統(tǒng)計(jì)學(xué) 第六章統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布(習(xí)題附參考答案)

1、第6章 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布【引例】 1899年，戈塞特（1876-1937）進(jìn)入都柏林A.吉尼斯父子釀酒公司擔(dān)任釀酒化學(xué)技師，主要從事統(tǒng)計(jì)和實(shí)驗(yàn)工作。他在工作中發(fā)現(xiàn)，供釀酒的每批麥子質(zhì)量相差很大，而同一批麥子中能抽樣供試驗(yàn)的麥子又很少，每批樣本在不同的溫度下做實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果相差很大。這就決定了不同批次和溫度的麥子樣本是不相同的，不能進(jìn)行樣本合并。這樣一來，實(shí)際上取得的麥子樣本，不可能是大樣本，只能是小樣本。他在工作中還發(fā)現(xiàn)，利用小樣本得出的結(jié)果，和正態(tài)分布有較大的差異，特別是兩端尾部的概率，比正態(tài)分布明顯高。因此1907年戈塞特決心把小樣本和大樣本之間的差別搞清楚。為此，他試圖把一個(gè)總體中的所有小

2、樣本的平均數(shù)的分布刻畫出來。做法是：在一個(gè)大容器里放了一批紙牌，把它們弄亂，隨機(jī)地抽若干張（小樣本），對(duì)這一樣本記錄觀察值，然后再把紙牌弄亂，抽出幾張，對(duì)相應(yīng)的樣本再記錄觀察值。大量地記錄這種隨機(jī)抽樣的小樣本觀察值，就可以獲得小樣本觀察值的分布。1908年，戈塞特以“學(xué)生（Student）”為筆名在生物計(jì)量學(xué)雜志發(fā)表了論文平均數(shù)的規(guī)律誤差。這篇論文開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計(jì)理論的先河，為研究樣本分布理論奠定了重要基礎(chǔ)。被統(tǒng)計(jì)學(xué)家譽(yù)為統(tǒng)計(jì)推斷理論發(fā)展史上的里程碑。那么總體和樣本是如何聯(lián)系的？大樣本和小樣本下究竟有什么差異？什么是t分布？它和正態(tài)分布有什么不同？它有什么作用？統(tǒng)計(jì)推斷中常用的分布還有哪些？這

3、些問題都將在本章中找到答案。統(tǒng)計(jì)研究的目的是為了探索現(xiàn)象內(nèi)在的數(shù)量規(guī)律性。為了解總體的數(shù)量特征，可以直接對(duì)總體進(jìn)行全面調(diào)查，得到總體數(shù)據(jù)，進(jìn)而歸納出數(shù)量特征；也可以對(duì)總體進(jìn)行抽樣，利用樣本對(duì)總體進(jìn)行推斷，后一種方法稱為統(tǒng)計(jì)推斷。抽樣分布是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)。本章將主要介紹統(tǒng)計(jì)推斷所涉及的總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量及抽樣分布等概念，以及在統(tǒng)計(jì)推斷中最常用的分布，分布和分布和抽樣分布定理。§6.1 總體與樣本的統(tǒng)計(jì)分布 總體與樣本是統(tǒng)計(jì)推斷中的兩個(gè)基本概念。統(tǒng)計(jì)推斷的目的是從樣本信息出發(fā)，運(yùn)用概率論的方法，推斷總體的特征；因此如何將統(tǒng)計(jì)學(xué)的總體、樣本和概率論的基礎(chǔ)隨機(jī)變量與分布聯(lián)系起來，就成

4、為統(tǒng)計(jì)推斷首先要解決的問題。§6.1.1 統(tǒng)計(jì)推斷中的總體及總體分布第一章中已經(jīng)明確統(tǒng)計(jì)所研究的是由同類事物構(gòu)成的總體的數(shù)量特征，總體是根據(jù)一定的目的確定的所要研究的事物的全體，它是由客觀存在的、具有某種共同性質(zhì)的眾多個(gè)體構(gòu)成的?？傮w中的每個(gè)單位稱為個(gè)體。比如前面引例中，每一批麥子的全體就是一個(gè)總體，而其中每單位的麥子就是個(gè)體。這是統(tǒng)計(jì)學(xué)中關(guān)于總體的概念，我們可以稱其為實(shí)物總體。在前面章節(jié)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：我們真正關(guān)心和收集研究的并不是這些總體中的個(gè)體本身，而是這些個(gè)體的某些特征及其數(shù)值，在前面我們將這些特征用變量來描述，對(duì)應(yīng)的數(shù)值稱為變量值。關(guān)心這批麥子，主要關(guān)心的是其釀酒的

