Mathematica教程-4基本微積分

1、 基本微積分基本微積分 微積分里的求導(dǎo)函數(shù)、求不定積分、級(jí)微積分里的求導(dǎo)函數(shù)、求不定積分、級(jí)數(shù) 展 開(kāi) 等 都 是 最 典 型 的 符 號(hào) 演 算 。數(shù) 展 開(kāi) 等 都 是 最 典 型 的 符 號(hào) 演 算 。Mathematica系統(tǒng)提供了一批做這些演算系統(tǒng)提供了一批做這些演算的函數(shù)，有些可以直接從工具欄中輸入的函數(shù)，有些可以直接從工具欄中輸入（工具欄由（工具欄由File-Plaettes-Basic Input激激活）?；睿?極限極限求極限的函數(shù)是求極限的函數(shù)是Limit，格式為：，格式為：Limitexpr,x-x0當(dāng)x趨向于x0時(shí)求expr的極限Limitexpr,x-x0,Direc

2、tion-1當(dāng)x趨向于x0時(shí)求expr的左極限Limitexpr,x-x0,Direction-1當(dāng)x趨向于x0時(shí)求expr的右極限例：求下列極限例：求下列極限0sin5sin3limsinxxxx 1:5 *in 3 */,0InLimitSinxSxSinxx12Outlim arctanxxlim arctanxx 6:,InLimit ArcTan xxInfinity62PiOut 7:,InLimitArcTan xxInfinity 72PiOut10lim 6xx10lim 6xx 2:61 /,0,1InLimitxxDirection2OutInfinity3:61/,0,

3、1InLimitxxDirection30OutMathematica可以求出任意函數(shù)表達(dá)式的微商，格可以求出任意函數(shù)表達(dá)式的微商，格式列表如下：（有些運(yùn)算可從工具欄中直接輸入式列表如下：（有些運(yùn)算可從工具欄中直接輸入 ） 微商微商求導(dǎo)運(yùn)算求導(dǎo)運(yùn)算 D函數(shù)，自變量函數(shù)，自變量或者或者fx 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) D函數(shù)，函數(shù)，自變量，自變量，2或者或者fx 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) D函數(shù)，函數(shù)，自變量，求導(dǎo)階數(shù)自變量，求導(dǎo)階數(shù)例：求下列函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)例：求下列函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)3cosyxx1:3 * ,InDxCos xx2313 Outx Cos xx Sin xln lnyx2: ,InDLog Log

4、 xx12 OutxLog x例：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)8yx3:8,2InDxx6356Outx21arctanyxx4:12 *,2InDxArcTanxx2242 1xOutArcTan xx.假設(shè)a是常數(shù)可以對(duì)sinax求導(dǎo) .求二元函數(shù)f(x,y)=x2*y+y2對(duì)x,y 的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)Mathematica可以求函數(shù)式未知的函數(shù)微分 對(duì)鏈?zhǔn)綄?dǎo)法則同樣可用要得到函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值,可以把這點(diǎn)代入導(dǎo)數(shù) 全微分Dtf求全微分dfDtf,xDtf,x1,x2,Dtf,x,Constants-c1,c2,.求全微分其中c1,c2.是常數(shù)求x2+y2的偏微分和全微分

5、 看出第一種情況y與x沒(méi)有關(guān)系，第二種情況y是x的函數(shù) In1:=Dtx2+x y3+y z,Constants-zOut1= 求多項(xiàng)式x2+xy3+yz的全微分并假定z是常數(shù) 2 x Dt x, Constantszy3Dt x, Constantsz3 x y2Dt y, Constantszz Dt y, Constantsz求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 求不定積分的函數(shù)是求不定積分的函數(shù)是Integrate。格式為：。格式為： Integratefx,x（x為積分變量）為積分變量） 或用工具欄，輸入不定積分或用工具欄，輸入不定積分 積分積分 dxxf)(定積分也是用定積分也是用Integrate做，

6、命令為：做，命令為： Integratefx,x,a,b或用工具欄，輸入定積分或用工具欄，輸入定積分badxxf)( 并不是所有的不定積分都能求出來(lái)。例如若求 Mathematica就無(wú)能為力。但對(duì)于一些手工計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜的不定積分MatheMatica還是能輕易求得， 例如求 積分示例積分變量的形式也可以是一函數(shù) 在被積函數(shù)中出現(xiàn)的除積分變量外的函數(shù)，當(dāng)作常數(shù)處理 廣義積分 對(duì)廣義積分，如果無(wú)法判定斂散性，就給出一個(gè)提示 如果廣義積分?jǐn)可⑿耘c某個(gè)符號(hào)的取值有關(guān)，它也能給出在不同情況下的積分結(jié)果結(jié)果的意義是當(dāng)|p|1時(shí)，積分值為1/1-p,否則不收斂。 Integrate中可加兩個(gè)參數(shù)Assum

