彈性力學(xué)-02平面問題的基本理論（習(xí)題）

1、（習(xí)題講解）（習(xí)題講解）習(xí)題習(xí)題2-1 設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計(jì)，在全部邊界上（包括孔口邊以不計(jì)，在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均勻壓力界上）受有均勻壓力 q 。試證：。試證：qyxyxxyxxyo及及0 xy能滿足平衡微分方程、相容方程和邊能滿足平衡微分方程、相容方程和邊界條件，同時也滿足位移單值條件，界條件，同時也滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。因而就是正確的解答。解：解：本問題屬平面應(yīng)力問題本問題屬平面應(yīng)力問題q（1）校核是否滿足校核是否滿足平衡微分方程平衡微分方程0)0()(yxqyxyxy0)()0(yqx 平衡微分方程滿足平衡

2、微分方程滿足（2）校核是否滿足校核是否滿足相容方程相容方程)(2222yxyx0)()(2222qqyx 相容方程滿足相容方程滿足（3）校核是否滿足邊界條件）校核是否滿足邊界條件Nxyoq（3）校核是否滿足邊界條件）校核是否滿足邊界條件邊界條件邊界條件取任意微段邊界，其外法線方向余弦：取任意微段邊界，其外法線方向余弦：coslsinmcosqXqlsinqYqm將應(yīng)力分量：將應(yīng)力分量：qyx及及0 xy代入邊界條件公式：代入邊界條件公式：sxysxmlsysxyml 0mqlqlX qml0qmY 邊界條件滿足邊界條件滿足（4）滿足位移條件）滿足位移條件結(jié)論：結(jié)論：qyx及及0 xy為該彈性體

3、的正確解。為該彈性體的正確解。習(xí)題習(xí)題2-2h1Pxyl矩形截面懸臂梁，受力如圖，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)矩形截面懸臂梁，受力如圖，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)公式寫出彎曲應(yīng)力公式寫出彎曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力和剪應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力力 ，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程。這些表達(dá)式是否就表示正確的解答？相容方程。這些表達(dá)式是否就表示正確的解答？xxy0y解：解：由材料力學(xué)理論求出：由材料力學(xué)理論求出：xyIPxx)12(3hI 2242yhIPIbQSxy0y(1)將式將式 (1)代入平衡微分方程：代入平衡微分方程：yxx

4、yxyxyxy0yIPyIP000 滿足平衡微分方程滿足平衡微分方程將式將式 (1)代入相容方程：代入相容方程：)(2222yxyx0)(2222IPxyyx 相容方程滿足相容方程滿足習(xí)題習(xí)題2-2h1Pxylx解：解：由材料力學(xué)理論求出：由材料力學(xué)理論求出：yIPxx)12(3hI 2242yhIPIbQSxy0y(1)上、下邊界條件：上、下邊界條件：, 02hyy02hyxy 顯然滿足顯然滿足左側(cè)邊界條件：左側(cè)邊界條件：220hhxxdy0022hhdy220hhxxydy2222)4(2hhdyyhIP123hIPP220hhxxydy0022hhydy 顯然滿足顯然滿足矩形截面懸臂梁，

5、受力如圖，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)矩形截面懸臂梁，受力如圖，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)公式寫出彎曲應(yīng)力公式寫出彎曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力和剪應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力力 ，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程。這些表達(dá)式是否就表示正確的解答？相容方程。這些表達(dá)式是否就表示正確的解答？xxy0y習(xí)題習(xí)題2-2解：解：由材料力學(xué)理論求出：由材料力學(xué)理論求出：yIPxx)12(3hI 2242yhIPIbQSxy0y(1)右側(cè)邊界條件：右側(cè)邊界條件：22hhlxxdydyyIPlhh22022hhlxxydydyyIPlhh222Pl22

6、hhlxxydy2222)4(2hhdyyhIP123hIPP 顯然滿足顯然滿足h1PxylxPM=Pl矩形截面懸臂梁，受力如圖，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)矩形截面懸臂梁，受力如圖，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)公式寫出彎曲應(yīng)力公式寫出彎曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力和剪應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力力 ，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和，然后證明，這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程。這些表達(dá)式是否就表示正確的解答？相容方程。這些表達(dá)式是否就表示正確的解答？xxy0y習(xí)題習(xí)題2-3 試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢力，即：試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢力，即：yVYxVX

