比的應(yīng)用綜合講義

1、比的應(yīng)用綜合講義基礎(chǔ)知識整理1. 比的意義：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。它表示兩個(gè)量之間的倍比關(guān)系。2. 求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以比的后項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是比值。比值可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。3. 比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系：比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)、分子；比的后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)、分母；比值相當(dāng)于商、分?jǐn)?shù)值；比號相當(dāng)于除號、分?jǐn)?shù)線。因?yàn)槌龜?shù)和分母不能為0，所以比的后項(xiàng)也不能為0.4. 最簡整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，并且比的前項(xiàng)和后項(xiàng)的最大公因數(shù)是15. 比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），比值不變。6. 化簡比的方法：整數(shù)比的化簡；分?jǐn)?shù)比的化簡；小數(shù)比的化簡。7

2、. 化簡比的注意事項(xiàng)：在化簡比的過程中必須保證比值不變，且最后結(jié)果仍然是兩個(gè)數(shù)的比。8. 化簡比和求比值的區(qū)別：化簡比的最終結(jié)果是一個(gè)比；求比值的結(jié)果是一個(gè)數(shù)，可以是整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)9. 按比分配：根據(jù)兩個(gè)數(shù)的比，可以先求出其中一個(gè)數(shù)占這兩個(gè)數(shù)總和的幾分之幾，然后用乘法來求出每個(gè)部分量的具體數(shù)量。10. 三角形內(nèi)角度數(shù)比與三角形形狀的關(guān)系：60° 60 ° 60 °)30° 60 ° 90 °)36° 72 ° 72 °)45° 45 ° 90 °) 1:1:1等邊三角形 1

3、:2:3直角三角形 1:2:2等腰三角形 1:1:2等腰直角三角形注意：我們只可以利用上面的內(nèi)角度數(shù)比得出三角形的形狀，但不可以利用三角形的形狀得出三角形的內(nèi)角度數(shù)比。重點(diǎn)題型演練例1.甲數(shù)的與乙數(shù)的相等，求甲數(shù)和乙數(shù)的比？解析：由題意可知：甲X二乙X可以假設(shè)它們的積為1,則甲=3,乙等于2。則甲數(shù)與乙數(shù)的比為3:2小提示：在做這類題型時(shí)，可以把它們的積假設(shè)為一個(gè)數(shù)，然后求出甲、乙具體的量。例2.甲、乙兩個(gè)數(shù)的和是140,甲、乙兩數(shù)的比是3:2,求甲、乙兩數(shù)各是多少？解析：歸一法：因?yàn)榧?、乙兩?shù)的比是3:2,那么可以把甲、乙兩數(shù)的和看作3+2=5份，也就是說把甲、乙兩數(shù)的和平均分成5份，每一份

4、的值為140+5=28甲數(shù)占了其中的3份，則甲數(shù)為28X3=84;乙數(shù)占了其中的2份，則甲數(shù)為28X2=56。分?jǐn)?shù)法：因?yàn)榧?、乙兩?shù)的比是3:2,那么可以把甲、乙兩數(shù)的和看作3+2=5份。其中甲數(shù)占了總數(shù)的，乙數(shù)占了總數(shù)的。則甲數(shù)為140X=84乙數(shù)為140X=56例3.甲、乙兩數(shù)的比是5:3,甲數(shù)比乙數(shù)大16。甲、乙兩數(shù)分別是多少？解析：因?yàn)榧?、乙兩?shù)的比是5:3,則可以把甲數(shù)看作5份，乙數(shù)看作3份，那么甲數(shù)比乙數(shù)多（5-3）=2份。又因?yàn)榧讛?shù)比乙數(shù)大16,則每一份為16+2=8。甲數(shù)占了5份，則甲數(shù)為8X5=40;乙數(shù)占了3份，則甲數(shù)為3X8=24。例4.一個(gè)長方形的周長是480米，它的長

