江南中學(xué)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

1、.word格式,江南中學(xué)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題2012.4班級(jí)姓名成績(jī)、選擇題(每小題7分，共42分)1 .設(shè)/3+22+33+66=&+和+Jz,且x、y、z為有理數(shù).則xyz=().(A)3/4(B)5/6(C)7/12(D)13/182 .某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共有20道題.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每答對(duì)一題得5分，不答得0分，答錯(cuò)得-2分.已知這次測(cè)驗(yàn)中小強(qiáng)與小剛的累計(jì)得分相等，分?jǐn)?shù)是質(zhì)數(shù).則小強(qiáng)與小剛答題的情況是().(A)兩人答對(duì)的題數(shù)一樣多(B)兩人答對(duì)的題數(shù)相差2(C)兩人答對(duì)的題數(shù)相差4(D)以上三種情況都有可能3 .能判定四邊形ABCD菱形的條件是().(A)對(duì)角線(xiàn)AC平分對(duì)角線(xiàn)BD,且ACL

2、BD(B)對(duì)角線(xiàn)AC平分對(duì)角線(xiàn)BD,且/A=/C(C)對(duì)角線(xiàn)AC平分對(duì)角線(xiàn)BD,且平分/A、ZC(D)對(duì)角線(xiàn)AC平分/A、/C,且/A=/C4.已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a>0)與直線(xiàn)y=k(X-1)-t.無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，此拋物線(xiàn)與直線(xiàn)都只有一個(gè)公共點(diǎn).那么，拋物線(xiàn)4的解析式是().(A)y=x2(B)y=x2-2x(C)y=x2-2x+1(D)y=2x2-4x+25 .如圖，在ABC中，ZB為直角，ZA的平分線(xiàn)為AR邊BC上的中線(xiàn)為E,且點(diǎn)DE順次分BC成三段的比為1：2：3.則sin/BAC=().A222.3(A)12/13(B)4.3/9(C)2.6/5(D)LA_r一4

3、a：。/.c6 .已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=2kx+3-4k與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)A、B,P是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，PM/Lx軸于點(diǎn)M,PNLy軸于點(diǎn)N.則矩形OMPNT積的最大值至少為().(A)3(B)4(C)6(D)8二、填空題(每小題7分，共28分)7 .正方形ABC曲邊長(zhǎng)為5,E為邊BC上一點(diǎn)，使得BE=3.P是對(duì)角線(xiàn)BD上的一點(diǎn)，使得PE+PC勺值最小.則PB=.8.一個(gè)自行車(chē)輪胎，若安裝在前輪，則行駛5000km后報(bào)廢；若安裝在后輪，則行駛3000km后報(bào)廢.如果行駛一定路程后交換前、后輪胎，使一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么，最多可行駛km.9.已知方程x2+x-1=

4、0的兩個(gè)根為“、3:3 -3.則萬(wàn)十丁的值為10.如圖是一個(gè)掛在墻壁上時(shí)鐘的示意圖.O是其秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)中心，M是秒針的另一端，OM=10cm,l是過(guò)點(diǎn)。的鉛直直線(xiàn).現(xiàn)有一只螞蟻P在秒針OMi爬行，螞蟻P到點(diǎn)。的距離與M到l的距離f始終相等.1分鐘,專(zhuān)業(yè).專(zhuān)注y.word格式,的時(shí)間內(nèi)，螞蟻P被秒針OM攜帶的過(guò)程中移動(dòng)的路程（非螞蟻在秒針上爬行的路程）是cm.三.解答題11.（18分）某公司用480萬(wàn)元購(gòu)得某種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，再次投入資金1520萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)生產(chǎn)設(shè)備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工.已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品每件還需成本費(fèi)40元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)定在100元到00元之間較為合理.當(dāng)銷(xiāo)售