7、,yxVxVyxyyx22222,),(yx其中其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù) 表示成為：表示成為：試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。證明：證明：當(dāng)式（當(dāng)式（1）成立時）成立時 ，有：，有： 0 xVyxxyx0yVyxyxy（1） （2） 將式（將式（2）代入）代入 ，有：，有： 02323xVyxxVyx02323yVyVyxyx式（式（2）滿足平衡微分方程）滿足平衡微分方程 表明應(yīng)力分量可用式（表明應(yīng)力分量可用式（2）表示。）表示。)(2222yxyx習(xí)題習(xí)題2-3 試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢力，即：試證明，如果體力雖然

8、不是常量，但卻是有勢力，即：yVYxVX,yxVxVyxyyx22222,),(yx其中其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù) 表示成為：表示成為：試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。（1） （2） 將式（將式（2）代入應(yīng)力表示的相容方程：）代入應(yīng)力表示的相容方程：222244224xVxVxyx222242244yVyxyVy2222442244422yVxVyyxxV242yYxX)1 (2222)1 (yVxVV2)1 ()(2222yxyx222244224xVxVxyx222242244yVyxyVy2222442244422yVxVyyx

9、xV242yYxXyxyx)1 ()(2222代入相容方程：代入相容方程：有：有：V242V2)1 (V24)1 (V24)1 ( 平面應(yīng)力情形平面應(yīng)力情形對平面應(yīng)變情形，將對平面應(yīng)變情形，將 V24)11 (V2)121(1習(xí)題習(xí)題2-4 試證明：在發(fā)生最大與最小剪應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等試證明：在發(fā)生最大與最小剪應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩主應(yīng)力的平均值。于兩主應(yīng)力的平均值。證：證：以主應(yīng)力方向截取應(yīng)力單元體，如圖所示。以主應(yīng)力方向截取應(yīng)力單元體，如圖所示。Oxy1122N任意斜截面的方向余弦：任意斜截面的方向余弦：sin,cosml任意斜截面上的剪應(yīng)力：任意斜截面上的剪應(yīng)力：)(

10、12 lmN)()21(411222l當(dāng)當(dāng)22l時：時：221minmaxN當(dāng)當(dāng)22l時，時，22m代入：代入：2212mlN22222212212N補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-1 圖示楔形體，試寫出其邊界條件。圖示楔形體，試寫出其邊界條件。y1tanyx 左側(cè)面左側(cè)面：)tan(yx sin,cosml0, 0YX0sincostantanyxxyyxx0sincostantanyxyyxxy右側(cè)面右側(cè)面：0 xxy100 xxy補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-2PxylPM=Pl試用圣維南原理寫出梁固定端的試用圣維南原理寫出梁固定端的應(yīng)力邊界條件。應(yīng)力邊界條件。022Ndyhhlxx220hhxxydyQ22hhlx

11、xydyM梁固定端的內(nèi)力（由梁的整體平衡）：梁固定端的內(nèi)力（由梁的整體平衡）：PQPlM 0N梁固定端的梁固定端的應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件：xxyPlP試寫出圖示三角形懸臂梁的邊界條件。試寫出圖示三角形懸臂梁的邊界條件。補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-3梁固定端的內(nèi)力（由梁的整體平衡）：梁固定端的內(nèi)力（由梁的整體平衡）：0Ncos222221lqlqMlqlqQ12cos022Ndyhhlxx220hhxxydyQ22hhlxxydyM梁固定端的梁固定端的應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件：lqlq12coscos222221lqlq120120120 xy1N2N3N用用120應(yīng)變花測得構(gòu)件表面應(yīng)變：應(yīng)變花測得構(gòu)件表

12、面應(yīng)變：求該點(diǎn)的應(yīng)變分量求該點(diǎn)的應(yīng)變分量:321,NNNxyyx,補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-4各方向的方向余弦：各方向的方向余弦：; 1, 011ml;21,2322ml;21,2333ml代入任意斜方向的應(yīng)變計(jì)算公式：代入任意斜方向的應(yīng)變計(jì)算公式：xyyxNmlml1121211xyyxNmlml2222222xyyxNmlml3323233123313232NNNx1Ny)(3232NNxy解：解：補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-5下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場和應(yīng)變場，試分下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場和應(yīng)變場，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場與應(yīng)變場（不計(jì)體力）。別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場

