求二次函數(shù)解析式的幾種方法

1、沁樂教育沁心學(xué)習(xí)樂在其中2015年秋季九年級(jí)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)資料第二講函數(shù)圖像性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)校:姓名：二次函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)(一)、知識(shí)點(diǎn)回顧【知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的基本性質(zhì)】2y=axy=ax2+k,.、2y=a(xh)y=a(xh)2+ky=ax2+bx+c開口方向頂點(diǎn)對(duì)稱軸最值增減性【知識(shí)點(diǎn)二：拋物線的圖像與a、b、c關(guān)系】(1) a決定拋物線的開口方向：a>0,開口向;a<0,開口向(2) c決定拋物線與的位置：c>0,圖像與y軸的交點(diǎn)在;c=0,圖像與y軸的交點(diǎn)在;c<0,圖像與y軸的交點(diǎn)在;(3) a,b決定拋物線對(duì)稱軸的位置，我們總結(jié)簡(jiǎn)稱為：;(4) =b24ac決

2、定拋物線與交點(diǎn)情況：0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)=b2-4acoWx軸有一個(gè)交點(diǎn)0與x軸沒有交點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)的平移】設(shè)m0,n0,將二次函數(shù)yax2向右平移m個(gè)單位得到；向左平移m個(gè)單位得到;向上平移n個(gè)單位得到；向下平移n個(gè)單位得到。簡(jiǎn)單總結(jié)為,。(注意：要用以上方法對(duì)二次函數(shù)圖象進(jìn)行平移，要先化成頂點(diǎn)式再操作)【知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系】二次函數(shù)yax2bxc(a0),當(dāng)y0時(shí)，即變?yōu)橐辉畏匠?2axbxc0(a0),從圖象上來說，二次函數(shù)yaxbxc(a0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的值就是方程ax2bxc0(a0)的根?！局R(shí)點(diǎn)五：二次函數(shù)解析式的求法】(1) 知拋物

3、線三點(diǎn)，可以選用一般式：yax2bxc,把三點(diǎn)代入表達(dá)式列三元一次方程組求解；(2) 知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸、最大(小)值可選用頂點(diǎn)式：ya(xh)2k；其中拋物線頂點(diǎn)是(h,k)；(3)知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,0),(x2,0)可選用交點(diǎn)式：ya(xxi)(xx?),特別：此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為直線1 ,、x-(xix2)2(二)、感悟與實(shí)踐例1:(1)求二次函數(shù)y=x24x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.(2)已知二次函數(shù)y=-2x2-8x-6,當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)x=時(shí)，y有值是.變式練習(xí)1-1:二次函數(shù)y=x2+mx中，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)值最大，求其最大值.例2：已知二次函數(shù)yax

4、2bxc(a0)的圖象如圖1所示，則有：(1) a0,b0,c0(2) b24ac0(3) a+b+c0(4) a-b+c031-變式練習(xí)2-1：已知二次函數(shù)y=ax，bx+c的圖象如圖2所示，其對(duì)稱軸x=-1,給出下列結(jié)果：b2>4ac;abc>0;2a+b=0;a+b+c>0;a-b+cv0,則正確的結(jié)論是()A、B、C、D、變式練習(xí)2-2：已知二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖3所示，那么一次函數(shù)ybxc和a反比例函數(shù)ya在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像大致是()CD例3:(2012?廣州)將二次函數(shù)y=x2的圖象向下平移一個(gè)單位，則平移以后的二次函數(shù)的解析式為()A.y=x

5、2-1B.y=x2+1C.y=(x-1)2D.y=(x+1)變式練習(xí)3-1:(2012泰安)將拋物線y3x2向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式為()A.y3(x2)23B.y3(x2)23C. y 3( x 2)2 3D. y 3(x 2)2 3例4:二次函數(shù) yx2 2x k的部分圖象如圖4所示，則關(guān)于 x的一元二次方程2x 2x k 0的一個(gè)解x1 3,另一個(gè)解x2=()A、 1 B、1C、 2D、 0圖4px q ( p 0)的圖象與x軸變式練習(xí)5-1:(2009廣州25)如圖6,二次函數(shù)yx2交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,1),zABC的面積為5.4(

