正方形的性質與判定

1、word正方形的性質與判定（二）教學目標：知識與技能：1 .掌握正方形的判定定理，并能綜合運用特殊四邊形的性質和判定解決問題。2 .發(fā)現決定中點四邊形形狀的因素，熟練運用特殊四邊形的判定及性質對中點四邊形進行判斷，并能對自己的猜想進行證明，進一步發(fā)展學生演繹推理的能力。3 .使學生進一步體會證明的必要性以及計算與證明在解決問題中的作用。過程與方法：1 .經歷“探索一發(fā)現一猜想一證明”的過程，掌握正方形的判定定理，發(fā)現決定中點四邊形形狀的因素，并能綜合運用特殊四邊形的性質和判定解決問題。2 .通過凸四邊形的中點四邊形的探求過程，以及引中至凹四邊形的中點四邊形的探求過程，引導學生體會證明過程中所運

2、用的由一般到特殊再到一般的歸納、類比、轉化的思想方法等，培養(yǎng)積極探索、勇于創(chuàng)新的精神，以及推出新的創(chuàng)新能力。情感與態(tài)度：通過師生互動、合作交流以及多媒體軟件的使用，進一步發(fā)展學生合作交流的能力和數學表達能力，并使學生發(fā)現數學中蘊涵的美，激發(fā)學生學習的自覺性、積極性，提高學習數學的興趣。教學過程本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：情景引入；第二環(huán)節(jié)：運用鞏固；第三環(huán)節(jié)：猜想結論，分組驗證；第四環(huán)節(jié)：學以致用；第五環(huán)節(jié)：課堂小結；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：情景引入活動容：問題：將一長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開，怎樣剪才能剪出一個正方形？（學生動手折疊、思考、剪切）活動目的：因為正方形

3、的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，把折痕作對角線，這時只需剪一個等腰直角三角形，打開即是正方形，因此只要保證剪口線與折痕成45°角即可?；顒拥淖⒁馐马棧翰糠謱W生在動手操作時，會剪出菱形，教師要引導學生思考：正方形是特殊的矩形和菱形，因此想得到一個正方形，可以在矩形的基礎上強化邊的條件得到，也可以在菱形的基礎上強化角的條件得到，而折痕是正方形的對角線，所以本環(huán)節(jié)要從對角線的角度考慮,即對角線要垂直相等且平分,學生很自然的會想到需要剪一個等腰直角三角形，因此只要保證剪口線與折痕成45。角即可，本節(jié)課個第一個教學難點迎刃而解。本環(huán)節(jié)中教師可以鼓勵操作快的學生幫助有困難的學生，請

4、同學到講臺前講解自己的做法和判斷依據，順勢引導學生總結出正方形的判定定理：1.對角線相等的菱形是正方形。2 .對角線垂直的矩形是正方形。3 .有一個角是直角的菱形是正方形。教師可以課件展示下面的框架圖，復習鞏固平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系。此框架圖給出了正方形的判別條件，先判定一個四邊形是平行四邊形，再判定這個平行四邊形是矩形，然后再判定這個矩形是菱形；或者先判定一個四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形。由于判定平行四邊形、矩形、菱形的方法各異，所給出的條件不一樣，所以判定一個四邊形是不是正方形的具體條件相應可作變化，在應用時要仔細辨別后才可以作出判斷。第二環(huán)節(jié)：運用鞏固活動容：霸如

5、圖1-21,在矩形中,SE平分入物1CE平分/DCB.BF/CE.CF/BE.求證：四邊形aX?尸是正方形.證明：；BF/CE.CF/BE.a四邊形BECF是平行四邊形.；四邊形48"是矩形，/.£ABC-90°,£DCB-900.又；型平分NJBC,CE平分乙DCB,5NC451NECB一工RDCB4.二/EEC=/EC氏EB=EC./.口3及不是菱形（菱形的定義）.在AEgc中，/N£BC=45=:/BEC=90".菱形B反廠是正方形（有個角是立角的菱形是正方形）.活動目的：通過例2,復習鞏固平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質與

6、判定定理,讓學生嘗試綜合運用特殊四邊形的性質和判定解決問題?；顒拥淖⒁馐马棧捍谁h(huán)節(jié)采用合作學習的策略，鼓勵學生多層面、多角度地思考正方形判定的運用，目的在于加深學生對判定本身的理解和掌握，同時也豐富了交流的容，激發(fā)了交流的氣氛，使新舊知識融會貫通，達到同學間的溝通、互補、共同提高的目的，教師應對學生的合理講解給予肯定和鼓勵。而且整個過程也使學生重新回顧了證明的步驟，為進一步發(fā)展學生的演繹推理能力奠定了基礎。第三環(huán)節(jié)：猜想結論，分組驗證活動容1:圖 1-8-1圖 1-8-2圖 1-8-3問題：1.如圖，在AABC,EF為AABC的中位線,若/BEF=30,貝U/A=.若EF=8cm,貝UAC=.

