污染問題模型

1、摘要隨著市場經濟和現在工業(yè)的飛速進展，人類面臨了直接危害人類生存的新的問題環(huán)境污染，為了治理污染，提出治理污染的新的方案，我們必需建立客觀合理的數學模型來解決現實問題。 通過對問題的分析，我們利用微積分方程的求解方法，得出湖水污染變化的結果，問題（一）湖水污染濃度為5.1178%;問題（二）下降到原來的5%所需時間為398.3120天。在模型建設中我們接受了比較抱負的求解方法，在實際中還是比較有指導意義的。關鍵詞：微積分方程、MATLAB軟件、質量守恒定律、水質自凈方程一、問題重述 設一容積為V（m3）的大湖受到某種物質的污染，污染物均勻地分布在湖中，沒湖水更新的速率為r(m3/天)，并假設湖

2、水的體積沒有變化，試建立湖水污染濃度的數學模型。（1） 美國安大略湖容積5941*109(m2)，湖水的流量為4.45365*1010(m3/天)。湖水現階段的污染濃度為104，外面進入湖中的水的污染濃度為5%，并假設該值沒有變化，求經過500天湖水污染濃度。（2） 美國密西根湖的容積為4871*109（m2）。湖水的流量為3.6635132*1010(m3/天)由于治理污染措施得力及某時刻起污染源被切斷，求污染被中止后，污染物濃度下降到原來的5%所需時間。二、模型假設1、，湖水流量為常量，湖水體積為常量；2、流入流出湖水水污染濃度為常量，三、符號說明W（t）: t 時刻水污染濃度t: 時間，

3、以天作單位m: 外進湖中水污染濃度r: 湖水的更新速率V: 湖水的體積四、問題分析問題（一）要求經過500天湖水的濃度，由于流入和流出的湖水濃度不同，我們在考慮此問題時，運用微積分方程和質量守恒定律得出水污染濃度與已知量之間的關系；問題（二）污染源被切斷的狀況，即湖水的污染濃度不再轉變，即m=0，由于問題（二）給出污染物濃度下降到原來的5%，從而可以求得所需的時間。五、模型的建立與求解設t時刻湖區(qū)的污染物濃度為W（t），考慮時間區(qū)間t，t +t并利用質量守恒定律：t，t +t內湖中污染濃度的變化量=流入湖水的污染量流出湖水的污染量。用數學表達式表示為：Vw(t+t )w（t）=rm*t 于是得

4、，令t0dw/dt=a-bx t>0,w(0)=wo其中a=rm/v,b=r/v 求得w(t)=m+(wo-m)e(-r*t/v)（1）問題（一）中v=5.941e12(m3)r=4.45365e10, wo=10%, m=5%,t=500代入式中，得：w(500)=5.1178%在問題（二）中，m=0,從而rm*t=0,其中v=4.871e12,r=3.6635132e10,w(t)=5%*wo代入表示式（1）中，得：t=398.3(天)。附錄：用MATLAB解問題（一）過程如下：r=4.45365e10;v=5.941e12;wo=10;m=5;t=500; w=m+(wo-m).*exp(-r.*t/v)結果：w =5.1178問題（二） r=3.6635132e10;v=4.871e12;m=0;w=0.05wo