6、1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用1，例1.已知拋物線y12x-x2(或yx22x3)2(1) 把它配方成ya(xh)2k的形式；(2) 寫出拋物線的開口方向，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程;(3)求函數(shù)的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的自變量的值(4)當(dāng)-2<xW1時(shí)，求函數(shù)y的最值4)當(dāng)1<x<4時(shí)，求函數(shù)y的取值范圍；(6)求出與y軸交點(diǎn)N的坐標(biāo)及與x軸的交點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)(點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊)7)作出函數(shù)的大致圖像8當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)值y隨x增大而增大，y隨x值的增大而減?。?9)圖像過點(diǎn)A(2,0)、B(0,y2)、C(6,D(4,y,)比較y,y2yy,的大小1

7、0)觀察圖象，當(dāng)x取何值時(shí)，y0，y0，y0；11)當(dāng)x取何值時(shí)，y<2;(12)求PQM的面積。13)求四邊形PQMN的面積22例2.已知拋物線yx2kxkk2，根據(jù)下列條件，求k的值。(1) 拋物線過原點(diǎn)；(2) 頂點(diǎn)在x軸上；(3) 頂點(diǎn)在y軸上；(4) 頂點(diǎn)在y軸左側(cè)；(5) 當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最小值；(6) 關(guān)于直線x=-1對(duì)稱;(7) 函數(shù)y的值恒大于0;(8) 頂點(diǎn)在x軸上方;(9) 拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)為1;8.如圖，拋物線yx2bxc與x軸交與A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn),(1)求該拋物線的解析式;(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是

8、否存在點(diǎn)Q,使彳QAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)巳使PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及PBC勺面積最大值.若沒有，請(qǐng)說明理由.二次函數(shù)應(yīng)用題歸類【基本思想】一、轉(zhuǎn)化思想實(shí)際問題中的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題。1、方案設(shè)計(jì)最優(yōu)問題：費(fèi)用最低？利潤(rùn)最大？?jī)?chǔ)量最大？等等。2、面積最優(yōu)化問題：全面觀察幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘出相應(yīng)的內(nèi)在聯(lián)系，列出包含函數(shù)，自變量在內(nèi)的等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，求最值問題。二、建模思想從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)、提出、抽象、簡(jiǎn)化、解決、處理問題的思維過程。1、建立圖像模型：自主建立

9、平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)造二次函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問題。2、方程模型和不等式模型：根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程或不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決問題。3、根據(jù)實(shí)際問題情境抽象出二次函數(shù)模型。三、運(yùn)動(dòng)思想圖像上的動(dòng)點(diǎn)問題及幾何圖形的形狀的確定。四、分類討論的思想二次函數(shù)與其他知識(shí)的綜合題時(shí)經(jīng)常用到?！咀钪档拇_定方法】1.二次函數(shù)在沒有范圍條件下的最值：2.12009四月調(diào)考】某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個(gè)。調(diào)查表明：這種書包的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少10個(gè)。(1)請(qǐng)寫出每月售出書包的利潤(rùn)y(元)與每個(gè)書包漲價(jià)x(元)間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)某月的利潤(rùn)為10000元，

10、此利潤(rùn)是否為該月的最大利潤(rùn)，請(qǐng)說明理由；(3)請(qǐng)分析并回答售價(jià)在什么范圍內(nèi)商家獲得的月利潤(rùn)不低于6000元？3 .某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元時(shí)，每個(gè)月可賣出100件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣2件.設(shè)每件商品的售價(jià)為x元(x為正整數(shù))，每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？最大的月利潤(rùn)是多少元？(3)當(dāng)售價(jià)的范圍是是多少時(shí)，使得每件商品的利潤(rùn)率不超過80%&每個(gè)月的利潤(rùn)不低于2250元？三、前期投入，虧損、盈利型4 .【2011年四月】杰瑞公司成立之初投資1