7、2 .在AC的下方找一點D,做CD和AD的中點GH,問EF和GHt怎樣的關系？EH和FG呢?3 .四邊形EFGH勺形狀有什么特征?活動目的：通過問題用，復習三角形中位線性質定理和命題“依次連接任意四邊形各邊的中點可以得到一個平行四邊形”?；顒拥淖⒁馐马棧航處熢谔釂枙r選擇平時學習數學有困難的學生，由于是前面已經學過的知識，學生們回答得很流暢，這種低起點的問題，也增強了學生學習數學的自信心。止匕外，課件的運用，直觀形象，也分解了難點?；顒尤?:問題：如果四邊形ABC吸為特殊的四邊形，中點四邊形EFGHi有怎樣的變化呢？活動目的：在一個開放的情景中，引導學生體會由一般到特殊的歸納、類比、轉化的思想方

8、法，同時培養(yǎng)學生的積極探索、勇于創(chuàng)新的精神?；顒拥淖⒁馐马棧河械膶W生猜測還是平行四邊形，有的學生猜測是正方形，有的學生猜測是矩5 / 9word形，有的學生猜測是菱形，甚至有的學生猜測是梯形。經過師生的共同探討，達成一致的結論：一定是平行四邊形，而非梯形。于是老師順勢提出問題“會不會是特殊的平行四邊形呢？從結論來探索有一些困難，那么我們可以換一種角度思考：四邊形ABCDT以為哪些特殊的四邊形？”學生的回答多種多樣，原四邊形可以為平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，甚至還有學生回答為梯形和直角梯形。于是老師請學生選擇一種自己感興趣的原四邊形來研究中點四邊形，從而順利進入下一環(huán)節(jié)。此環(huán)節(jié)的設

9、置引發(fā)了學生對特殊四邊形的中點四邊形的思考，學生們暢所欲言，互相補充完善，氣氛熱烈，進一步發(fā)展了學生合作交流的能力和數學表達能力，同時也是對之前所學的特殊四邊形進行回顧。老師在這一環(huán)節(jié)中，對學生的回答給予充分的肯定和鼓勵，再一次增強了學生學習數學的自信心?；顒尤?:學生以數學小組的形式，在眾多的特殊四邊形（平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）中選擇一種自己感興趣的原四邊形來研究中點四邊形，并驗證結論的正確性?；顒幽康模河蓪W生非常熟悉的、常見的特殊四邊形得到結論，為后面的知識形成作好鋪墊，并把學習的主動權讓給學生，目的在于激發(fā)學生的學習興趣，使學生真正成為學習的主人；同時讓

10、學生再一次體會由一般到特殊的歸納思想、類比、轉化的思想方法，進一步提高學生的合作交流和數學表達能力?；顒拥淖⒁馐马棧簩W生結合前面學過的各種特殊四邊形的判定與性質、三角形中位線定理等知識，人人參與、積極進行探究和交流，通過類比和轉化共歸納出以下幾種情況。各小組派代表展示自己小組的猜想和驗證，講解中小組之間互相補充、互相競爭，氣氛熱烈，使驗證的過程更加嚴謹。把學習的主動權交給了學生，真正體現了學生的自主性，也激發(fā)了學生學習數學的興趣。AE5 / 9圖 1-8-4圖 1-8-5圖 1-8-61-8-7圖1-8-8圖1-8-9圖1-8-10得出結論：平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形；矩形的中點四邊形

11、是菱形；菱形的中點四邊形是矩形；正方形的中點四邊形是正方形；等腰梯形的中點四邊形是菱形；直角梯形的中點四邊形是平行四邊形；梯形的中點四邊形是平行四邊形。在這一環(huán)節(jié)中，老師走入學生中適時地進行指導，引導學生進行歸納總結，提高學生的概括能力。對學習能力較弱的學生進行個別指導，對學習能力較強的學生鼓勵他們研究第2個甚至更多個圖形，使以上7個圖形的結論能夠順利得出，并對學生的回答給予充分的肯定和鼓勵。學生們展示完自己的結論后，老師利用幾何畫板進行演示，讓學生們觀察中點四邊形的邊和角的變化情況，體會圖形運動變化的過程，驗證同學們歸納的結論的正確性，給予學生直觀的感受?；顒尤?:問題：1.矩形和等腰梯形是