7、ptions 和 GenerateConditions。在上例中，只要用Assumptions-Rep1就可以得到收斂情況的解數(shù)值積分 它的命令格式為 Nintegratef,x,a,b 在a,b上求f數(shù)值積分 Nintegratef,x,a,x1,x2,b 以x1,x2.為分割求a,b上的數(shù)值積分 Nintegratef,x,a,b,MaxRecursion-n 求數(shù)值積分時(shí)指定迭代次數(shù)n. 如果積分函數(shù)存在不連續(xù)點(diǎn)，或存在奇點(diǎn)，則可對(duì)積分進(jìn)行分段求解。例如函數(shù) 在-1，1上，顯然x=0點(diǎn)是一個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)。因此若要求其數(shù)值積分，必須在其中插入點(diǎn)0對(duì)無(wú)窮積分，也可求數(shù)值積分 重積分 計(jì)算重積分

8、： 微分方程解微分方程解 Dsolveeqn,yx,x 求解微分方程 yx Dsolveeqn,y,x 求解微分方程函數(shù) yDsolveeqn1,eqn2,y1,y2,.,x 求解微分方程組 解yx僅適合其本身，并不適合于yx的其它形式，如yx，y0等，也就是說(shuō)yx不是函數(shù)。例如我們?nèi)绻腥缦虏僮鳎瑈x,y0并沒(méi)有發(fā)生變化 解的純函數(shù)形式解的純函數(shù)形式這里y適合y的所有情況 求微分方程組求微分方程組當(dāng)然微分方程組也有純函數(shù)形式 帶初始條件的微分方程的解 對(duì)于簡(jiǎn)單的微分方程的解比較簡(jiǎn)單，對(duì)一些微分方程它的解就復(fù)雜的多。特別是對(duì)一些微分方程組或高階微分方程，不一定能得具體的解，其解中可能含有一些特

9、殊函數(shù)。并且很多特殊函數(shù)的提出就是為了解這些方程的對(duì)于非線(xiàn)性微分方程，僅有一些特殊的情況可用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)得到解。Dsolve能夠處理所有在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)手冊(cè)有解的非線(xiàn)性微分方程 在Mathematica中用函數(shù)DSolve得到微分方程的準(zhǔn)確解，用函數(shù)NDSolve得到微分方程的數(shù)值解，當(dāng)然在此處要給出求解區(qū)間（x,xmin,xmax）。 NDSolve也是既能計(jì)算單個(gè)的微分方程，也能計(jì)算聯(lián)立微分方程組。它能對(duì)大多數(shù)的常微分方程和部分偏微分方程求解 微分方程的數(shù)值解微分方程的數(shù)值解 NDSolveeqn1,eqn2,y,x,xmin,xmax：求函數(shù)y的數(shù)值解，x屬于xmin,xmaxNDSolvee

10、qnl,eqn2,，y1,y2,x,xmin,xmax 求多個(gè)函數(shù)yi的數(shù)值解 NDSolve以InterpolatingFunction 函數(shù)生成函數(shù)yi的解，InterpolatingFunction函數(shù)提供在獨(dú)立變量x的xmin到xmax范圍內(nèi)的近似值。NDSolve用迭代法求解，它以某一個(gè)x值開(kāi)始，盡可能覆蓋從xmin到xmax的全區(qū)間。為使迭代開(kāi)始，NDSolve指定yi及其導(dǎo)數(shù)為初始條件。初始條件給定某定點(diǎn)x處的yix及盡可能的導(dǎo)數(shù)yix，一般情況下，初始條件可在任意x處，NDSolve將以此為起點(diǎn)自動(dòng)覆蓋xmin到xmax的全區(qū)域。 下面對(duì)初始條件y0=0和y1=0分別求出x從0

11、到1的范圍內(nèi)yx=yx的解。再看下面的微分方程的數(shù)值解 使用Mathematica頁(yè)可以很容易的得到解的圖形。 這兒給出如何觀(guān)察微商的逆函數(shù)的近似值圖形。我們使用命令Evaluate代替InterpolatingFunction，這樣能夠節(jié)省時(shí)間。 多重積分與數(shù)值積分多重積分與數(shù)值積分 用用Integrate還可以做多重積分，如二重還可以做多重積分，如二重積分的格式為：積分的格式為： Integratefx,y,y,c,d,x,a,b如：如：Integratex2+y2,x,0,a,y,0,x在在Mathematica里求數(shù)值積分的函數(shù)是里求數(shù)值積分的函數(shù)是NIntegrate，舉個(gè)例子：，舉