11、500萬(wàn)元購(gòu)買新生產(chǎn)線生產(chǎn)新產(chǎn)品，此外，生產(chǎn)每件該產(chǎn)品還需要成本60元。按規(guī)定，該產(chǎn)品售價(jià)不得低于100元/件且不得超過180元/件，該產(chǎn)品銷售量y(萬(wàn)件)與產(chǎn)品售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)第一年公司是盈利還是虧損？求出當(dāng)盈利最大或者虧損最小時(shí)的產(chǎn)品售價(jià)；(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或者虧損最小時(shí)，第二年公司重新確定產(chǎn)品售價(jià),能否使兩年共盈利達(dá)1340萬(wàn)元，若能，求出第二年產(chǎn)品售價(jià)；若不能，請(qǐng)說明理由。四、面積有關(guān)問題5 .【2010年中考】星光中學(xué)課外活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形生物苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長(zhǎng)

12、為30米的籬笆圍成。已知墻長(zhǎng)為18米(如圖所示)，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米。(1)若平行于墻的一邊長(zhǎng)為y米，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及其自變量x的取值范圍;(2)垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為多少米時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積最大，并求出這個(gè)最大值；苗圃園(3)當(dāng)這個(gè)苗圃園的面積不小于88平方米時(shí)，試結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出x的取值范圍。五、二次函數(shù)與建模(高頻型)6.R2015調(diào)考要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根2.25m的水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.，使水管頂端的坐標(biāo)為(0,2.2

13、5),水柱的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為R(1,3),求出此坐標(biāo)系中拋物形水柱對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫取值范圍)；(2)如圖；在水池底面上有一些同心圓軌道，每條軌道上安裝排水地漏，相鄰軌道之間的寬度為0.3m,最內(nèi)軌道的半徑為rm,其上每0.3m的弧長(zhǎng)上安裝一個(gè)地漏，其它軌道上的地漏個(gè)數(shù)與最內(nèi)軌道上的個(gè)數(shù)相同，水柱落地處為最外軌道，其上不安裝地漏，求當(dāng)r為多少時(shí)池中安裝的地漏的個(gè)數(shù)最多？六、細(xì)節(jié)變化、陷阱題9.中百超市每天購(gòu)進(jìn)一種水產(chǎn)品300千克，其進(jìn)貨成本(含運(yùn)輸費(fèi))是每千克3元，根據(jù)超市規(guī)定，這種水產(chǎn)品只能當(dāng)天銷售，并且每千克的售價(jià)不能超過10元，一天內(nèi)沒有銷售完的水產(chǎn)品只能按2元處理給食品深加工公司

14、，而且這種水產(chǎn)品每天的損耗率是10%根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查這種水產(chǎn)品每天在市場(chǎng)上的銷售量y(單位：千克，y>0)與每千克的銷售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示：960 元？(1)求出每天銷售量y與每千克銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)題中的分析：每天銷售利潤(rùn)w最多是多少元?(3)請(qǐng)你直接回答：當(dāng)每千克銷售價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)不低于【鞏固練習(xí)】A組：1.二次函數(shù)y=x2-2x-6的圖象開口方向,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對(duì)稱軸yx4x2、拋物線2與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是,一一23、二次函數(shù)y=(x1)2的圖像的對(duì)稱軸是直線.24、拋物線y=2x-bx+3的對(duì)

15、稱軸是直線x=1,則b的值為;若拋物線y=a(xh)2m形狀與它一樣，則a=5拋物線y(x2)23的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(2,3)B.(2,3)C.(2,3)D.(2,3)26二次函數(shù)y(x1)2的最小值是().2A.2B.1C.3D.-37拋物線y2(xm)2n(m,n是常數(shù))的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(m,n)B.(m,n)C.(m,n)D.(m,n)8、若拋物線yax2+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(m,m),則此拋物線也經(jīng)過點(diǎn)()A(-m,n)B(m,-n)C(n,m)D(-n,m)9、二次函數(shù)y3x26x5的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(18)B.(18)C.(1,2)D.(1,4)210、二次函數(shù)y(x1

16、)2的圖象上最低點(diǎn)的坐標(biāo)是A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)2211、若把代數(shù)式x22x3化為xmk的形式，其中m,k為常數(shù)，則mk=.12、已知A、B是拋物線yx24x3上位置不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可能是.(寫出一對(duì)即可)13、函數(shù)yx(23x),當(dāng)x為時(shí)，函數(shù)的最大值是；.2914、若二次函數(shù)y(m1)xmx2的取大值為一，則吊數(shù)m；4B組：1.向上發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y公尺，且時(shí)間與高度關(guān)系為y=ax2bxoC)若此炮彈在第7秒與第14秒時(shí)的高度相等，則再下列哪一個(gè)時(shí)間的高度是最高的?(D.第15秒。)D.x33函數(shù)