5、單價(jià)定為100元時(shí)，年銷(xiāo)售量為20萬(wàn)件；當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)超過(guò)100元，但不超過(guò)200元時(shí)，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格每增加10元，年銷(xiāo)售量將減少0.8萬(wàn)件；當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)超過(guò)200元，但不超過(guò)300元時(shí)，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格每增加10元，年銷(xiāo)售量將減少1萬(wàn)件.設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x（元），年銷(xiāo)售量為y（萬(wàn)件），年獲利為w（萬(wàn)元）.（1）直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（2）求第一年的年獲利w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明投資的第一年，該公司是贏利還是虧損？若贏利，最大利潤(rùn)是多少？若方損，最少萬(wàn)損是多少？（3）該公司希望到第二年底，兩年的總贏利不低于1842萬(wàn)元，請(qǐng)你確定此時(shí)銷(xiāo)售單價(jià)的范圍.在此情況下，要使產(chǎn)品銷(xiāo)售量最大，銷(xiāo)

6、售單價(jià)應(yīng)定為多少元？12.（16分）已知二次函數(shù)y=x2+2mx-n2.若此二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）,且記m,n+4兩數(shù)中較大者為P,試求P的最小值；（2）若mn變化時(shí)，這些函數(shù)的圖像是不同的拋物線(xiàn)，如果每條拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸都有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)作圓,證明：這些圓都經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)專(zhuān)業(yè).專(zhuān)注.word格式,13.（16分）實(shí)數(shù)x、y、z、w滿(mǎn)足x>y>z>w>0,且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值參考答案1. A.兩邊平方得3+.2+.3+6=x+y+z+2,xy+2,yz+2xz.根據(jù)有理數(shù)x、y、z的對(duì)

7、稱(chēng)性，可考慮方程組x+y+z=3,2,xy=2,2yz=.3,2xz=.6.解得x=1,y=1/2,z=3/2.此時(shí),xyz=3/4.2. D.根據(jù)題意，依次枚舉答對(duì)20道題、19道題、的各種可能發(fā)現(xiàn)：(1)小強(qiáng)與小剛可能都答對(duì)17題、答錯(cuò)1題、未答其余2題同得83分；(2)小剛與小強(qiáng)可能同得53分，不過(guò)一人答對(duì)13題、答錯(cuò)6題、1題未答，另一人答對(duì)11題、答錯(cuò)1題、其余各題未答(3)小剛與小強(qiáng)也可能同得23分，其中一人答對(duì)9題，其余各題答錯(cuò)，另一人答對(duì)5題、答錯(cuò)1題、其余各題未答.3. D.如圖4,AC平分BD,ACLBQAC也平分/A和/C,故可排除選項(xiàng)(A)、(C).而選項(xiàng)(B)的條件只

8、能推出四邊形ABC皿平行四邊形，故排除選項(xiàng)(B).'弋I""4. C./由y=ax2+bx+c,y=k(x-1)-k2/4得。ax2+(b-k)x+c+k+k2/4=0.由題設(shè)知，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則A=(b-k)2-4a(c+k+k2/4)=0,即(1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0.因?yàn)閗為任意實(shí)數(shù)，所以，拋物線(xiàn)的解析式為y=x2-2x+1.5. C.設(shè)BD=kAB=y,貝UDE=2x,EC=3x.由BD/DC=AB/AC彳導(dǎo)AC=5y.又AB"+B(C=AC2,即y2+(6x)2=(5y)2.所以，x2=2y2/3,sinZBAC=

9、6x/5y=2V6/5.6. C.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x。，y0),矩形OMPNJ面積為S.則xo>0,y0>0,S=xy0.因?yàn)辄c(diǎn)P(xo,y0)在y=2kx+3-4k上，所以，yo=2kxo+3-4k.專(zhuān)業(yè).專(zhuān)注故S=X0(2kx0+3-4k)=2kx20+(3-4k)x0.一一、2ec42k0-(3-4k)目口2c因止匕，S最大=,即16k-(24-8S最大)k+9=0.42k因?yàn)閗為實(shí)數(shù)，貝U有A=-（24-8S最大）2-4X16X會(huì)0.故|24-8S最大|>24.解得S最大>6或S最大W0（舍去）.當(dāng)S最大=6時(shí)，k=-3/4.7. 15,2/8.因?yàn)镻E+PC=

