是各向同性的，也可以是各向異性；既可以是單它們可以是各向同性的，也可以是各向異性；既可以是單一結(jié)構(gòu)，也可以是套合結(jié)構(gòu)。一結(jié)構(gòu)，也可以是套合結(jié)構(gòu)。地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11)進(jìn)一步的說明進(jìn)一步的說明 4. 普通克里格方程組和方差只取決于結(jié)構(gòu)模型普通克里格方程組和方差只取決于結(jié)構(gòu)模型C(h)或或(h) ，以及，以及各承載的相對幾何特征（或說相對空間位置），而不依賴于數(shù)據(jù)各承載的相對幾何特征（或說相對空間位置），而不依賴于數(shù)據(jù)Zi 的的具體數(shù)值。因此，只要知道結(jié)構(gòu)函數(shù)具體數(shù)值。因此，只要知道結(jié)構(gòu)函數(shù)C(h)或或(h)以及樣品的空間位置以及樣品的空間位置（數(shù)據(jù)構(gòu)形），

12、在開鉆前就可得普通克里格方程組及其方差。這樣，（數(shù)據(jù)構(gòu)形），在開鉆前就可得普通克里格方程組及其方差。這樣，就可以根據(jù)鉆孔的空間位置不同，得出不同的克里格方差，從而選擇就可以根據(jù)鉆孔的空間位置不同，得出不同的克里格方差，從而選擇較小的克里格方差所對應(yīng)的鉆孔位置構(gòu)形，在已知結(jié)構(gòu)函數(shù)前提下確較小的克里格方差所對應(yīng)的鉆孔位置構(gòu)形，在已知結(jié)構(gòu)函數(shù)前提下確定最優(yōu)的布孔方案。定最優(yōu)的布孔方案。地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11)進(jìn)一步的說明進(jìn)一步的說明 5. 普通克里格矩陣普通克里格矩陣K ，只取決樣品承載，只取決樣品承載vi (i=1,2,n)的幾何特征的幾何特征（空間位置），而完全不依賴于待估塊段的承載（空間位置），而完

13、全不依賴于待估塊段的承載V。因此，只要所用。因此，只要所用的信息樣品相同，即使對不同的待估塊進(jìn)行估值，克里格方程組的系的信息樣品相同，即使對不同的待估塊進(jìn)行估值，克里格方程組的系數(shù)矩陣數(shù)矩陣K 也相同。從而只需求一次逆矩陣也相同。從而只需求一次逆矩陣K -1。若估計構(gòu)形（待估。若估計構(gòu)形（待估承載與全體樣品承載的構(gòu)形）也相同，則矩陣承載與全體樣品承載的構(gòu)形）也相同，則矩陣M也不變。即只需解也不變。即只需解一次克里格方程組，就可得到線性估計量中的權(quán)系數(shù)一次克里格方程組，就可得到線性估計量中的權(quán)系數(shù)i (i=1,2,n)，大大地節(jié)省計算時間。（規(guī)則勘探網(wǎng)格就滿足這一要求）大大地節(jié)省計算時間。（規(guī)則

14、勘探網(wǎng)格就滿足這一要求）地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11)進(jìn)一步的說明進(jìn)一步的說明 6. 普通克里格方程組及其方差考慮了以下四個方面的因素：普通克里格方程組及其方差考慮了以下四個方面的因素： （1）待估承載）待估承載V 的幾何特征（的幾何特征（ (V, V) ）；）； （2）數(shù)據(jù)構(gòu)形的幾何特征（）數(shù)據(jù)構(gòu)形的幾何特征（ (vi, vj) ）；）； （3）信息樣品承載）信息樣品承載vi 與待估承載與待估承載V之間的距離（之間的距離（ (vi, V) ） ； （4）反應(yīng)區(qū)域化變量）反應(yīng)區(qū)域化變量Z(x)空間結(jié)構(gòu)特征的變差函數(shù)模型（空間結(jié)構(gòu)特征的變差函數(shù)模型（ (h) ） 。地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)(11)進(jìn)一步的說明進(jìn)一步的說明 7. 純塊金效應(yīng)對普通克里格方程組及其方差的影響純塊金效應(yīng)對普通克里格方程組及其方差的影響 如果原來變差函數(shù)如果原來變差函數(shù)1(h) ，后來增加了一個塊金常數(shù)，后來增加了一個塊金常數(shù)C0成為：成為：則當(dāng)所有信息樣品承載則當(dāng)所有信息樣品承載vi (i=1,2,n)大小相等，和待估塊段大小相等，和待估塊段V 彼此都不相彼此都不相交，且交，且V比比vi 大很多（這些條件在實際中常能被滿足）時，塊金效應(yīng)（即大很多（這些條件在實際中常能被滿足）時，塊金效應(yīng)（即增加了一個塊金常數(shù)）對普通克里格方程組的影響只