17、y(x2)(3x）取得最大值時(shí)，x()A只有一個(gè)交點(diǎn)B有兩個(gè)交點(diǎn)C沒有交點(diǎn)D交點(diǎn)數(shù)不確定5.（2010臺(tái)州）如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（1,4）和（4,4）,拋物線ya（xm）2n的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，與x軸交于則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為（）C.51a象.它們的頂點(diǎn)在一條直線上，這條直線的解析式是圖象構(gòu)成一個(gè)“拋物線系”.下圖分別是當(dāng)a0,a1,a2時(shí)二次函數(shù)的圖y.二次函數(shù)應(yīng)用題練習(xí)1.九五股份有限公司在漢口北投資新建了一商場(chǎng)，黃有商鋪30間，據(jù)預(yù)測(cè)，當(dāng)每間的年租金為10萬(wàn)元時(shí)，可全部租出；每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪一間，該公司要為租出的商鋪每年交各種費(fèi)用1萬(wàn)元，未租出的商鋪每間

18、每年交各種費(fèi)用5000元。A.第8秒2拋物線ya（x1）（x3）（a0）的對(duì)稱軸是直線（A.x14、已知二次函數(shù)yax2bxc若ac0,則其圖象與x軸的位置關(guān)系是C、D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為3,A.-3B.1D.8196.如圖，兩條拋物線y1x21、y22于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為27.（2010株洲|）已知二次函數(shù)yx2aa1（a為常數(shù)），當(dāng)a取不同的值時(shí)，其B.第10秒C.第12秒B.x1C.x312一、，一x1與分別經(jīng)過點(diǎn)22,0,2,0且平行DxyA(1,4)B(4,4)第5題圖第7題圖O（1）當(dāng)租金為13萬(wàn)元時(shí)，能租出多少間商鋪?(2)當(dāng)每間商鋪的年

19、租金定為多少時(shí)，該公司的年收益最大?(3)若公司要求收益不低于275萬(wàn)元，則年租金定在什么范圍?2 .一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系：y10x500.設(shè)經(jīng)銷商每月獲得利潤(rùn)為w(元)(1),當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少元？(2)如果經(jīng)銷商想要每月獲得2000元的利潤(rùn)，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?2<6 5)(3)根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，這種護(hù)眼臺(tái)燈的銷售單價(jià)不得高于32元，如果經(jīng)銷商想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？3 .如圖，足球場(chǎng)上守門員在處開出一高球，球從離地面1米

20、的處飛出(在軸上)，運(yùn)動(dòng)員乙在距點(diǎn)6米的處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)，距地面約4米高，球落地后又一次彈起.據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)算，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半.(1)求足球開始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的表達(dá)式.(2)足球第一次落地點(diǎn)距守門員多少米？(取4，37)(3)運(yùn)動(dòng)員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn)，他應(yīng)再向前跑多少米？(取4 .有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天.如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長(zhǎng)存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去.假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體質(zhì)量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)這種活蟹1000kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千

21、克30元，據(jù)測(cè)算，此后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種費(fèi)用為400元，且平均每天還有10kg蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部銷售出，售價(jià)都是每千克20元.(1)設(shè)x天后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)為p元，寫出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果放養(yǎng)x天后將活蟹一次性出售，并記1000kg蟹的銷售總額為Q元，寫出Q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(3)該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(rùn)(利潤(rùn)=Q-收購(gòu)總額)?5 .隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高.某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹木的利潤(rùn)與投資量成正比例關(guān)系，如圖12-所示；種植花卉的利潤(rùn)與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖12-所示(注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬(wàn)元)(1)分別求出利潤(rùn)與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲取的最大利潤(rùn)是多少？6 .一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖16所示），拱高6m,跨度20m,相鄰兩支柱間的距離均為5m.（1）將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中（如圖17所示），求拋物線的解析式;（2） 求 支 柱的長(zhǎng)度；（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是