13、與應(yīng)變場（不計(jì)體力）。;,144321yCxCyCxCCxCxyyx（1）;2,222Cxyybxaxyxyyx（2）解：解：（1）驗(yàn)證是否滿足平衡微分方程；驗(yàn)證是否滿足平衡微分方程；XyxxyxYyxyxy011CC0044CC0 滿足平衡微分方程滿足平衡微分方程驗(yàn)證是否滿足相容方程；驗(yàn)證是否滿足相容方程；yYxXyxyx)1 ()(2222 顯然滿足顯然滿足結(jié)論：結(jié)論：所給應(yīng)力分量為一組可能的應(yīng)力分量。所給應(yīng)力分量為一組可能的應(yīng)力分量。補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-5下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場和應(yīng)變場，試分下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場和應(yīng)變場，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場與

14、應(yīng)變場（不計(jì)體力）。別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場與應(yīng)變場（不計(jì)體力）。;,144321yCxCyCxCCxCxyyx（1）;2,222Cxyybxaxyxyyx（2）解：解：（2）驗(yàn)證是否滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：驗(yàn)證是否滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程：2222yxxybyax22yxxy2Cy42222yxxyyxxy2要使下式成立：要使下式成立：須有：須有：Cybyax422上式成立的條件：上式成立的條件：Cba2, 0結(jié)論：結(jié)論：（1）僅當(dāng)式（僅當(dāng)式（1）成立時，所給應(yīng)變分量為可能的。）成立時，所給應(yīng)變分量為可能的。補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-6試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。(應(yīng)用圣維南原理應(yīng)用圣維

15、南原理)(a)(b)(c)(d)解：解：（a）補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-6試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。(應(yīng)用圣維南原理應(yīng)用圣維南原理)(a)左側(cè)：左側(cè)：02hxx2hxxyq右側(cè)：右側(cè)：02hxx2hxxyq上側(cè)：上側(cè)：y =0dxhhyy220dxhhyxy2201F0 xdxhhyy2200下側(cè)：下側(cè)：y = ldxhhlyy22dxhhlyxy221Fql2xdxhhlyy22lF1qlN21FQlFM1反力：反力：NQM2hx2hx(b)解：解：（b）補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-6試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。(應(yīng)用圣維南原理應(yīng)用圣維南原理)左側(cè)：左側(cè)：02hx

16、x2hxxyq右側(cè)：右側(cè)：02hxx2hxxy0上側(cè)：上側(cè)：y =0dxhhyy220dxhhyxy220cos1Fsin1Fxdxhhyy220sin41hF下側(cè)：下側(cè)：y = lNcos1FQM反力：反力：NQMsin1Fql4sin1hFlFcos12hql2hx2hx22hhlyydxdxhhlyxy22cos1FqlFsin1xdxhhlyy22解：解：（b）補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-6試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。(應(yīng)用圣維南原理應(yīng)用圣維南原理)下側(cè)：下側(cè)：y = lqlFNsin1cos1FQ2cos4sin11hqllFhFM反力：反力：(b)NQM2cos4sin

17、11hqllFhF補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-6試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。(應(yīng)用圣維南原理應(yīng)用圣維南原理)(c)解：解：（c）左側(cè)：左側(cè)：x =000 xx0 xxy0右側(cè)：右側(cè)：x = h0hxxhxxyq上側(cè)：上側(cè)：y =0hyydx 0 0hyxydx 0 001Fxdxhyy 0 0aF1下側(cè)：下側(cè)：y = lN0QM反力：反力：NQM1FqlaF1hqldxhlyy 0 dxhlyxy 0 0qlF 1xdxhlyy 0 hqlaF1補(bǔ)充題補(bǔ)充題2-6試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。試寫出圖示構(gòu)件的邊界條件。解：解：（d）上側(cè)：上側(cè)：02hyy2hyxy0下側(cè)：下側(cè)：02hyy2hyxy0右側(cè)：右側(cè)：x = l2 2 hhlxxdy2 2 hhlxxydyF0ydyhhlxx2 2 M左側(cè)：左側(cè)：x = 0NFQ1M反力：反力：0lF1Mdyhhxx2 2