10、PE+PA所以，當(dāng)AP、E三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PE+PAt小.如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸.則lBD：y=x,lAE:3x+5y=15.所以，P（15/8,15/8）.故PB=15«2/8.8. 3750.設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1km的磨損量為k/5000,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為k/3000.又設(shè)一對(duì)新輪胎交換位置前走了xkm,交換位置后走了ykm.分別以一個(gè)輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程，有kx + ky j5000 3000kx 4 ky.3000 5000=k.兩式相加得=kx+y=3 750 (km9. .-7.

11、3 l ：,3 、工令 A=K+募 B=a由已知有a+3=-1,a3=-1.故B=(a+3)2-2a3=1+2=3.A+B=)=(a3+33)(1/a+1/3)=-4.由式、得A=-4-3=-7.10. 207t.是分別以O(shè)Q、OQ為直徑的兩個(gè)作l的垂線(xiàn)交。于點(diǎn)Q、Q.聯(lián) QOP.故/ OPQ=/ ONM=90.如圖，以點(diǎn)。為圓心、10cm為半徑作。.過(guò)M作MNLl于點(diǎn)N,過(guò)O結(jié)PQ1.則MN/OQ,/M=ZMOQ1.又因OM=OQMN=OP所以，OMN因此，點(diǎn)P在以O(shè)Q為直徑的圓上.同理，點(diǎn)P在以O(shè)Q為直徑的圓上.從而，螞蟻P在1分鐘的時(shí)間內(nèi)被秒針OM攜帶的過(guò)程中移動(dòng)的軌跡就圓.移動(dòng)的路程為

12、2X10X=20兀.11、(1)y=-2-x+28,100<x<200;25y=-x+32,200<x&300.10(2)當(dāng)100<x<200時(shí)，w=xy-40y-(1520+480).將y=-x+28代入式得w=x(-x+28)-40(x+28)-2000.252525整理得w=-(x-195)2-78.25當(dāng)200<xW300時(shí)，同理可得w=-(x-180)2-40.10故w=-(x-195)2-78,100WxW200;25w=-(x-180)2-40,200<x0300.10若100WxW200,當(dāng)x=195時(shí)，wna)=-78;若20

13、0<xW300時(shí)，Wmax<-80.故投資的第一年公司是虧損的，最少虧損為78萬(wàn)元.(3)依題意可知，第二年w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w=(x+28)(x-40),100wxw200;25w=(x+32)(x-40),200<x<300.10當(dāng)兩年總利潤(rùn)剛好為1842萬(wàn)元時(shí)，依題意得(-x+28)(x-40)-78=1842,25100wx<200或(-110x+32)(x-40)-78=1842,200<x<300.解得xi=190,x2=200.故當(dāng)190WxW200時(shí)，總利潤(rùn)不低于1842萬(wàn)元.由y=-2-x+28(100<x<200)

14、可知，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為190元時(shí)，銷(xiāo)售量最大.25212(1)由二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)(1,1MHm=n/2.注意至Um-(n+4)=n2/2-(n+4)=(n-2n-8)=(n-4)(n+2),22所以，P=n2/2,nw-2或n>4;P=n+4,-2<n<4.再利用函數(shù)圖像可知，當(dāng)n=-2時(shí)，Pmin=2.(2)圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(xi,0)、B(x2,0)、C(0,-n2).又xix2=-n2,若n=0,則與三個(gè)交點(diǎn)不符，故xix2=-n2<0.所以，xi、x2分在原點(diǎn)左右兩側(cè)又|x1x2|=n2X1,所以，存在點(diǎn)Pb(0,1)使得|OA|OB|=|OPo|OC|.故A、曰CP0四點(diǎn)共圓，即這些圓必過(guò)定點(diǎn)Po(0,1).13.設(shè)z=w+a,y=w+a+b,x=w+a+b+c.貝Ua、b、c>0,且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3