5、和寬的比是2:1,這個(gè)長方形的長和寬各是多少？解析：長方形的周長公式為（長+寬）X2,要計(jì)算長方形的長和寬各是多少，首先要計(jì)算出一條長和一條寬的和是多少，即用周長除以2,然后按比分配。一條長與一條寬的和：480+2=240（米）長與寬的比是2:1,則可以吧長和寬的和看作1+2=3（份）240+3=80（米）長：80X2=160（米）寬：80X1=80（米）例5.A和B的比是7:6,B和C的比是5:4。求A、B、C的比？解析：此題是考察將兩個(gè)單比化成連比的方法。兩個(gè)含有公共部分的單比我們可以寫成三個(gè)量的連比。方法：找出公共部分兩個(gè)量的最小公倍數(shù)，在兩個(gè)單比中，根據(jù)比的性質(zhì)，將公共部分換成所求出來

6、的最小公倍數(shù)的這個(gè)數(shù)（要注意前項(xiàng)和后項(xiàng)的位置）；兩個(gè)單比中公共部分的量相一致時(shí)，就可以直接將兩個(gè)單比寫成連比形式。公共部分的量為B,在兩個(gè)比中分別對應(yīng)的是6和5,則6和5的最小公倍數(shù)為30.A:B=7:6=（7X5）:（6X5）=35:30B:C=5:4=（5X6）:（4X6）=30:24則A:B:C=35:30:24例6.甲校和乙校的人數(shù)比是3:5,如果從甲校轉(zhuǎn)入乙校150人，則甲校和乙校的人數(shù)比是3:7,求原來甲、乙兩校各多少人？解析：在解決此類問題時(shí)，我們首先要明確不管甲校轉(zhuǎn)入乙校多少人，兩個(gè)學(xué)校在轉(zhuǎn)入前和轉(zhuǎn)入后總?cè)藬?shù)沒有發(fā)生變化。那么我們就要抓住這一特點(diǎn)進(jìn)行分析，只要計(jì)算出兩個(gè)學(xué)校的總

7、人數(shù)，然后再按比分配。轉(zhuǎn)入前：因?yàn)榧仔：鸵倚５娜藬?shù)比是3:5,則甲校占兩?？?cè)藬?shù)的轉(zhuǎn)入后：因?yàn)榧仔：鸵倚５娜藬?shù)比是3:7,則甲校占兩校總?cè)藬?shù)的則轉(zhuǎn)入前和轉(zhuǎn)入后甲校減少了兩?？?cè)藬?shù)的（-）因?yàn)榧仔Ｔ谵D(zhuǎn)入前和轉(zhuǎn)入后人數(shù)減少了150人，則兩校總?cè)藬?shù)：150+（-）=2000（人）原來甲校人數(shù)：2000X750（人）原來乙校人數(shù)：2000X=1250（人）例7.一段路分為上坡、平路、下坡三段，各段的路程比是1:2:3,走這三段路所用的時(shí)間比是4:5:6。已知上坡速度是每小時(shí)3千米，這段路全長12千米，走完這段路一共用多少小時(shí)？解析：要計(jì)算走完這段路一共用了多少小時(shí)，只要計(jì)算出每段路所用的時(shí)間，把它們相

8、加就行。要計(jì)算每段路的時(shí)間，就先要計(jì)算出每段路的路程和速度，那么我們就要從題目中已知的量入手。因?yàn)樯掀?、平路、下坡各段的路程比?:2:3,全長是12千米，可先算出每段路的路程。又知道上坡的速度，可以算出上坡的時(shí)間，再根據(jù)三段路的時(shí)間比，可算出一共用的時(shí)間。解題過程：1+2+3=612-6=2（千米）上坡路程為：2X1=2（千米）平路路程：2X2=4（千米）下坡路程：2X3=6（千米）則上坡時(shí)間為：2+3=（小時(shí)）因?yàn)槿温返臅r(shí)間比是4:5:6則平路時(shí)間為:+4X5=（小時(shí)）下坡時(shí)間為:1 （小時(shí)）總時(shí)間為：上坡時(shí)間+平路時(shí)間+下坡時(shí)間=+ 1=2.5 （小時(shí)）例8.兩個(gè)盒子里都裝有水果糖和奶