12、形狀不同的四邊形，為什么中點四邊形都由平行四邊形變化為菱形？2.平行四邊形變化為菱形需要增加什么條件？3 .你是從什么角度考慮的？4 .你從哪兒得到的啟發(fā)？5 .你能用你的發(fā)現解釋其它的圖形變化嗎？例如：原四邊形為菱形，其中點四邊形為矩形？活動目的：以問題用的形式引導學生逐步深入思考，前2個問題的設置幫助學生回憶特殊四邊形的性質與判定定理，第3、4個問題幫助學生揭示變化的原因：矩形和等腰梯形的對角線有相同的性質“對角線相等”，而且其它中點四邊形的變換也和原四邊形的對角線有關系。有了前4問的鋪設，第5個問題可以通過類比的思想解決；同時讓學生體會由一般到特殊再到一般的歸納思想方法，進一步提高學生的

13、數學表達能力?；顒拥淖⒁馐马棧哼@一環(huán)節(jié)緊緊圍繞“中點四邊形”再次提出問題用，是對上一活動的拓展。通過問題用的解答，使學生對決定中點四邊形形狀的因素更加明了。教師引導學生對研究的問題歸納總結。概括出規(guī)律:決定中點四邊形EFGH勺形狀的主要因素是原四邊形ABCDJ對角線的長度和位置關系(1)若對角線相等，則中點四邊形EFGHfc菱形;(2)若對角線互相垂直,則中點四邊形EFGHfc矩形；(3)若對角線既相等，又垂直，則中點四邊形EFG由正方形;圖 1-8-14(4)若對角線既不相等，又不垂直，則中點四邊形EFG附平行四邊形圖1-8-11圖1-8-12圖1-8-13這里讓學生通過歸納，學會把知識整理

14、成一個系統(tǒng)，也就是我們常要求的：教學過程貴在讓學生掌握學習的方法，讓學生真正地“會學”，既學法指導。這里正是滲透了這種思想。老師再次利用幾何畫板進行演示，讓學生們觀察中點四邊形的邊和角的變化情況，體會圖形運動變化的過程，驗證同學們歸納的結論的正確性，給予學生們直觀的感受。第四環(huán)節(jié)：學以致用活動容：（圖形發(fā)散練習）利用幾何畫板，拖動A點使四邊形ABCD勺圖形變化進行研究圖 1-8-16圖 1-8-17圖1-8-151-8-18活動目的：用動畫的形式讓同學們觀察四邊形的不斷變化過程中，中點四邊形的變化情況，體會變化中存在的不變的幾何關系：圖中幾何圖形的位置關系處在相互依存的狀態(tài)之中，靜態(tài)圖形只是動

15、態(tài)圖形在變化過程中的某一瞬間，意在培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力，提高學生研究數學的興趣和創(chuàng)新意識。在題目的設置上，采用逐步遞進的策略，其中圖1-8-15是ABC師凸四邊形，圖1-8-16是ABAD在同一線段上，圖1-8-17是ABCDfe凹四邊形，圖1-8-18是ABCDfe扭曲四邊形?；顒拥淖⒁馐马棧豪脦缀萎嫲逖菔?，學生們表現出了極大的學習興趣，學生們暢所欲言，互相補充完善，課堂氣氛異?；钴S。經過師生共同探索，得到結論：當ABC北上面的圖形時，四邊形EFGH5為平行四邊形。特別是圖1-8-18,學生理解有困難，老師引導學生轉換思考角度，即四邊形EFGhm以看作四邊形ADBC勺邊ADBC的中點和對角線ABCD的中點的四邊形，這樣就解決了問題。老師在這一環(huán)節(jié)中，對學習能力較弱的學生進行個別指導，對學生的回答給予充分的肯定和鼓勵，再一次增強了學生學習數學的自信心。第五環(huán)節(jié)：課堂小結活動容：1 .本節(jié)課重點學習了什么知識，應用了哪些數學思想和方法？2 .通過本節(jié)課的學習你有哪些收獲？在今后的學習過程中應該怎么做？活動目的：培養(yǎng)學生的歸納能力，使學生形成完整的知識結構，總結研究數學問題的一股方法。活動的注