江南中學初中數學競賽題

1、.word格式,江南中學初中數學競賽題2012.4班級姓名成績、選擇題(每小題7分，共42分)1 .設/3+22+33+66=&+和+Jz,且x、y、z為有理數.則xyz=().(A)3/4(B)5/6(C)7/12(D)13/182 .某次數學測驗共有20道題.評分標準規(guī)定：每答對一題得5分，不答得0分，答錯得-2分.已知這次測驗中小強與小剛的累計得分相等，分數是質數.則小強與小剛答題的情況是().(A)兩人答對的題數一樣多(B)兩人答對的題數相差2(C)兩人答對的題數相差4(D)以上三種情況都有可能3 .能判定四邊形ABCD菱形的條件是().(A)對角線AC平分對角線BD,且ACL

2、BD(B)對角線AC平分對角線BD,且/A=/C(C)對角線AC平分對角線BD,且平分/A、ZC(D)對角線AC平分/A、/C,且/A=/C4.已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與直線y=k(X-1)-t.無論k取任何實數，此拋物線與直線都只有一個公共點.那么，拋物線4的解析式是().(A)y=x2(B)y=x2-2x(C)y=x2-2x+1(D)y=2x2-4x+25 .如圖，在ABC中，ZB為直角，ZA的平分線為AR邊BC上的中線為E,且點DE順次分BC成三段的比為1：2：3.則sin/BAC=().A222.3(A)12/13(B)4.3/9(C)2.6/5(D)LA_r一4

3、a：。/.c6 .已知在平面直角坐標系xOy中，直線y=2kx+3-4k與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于點A、B,P是線段AB上一點，PM/Lx軸于點M,PNLy軸于點N.則矩形OMPNT積的最大值至少為().(A)3(B)4(C)6(D)8二、填空題(每小題7分，共28分)7 .正方形ABC曲邊長為5,E為邊BC上一點，使得BE=3.P是對角線BD上的一點，使得PE+PC勺值最小.則PB=.8.一個自行車輪胎，若安裝在前輪，則行駛5000km后報廢；若安裝在后輪，則行駛3000km后報廢.如果行駛一定路程后交換前、后輪胎，使一對新輪胎同時報廢，那么，最多可行駛km.9.已知方程x2+x-1=

4、0的兩個根為“、3:3 -3.則萬十丁的值為10.如圖是一個掛在墻壁上時鐘的示意圖.O是其秒針的轉動中心，M是秒針的另一端，OM=10cm,l是過點。的鉛直直線.現有一只螞蟻P在秒針OMi爬行，螞蟻P到點。的距離與M到l的距離f始終相等.1分鐘,專業(yè).專注y.word格式,的時間內，螞蟻P被秒針OM攜帶的過程中移動的路程（非螞蟻在秒針上爬行的路程）是cm.三.解答題11.（18分）某公司用480萬元購得某種產品的生產技術后，再次投入資金1520萬元購買生產設備，進行該產品的生產加工.已知生產這種產品每件還需成本費40元，經過市場調研發(fā)現：該產品的銷售單價定在100元到00元之間較為合理.當銷售

5、單價定為100元時，年銷售量為20萬件；當銷售單價超過100元，但不超過200元時，每件產品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少0.8萬件；當銷售單價超過200元，但不超過300元時，每件產品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少1萬件.設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利為w（萬元）.（1）直接寫出y與x之間的函數關系式.（2）求第一年的年獲利w與x之間的函數關系式，并說明投資的第一年，該公司是贏利還是虧損？若贏利，最大利潤是多少？若方損，最少萬損是多少？（3）該公司希望到第二年底，兩年的總贏利不低于1842萬元，請你確定此時銷售單價的范圍.在此情況下，要使產品銷售量最大，銷

6、售單價應定為多少元？12.（16分）已知二次函數y=x2+2mx-n2.若此二次函數的圖像經過點（1,1）,且記m,n+4兩數中較大者為P,試求P的最小值；（2）若mn變化時，這些函數的圖像是不同的拋物線，如果每條拋物線與坐標軸都有三個不同的交點，則過這三個交點作圓,證明：這些圓都經過同一定點，并求出該定點的坐標專業(yè).專注.word格式,13.（16分）實數x、y、z、w滿足x>y>z>w>0,且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值參考答案1. A.兩邊平方得3+.2+.3+6=x+y+z+2,xy+2,yz+2xz.根據有理數x、y、z的對

7、稱性，可考慮方程組x+y+z=3,2,xy=2,2yz=.3,2xz=.6.解得x=1,y=1/2,z=3/2.此時,xyz=3/4.2. D.根據題意，依次枚舉答對20道題、19道題、的各種可能發(fā)現：(1)小強與小剛可能都答對17題、答錯1題、未答其余2題同得83分；(2)小剛與小強可能同得53分，不過一人答對13題、答錯6題、1題未答，另一人答對11題、答錯1題、其余各題未答(3)小剛與小強也可能同得23分，其中一人答對9題，其余各題答錯，另一人答對5題、答錯1題、其余各題未答.3. D.如圖4,AC平分BD,ACLBQAC也平分/A和/C,故可排除選項(A)、(C).而選項(B)的條件只