12、個(gè)例子： NIntegrateSinSinx,x,0,Pi 冪級(jí)數(shù)（泰勒公式）展開(kāi)冪級(jí)數(shù)（泰勒公式）展開(kāi) 一個(gè)函數(shù)描述了在某個(gè)區(qū)域內(nèi)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一個(gè)函數(shù)描述了在某個(gè)區(qū)域內(nèi)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有時(shí)考察一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)附近的性質(zhì)時(shí)，可以用有時(shí)考察一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)附近的性質(zhì)時(shí)，可以用一個(gè)有限次的多項(xiàng)式作為這個(gè)函數(shù)的近似，這就是一個(gè)有限次的多項(xiàng)式作為這個(gè)函數(shù)的近似，這就是冪級(jí)數(shù)展開(kāi)（冪級(jí)數(shù)展開(kāi)（Taylor展開(kāi)）的意義。展開(kāi)）的意義。Mathematica可以非常方便地求出任一個(gè)復(fù)雜函數(shù)表達(dá)式的任意可以非常方便地求出任一個(gè)復(fù)雜函數(shù)表達(dá)式的任意階冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。運(yùn)算格式：階冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。運(yùn)算格式：Seriesfx

13、,x,x0,n：表示表示f(x)在在x=x0做做Taylor展開(kāi)至展開(kāi)至 階階(帶余項(xiàng)）。帶余項(xiàng)）。 若要去余項(xiàng)，用函數(shù)若要去余項(xiàng)，用函數(shù)NormalNormal實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)，如 s=SeriesSinx,x,0,10 ，f1=Normals nxx)(0 求函數(shù)極小值的格式為：求函數(shù)極小值的格式為：FindMinimumf,x,x0：以：以x=x0作為初始值，作為初始值，求函數(shù)求函數(shù)f的最小值的最小值 FindMinimumf,x,x0,y,y0,：求多變量：求多變量函數(shù)的最小值函數(shù)的最小值 求最大值，可以先求出求最大值，可以先求出-f的最小值，從而可得的最小值，從而可得到到f的最大值。的最大值

14、。 求函數(shù)的極小值求函數(shù)的極小值用用Sumf,i,a,b,di可求數(shù)列的和，可求數(shù)列的和，自變量自變量i以以di遞增，遞增，di=1時(shí)可略時(shí)可略 。 Sumf,i,a,b,j,c,d：表示：表示 求和求和baidcjf函數(shù)的擬合（函數(shù)的擬合（1） 做數(shù)據(jù)處理時(shí)希望用一個(gè)函數(shù)去反映做數(shù)據(jù)處理時(shí)希望用一個(gè)函數(shù)去反映客觀(guān)的數(shù)據(jù)，這叫函數(shù)擬合。做擬合是客觀(guān)的數(shù)據(jù)，這叫函數(shù)擬合。做擬合是要發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的某種規(guī)律性，找出這種要發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的某種規(guī)律性，找出這種規(guī)律性的表達(dá)式，或者從實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得到規(guī)律性的表達(dá)式，或者從實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得到有關(guān)數(shù)學(xué)模型的參數(shù)，然后就可以用表有關(guān)數(shù)學(xué)模型的參數(shù)，然后就可以用表示式或模型預(yù)測(cè)可

15、能的結(jié)果。示式或模型預(yù)測(cè)可能的結(jié)果。Mathematica中，最基本的擬合操作是中，最基本的擬合操作是Fit ，即利用最小二乘（平方）法，將數(shù)，即利用最小二乘（平方）法，將數(shù)據(jù)與要擬合的函數(shù)做分析運(yùn)算，以求出據(jù)與要擬合的函數(shù)做分析運(yùn)算，以求出最接近或最能表示數(shù)據(jù)趨勢(shì)的函數(shù)。最接近或最能表示數(shù)據(jù)趨勢(shì)的函數(shù)。 函數(shù)的擬合（函數(shù)的擬合（2）Fit的用法：的用法：1） Fitdata,1,x,x:表示變量為表示變量為x，進(jìn)行線(xiàn)性擬合，進(jìn)行線(xiàn)性擬合2）Fitdata,1,x,x2,x:二次多項(xiàng)式擬合二次多項(xiàng)式擬合3）Fitdata,Tablexj,j,0,n,x:n階多項(xiàng)式擬合階多項(xiàng)式擬合4）Fitdata,funs,vars:將將data用用funs做曲線(xiàn)擬合做曲線(xiàn)擬合5）數(shù)據(jù)data=x1,y1,.,x