9、糖，且兩盒糖的質(zhì)量相等。一個(gè)盒子里水果糖和奶糖的質(zhì)量比是3:2,另一個(gè)盒子里水果糖和奶糖的質(zhì)量比是1:5,若把兩個(gè)盒子混合在一起，則水果糖和奶糖的質(zhì)量比是多少？解析：要計(jì)算混合后水果糖和奶糖的質(zhì)量比，首先要計(jì)算出兩盒糖在混合之前水果糖和奶糖的質(zhì)量各是多少，但是題中并沒有告訴我們兩盒糖的質(zhì)量具體是多少，從題中現(xiàn)有的已知量中我們是無法計(jì)算出結(jié)果的，但是我們又發(fā)現(xiàn)題目所求的結(jié)果是兩個(gè)量之間的比，跟這兩個(gè)量的具體數(shù)量是沒有關(guān)系的，這時(shí)候我們就可以采用設(shè)數(shù)法，將題目中缺少的量設(shè)成一個(gè)已知的量，然后再作答。解題過程：設(shè)每盒糖的質(zhì)量都是30千克。第一盒：水果糖：30 X18 （千克） 奶糖：30X 12 （

10、千克）第二盒：水果糖：30X5（千克）奶糖：30X25（千克）混合后：水果糖的質(zhì)量：18+5=23（千克）奶糖的質(zhì)量：12+25=37（千克）則混合后水果糖和奶糖的質(zhì)量比是23:37設(shè)數(shù)法：在解一些數(shù)學(xué)題時(shí)，常常會遇到一些看起來好像缺少條件的題目，按照常規(guī)解法似乎無解，但仔細(xì)分析就會發(fā)現(xiàn)題目中缺少的條件對于答案并無影響，這時(shí)我們就可以采用“設(shè)數(shù)法”，即對題目中“缺少”的條件先設(shè)一個(gè)數(shù)代入（設(shè)的這個(gè)數(shù)要盡量方便計(jì)算，在此題中選用兩個(gè)比的份數(shù)和的最小公倍數(shù)）.再解答。例9 .小強(qiáng)的速度比小剛慢 比？，小剛的速度比小林慢,求他們?nèi)说乃俣冉馕觯阂驗(yàn)樾?qiáng)的速度比小剛慢，則小強(qiáng)的速度是小剛的（1-）則小

11、強(qiáng)和小剛的速度比是9:10又因?yàn)樾偟乃俣缺刃×致?，則小剛的速度是小林的（1-）則小剛和小林的速度比是9:10所以小強(qiáng)、小剛、小林的速度比為81:90:100三、習(xí)題演練（每一個(gè)例題配一道練習(xí)，參照例題仔細(xì)思考，保證每題掌握）1 .甲數(shù)的與乙數(shù)的相等，求甲數(shù)和乙數(shù)的比？2 .甲、乙兩數(shù)的和是1200,甲數(shù)和乙數(shù)的比是1:19,求甲、乙兩數(shù)各是多少？3 .一個(gè)減法算式中，減數(shù)與差的比是4:3,已知被減數(shù)是14,減數(shù)和差各是多少?4 .一個(gè)長方體框架的棱長總合是36分米，長、寬、高的比是3:2:1,求這個(gè)長方體的長、寬、高各是多少分米？5 .A和B的比是4:7,B和C的比是5:8,求A、B、C的比是多少？6 .甲校和乙校的人數(shù)比是2:3,如果從甲校轉(zhuǎn)入乙校200人，則甲校和乙校的比是3:7.求原來甲、乙兩校各多少人？7 .一段