8、能推出四邊形ABC皿平行四邊形，故排除選項(B).'弋I""4. C./由y=ax2+bx+c,y=k(x-1)-k2/4得。ax2+(b-k)x+c+k+k2/4=0.由題設知，方程有兩個相等的實根，則A=(b-k)2-4a(c+k+k2/4)=0,即(1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0.因為k為任意實數，所以，拋物線的解析式為y=x2-2x+1.5. C.設BD=kAB=y,貝UDE=2x,EC=3x.由BD/DC=AB/AC彳導AC=5y.又AB"+B(C=AC2,即y2+(6x)2=(5y)2.所以，x2=2y2/3,sinZBAC=

9、6x/5y=2V6/5.6. C.設點P的坐標為(x。，y0),矩形OMPNJ面積為S.則xo>0,y0>0,S=xy0.因為點P(xo,y0)在y=2kx+3-4k上，所以，yo=2kxo+3-4k.專業(yè).專注故S=X0(2kx0+3-4k)=2kx20+(3-4k)x0.一一、2ec42k0-(3-4k)目口2c因止匕，S最大=,即16k-(24-8S最大)k+9=0.42k因為k為實數，貝U有A=-（24-8S最大）2-4X16X會0.故|24-8S最大|>24.解得S最大>6或S最大W0（舍去）.當S最大=6時，k=-3/4.7. 15,2/8.因為PE+PC=

10、PE+PA所以，當AP、E三點共線時，PE+PAt小.如圖，建立直角坐標系，設B為坐標原點，BA為x軸.則lBD：y=x,lAE:3x+5y=15.所以，P（15/8,15/8）.故PB=15«2/8.8. 3750.設每個新輪胎報廢時的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1km的磨損量為k/5000,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為k/3000.又設一對新輪胎交換位置前走了xkm,交換位置后走了ykm.分別以一個輪胎的總磨損量為等量關系列方程，有kx + ky j5000 3000kx 4 ky.3000 5000=k.兩式相加得=kx+y=3 750 (km9. .-7.

11、3 l ：,3 、工令 A=K+募 B=a由已知有a+3=-1,a3=-1.故B=(a+3)2-2a3=1+2=3.A+B=)=(a3+33)(1/a+1/3)=-4.由式、得A=-4-3=-7.10. 207t.是分別以OQ、OQ為直徑的兩個作l的垂線交。于點Q、Q.聯 QOP.故/ OPQ=/ ONM=90.如圖，以點。為圓心、10cm為半徑作。.過M作MNLl于點N,過O結PQ1.則MN/OQ,/M=ZMOQ1.又因OM=OQMN=OP所以，OMN因此，點P在以OQ為直徑的圓上.同理，點P在以OQ為直徑的圓上.從而，螞蟻P在1分鐘的時間內被秒針OM攜帶的過程中移動的軌跡就圓.移動的路程為

12、2X10X=20兀.11、(1)y=-2-x+28,100<x<200;25y=-x+32,200<x&300.10(2)當100<x<200時，w=xy-40y-(1520+480).將y=-x+28代入式得w=x(-x+28)-40(x+28)-2000.252525整理得w=-(x-195)2-78.25當200<xW300時，同理可得w=-(x-180)2-40.10故w=-(x-195)2-78,100WxW200;25w=-(x-180)2-40,200<x0300.10若100WxW200,當x=195時，wna)=-78;若20

13、0<xW300時，Wmax<-80.故投資的第一年公司是虧損的，最少虧損為78萬元.(3)依題意可知，第二年w與x之間的函數關系式為w=(x+28)(x-40),100wxw200;25w=(x+32)(x-40),200<x<300.10當兩年總利潤剛好為1842萬元時，依題意得(-x+28)(x-40)-78=1842,25100wx<200或(-110x+32)(x-40)-78=1842,200<x<300.解得xi=190,x2=200.故當190WxW200時，總利潤不低于1842萬元.由y=-2-x+28(100<x<200)

14、可知，當銷售單價定為190元時，銷售量最大.25212(1)由二次函數過點(1,1MHm=n/2.注意至Um-(n+4)=n2/2-(n+4)=(n-2n-8)=(n-4)(n+2),22所以，P=n2/2,nw-2或n>4;P=n+4,-2<n<4.再利用函數圖像可知，當n=-2時，Pmin=2.(2)圖像與坐標軸有三個不同的交點，可設交點坐標為A(xi,0)、B(x2,0)、C(0,-n2).又xix2=-n2,若n=0,則與三個交點不符，故xix2=-n2<0.所以，xi、x2分在原點左右兩側又|x1x2|=n2X1,所以，存在點Pb(0,1)使得|OA|OB|=|OPo|OC|.故A、曰CP0四點共圓，即這些圓必過定點Po(0,1).13.設z=w+a,y=w+a+b,x=w+a+b+c.貝Ua、b、c>0,且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3