測量誤差及其處理的基本知識

1、第5章 測量誤差及其處理的基本知識學習重點：測量誤差的分類和偶然誤差的性質、評定精度的指標、算術平均值及其中誤差的計算。5.1測量誤差概述測量誤差的來源與分類一、 觀測值及其誤差測量獲得的數(shù)據(jù)稱為觀測值，觀測值與真值之差即為觀測值的真誤差： (=1、2、3)(5-1)二、 測量誤差的來源產(chǎn)生測量誤差的來源有以下三個方面：(1) 儀器性能的限制；(2) 觀測者本身的限制；(3) 外界條件的影響。三、測量誤差的分類根據(jù)對測量成果影響的性質，可將誤差分為以下兩類：(一)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在相同的觀測條件下對某量作一系列的觀測，其數(shù)值和符號均相同，或按一定規(guī)律變化的誤差。只要采取恰當?shù)姆椒ň涂梢詫⑾?/p>

2、統(tǒng)誤差的影響予以消除。（二）偶然誤差偶然誤差是指在相同的觀測條件下對某量作一系列的觀測，其數(shù)值和符號均不固定，或看上去沒有一定規(guī)律的誤差。偶然誤差總是不可避免地存在于觀測值中。偶然誤差的特性偶然誤差具有以下特性：1.在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度；2.絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會大；3.絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的機會相等；4.當觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術平均值趨近于零，即5.2 評定精度的指標測量中最常用的評定精度的指標是中誤差。一、 中誤差設在相同條件下，對真值為的量作次觀測，每次觀測值為，其真誤差： (=1，2，3)(5-5)則中誤差的定義

3、公式為= (5-6)在使用中誤差評定觀測值的精度時，需要注意以下幾點：(1) 觀測值的精度必須相等，且個數(shù)較多。(2) 依據(jù)(5-6)式計算的中誤差，代表一組等精度觀測中每一個觀測值的精度。(3) 中誤差數(shù)值前應冠以“”號。 例如，有甲、乙兩組各含10個觀測值，其真誤差分別為甲組：+3，-2，-4，+2，0，-4，+3，+2，-3，-1乙組： 0，-1，-7，+2，+1，+1，-8，0，+3，-1則依據(jù)(5-6)可計算兩組觀測值的中誤差分別為： 即知，甲乙兩組中每個觀測值的精度可分別以和表示，而同一組中真誤差的差異，只是偶然誤差的反映。由于，所以，甲組觀測值較乙組觀測值的精度高。 二、 容許誤

4、差通常規(guī)定以兩倍(要求較嚴)或三倍(要求較寬)中誤差作為偶然誤差的容許誤差或限差，即23m(5-9)三、 相對誤差 相對誤差就是中誤差之絕對值（設為|m|）與觀測值（設為D）相除，再將分子化為1，分母取其整數(shù)后的比值(常以表示)，如下式所示。 = （5-10） 一般當誤差大小與被量測量的大小之間存在比例關系時，適于采用相對誤差作為衡量觀測值精度的標準，例如距離測量。 觀測值函數(shù)的中誤差表述觀測值中誤差與其函數(shù)中誤差之間關系的定律稱為誤差傳播定律。誤差傳播定律（一） 倍數(shù)函數(shù) 設有函數(shù)= (5-11)已知之中誤差為，之中誤差為：(5-12)例5-1在1:1000比例尺地形圖上，量得、兩點間的距離

5、=134.6mm，其中誤差0.2mm，求、兩點間的實地距離及其中誤差。解：=1000134.6=134600mm=134.6m10000.2=200mm=0.2m則、兩點間的實地距離可表達為=134.6m0.2m（二） 和差函數(shù) 設有函數(shù)(5-13)已知、之中誤差分別為、， 之中誤差為：(5-14)例5-2 設對某三角形觀測了其中、兩個角，測角中誤差分別為，求按公式 計算的第三角的中誤差。解：（三）線性函數(shù)設是一組獨立觀測值、之線性函數(shù)(、為常數(shù))，即=(5-15)將根據(jù)觀測值的中誤差、求得函數(shù)z的中誤差為 (5-16)例5-3 自點經(jīng)點至點進行支水準往返測量（圖5-4），設各段往返所測高差及

6、其中誤差分別為 往測：=+2.426m4mm =1.574m6mm 返測：=+1.562m6mm =2.440m4mm 求點至點間的高差及其中誤差。解： =+0.865m mm點至點間的實測高差可表達為=+0.865m5.1mm（四） 非線性函數(shù)非線性函數(shù)即一般函數(shù)，其形式為，) (5-17)式中(=1、2)為獨立觀測值，已知其中誤差為(=1、2)，之中誤差為。(5-18)式中，(=1、2)是函數(shù)對各變量所取的偏導數(shù)例5-4已測點間的平距=184.62m5cm，方位角=，求點坐標增量及其中誤差。解點坐標增量：=153.73m先以分別對和求偏導數(shù)：=0.833； ；則cm 5.4算術平均值及其中

7、誤差 算術平均值 設對某量進行次等精度觀測，觀測值為(=1、2)，其算術平均值為：(5-20) 一般情況下，被觀測量的真值（如一個角度，一條邊長的真值）是無法得知的，而用次觀測值的算術平均值來代替其真值可以認為是很可靠的（即為其最或是值），理由如下。如(5-5)式所示，每個觀測值都含有真誤差： 對等式兩端取和：兩端同除以用： 根據(jù)偶然誤差的第四特性 = 0可知，當觀測值個數(shù)趨于無窮大時，上式左端的極限值為0；而右端的第一項即為觀測值的算術平均值，即有 =上式說明，對一組等精度觀測值而言，算術平均值就是被觀測量真值的最可靠值，即最或是值觀測值中誤差令算術平均值與每個觀測值的差值為觀測值改正數(shù)：

8、(=1、2) 代入下式亦可計算出觀測值的中誤差：(5-25)(5-25)式即為利用觀測值改正數(shù)計算觀測值中誤差的實用公式。算術平均值中誤差據(jù)算術平均值的定義(5-19)式知又因均為等精度觀測，具有相同的中誤差，運用誤差傳播定律可得 即(5-26)上式可見，算術平均值中誤差較觀測值中誤差縮小倍。例5-6對某段距離進行了六次等精度測量，求該距離的最或是值及其中誤差。解：計算最或是值即算術平均值：表5-3 距離測量成果計算表觀測次數(shù)觀測值 /m /mm 123456348.367348.359348.364348.350348.366348.354+71+410+6649116100 3636=0=238 (2)計算觀