5、效果出酒量。此時(shí)出酒量成為需要研究的變量，每單位麥子出酒量的具體數(shù)值成為變量值。在研究這批麥子時(shí)，并不需要將全部這批麥子都收集過來，只需要記錄這批麥子每單位出酒量的數(shù)值，再對(duì)這些數(shù)值進(jìn)行研究就可以了。此時(shí)的總體實(shí)質(zhì)是這批麥子的出酒量對(duì)應(yīng)的若干個(gè)數(shù)值，總體已經(jīng)從實(shí)物抽象到了數(shù)值，可以稱之為數(shù)值總體。這是對(duì)總體概念的第一次抽象。如果實(shí)物總體中個(gè)體很多，則對(duì)應(yīng)的數(shù)值總體其規(guī)模將非常大，而且往往其中重復(fù)的值會(huì)很多，即使沒有重復(fù)值（變量取值連續(xù)時(shí)），在不同值周圍的“密集程度”也會(huì)不相同。逐一研究每個(gè)變量值將會(huì)非常繁瑣，當(dāng)總體規(guī)模趨于無窮時(shí)，研究每個(gè)變量值更是變得不可能。若統(tǒng)計(jì)出變量的所有不同取值（或取值

6、區(qū)間）及其出現(xiàn)的頻率，編制變量的分布數(shù)列，則可以對(duì)變量的全部取值情況一覽無遺。研究一個(gè)變量的全部數(shù)值，就轉(zhuǎn)化為研究該變量的分布了。用變量及其分布來描述一個(gè)總體，可以稱之為分布總體。例如研究某批麥子的出酒量X，這是個(gè)連續(xù)變量，可以統(tǒng)計(jì)出X在不同區(qū)間取值的頻率，得到X的分布。對(duì)全部單位出酒量的數(shù)值的研究，就可轉(zhuǎn)化研究出酒量X的分布了。這是對(duì)總體概念的第二次抽象。對(duì)于隨機(jī)變量X，其取值是隨機(jī)的，關(guān)注該變量的全部取值，也就是要關(guān)注其各個(gè)可能取值（或取值區(qū)間）及其相應(yīng)概率，即關(guān)注該隨機(jī)變量的概率分布。在統(tǒng)計(jì)推斷中利用隨機(jī)變量X及其概率分布來描述一個(gè)總體，應(yīng)用起來非常有優(yōu)勢(shì)，尤其是當(dāng)總體容量趨于無窮時(shí)，另

7、外一個(gè)好處是可以利用概率論的理論和方法來研究總體。例如麥子出酒量的總體分布如果是正態(tài)分布，就可以利用正態(tài)分布的密度函數(shù)計(jì)算出酒量在各區(qū)間的概率。經(jīng)過上述討論，完成了從“實(shí)物總體數(shù)值總體分布總體”的兩次抽象，也完成了我們將統(tǒng)計(jì)學(xué)中“總體”與概率論中“分布”的銜接，這是統(tǒng)計(jì)推斷對(duì)總體概念的延伸，也是概率論知識(shí)應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。以后在本章及以后統(tǒng)計(jì)推斷的相關(guān)章節(jié)中，如無特別說明，總體均表示分布總體，給定一個(gè)總體，只需要給出總體的分布即可。§6.1.2 統(tǒng)計(jì)推斷中的樣本及樣本性質(zhì) 統(tǒng)計(jì)推斷的重要任務(wù)是通過對(duì)總體中隨機(jī)抽取的部分個(gè)體的觀測(cè)結(jié)果來推斷總體的特征。按照隨機(jī)原則，通過觀測(cè)或試驗(yàn)的

8、方法所獲得的總體中一部分個(gè)體的取值稱為樣本，每個(gè)個(gè)體的取值稱為樣本點(diǎn)或樣品。抽出樣本之前，由于總體中各個(gè)體有同等被抽中的可能，抽中那個(gè)個(gè)體不能確定，因此樣本是一組隨機(jī)變量，每個(gè)樣本點(diǎn)都可以取總體中任意一個(gè)值；但是當(dāng)樣本被抽取并觀測(cè)記錄后，若干個(gè)體被抽出，各樣本點(diǎn)的取值確定，樣本成為是一組確定的數(shù)值。統(tǒng)計(jì)推斷中為了區(qū)分此二重性，將抽取前具有隨機(jī)性的樣本稱為樣本，用大寫字母表示；將抽取的一組確定的數(shù)值稱為樣本觀測(cè)值，用小寫字母表示。如要推斷某種燈泡使用壽命總體X的特征，擬隨機(jī)抽取n只燈泡進(jìn)行測(cè)試，其使用壽命(X1, X2,Xn)稱為燈泡使用壽命總體X的樣本，一次具體抽樣測(cè)試得到n個(gè)燈泡使用壽命的數(shù)

9、值(x1, x2,xn)，稱為總體X的樣本觀察值。統(tǒng)計(jì)推斷中，把具有以下兩個(gè)重要性質(zhì)的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：1. 樣本點(diǎn)與總體同分布這一點(diǎn)很容易從數(shù)值總體的角度加以理解：由于采取隨機(jī)原則抽取樣本點(diǎn)，每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性相同。假設(shè)總體容量為N，則每個(gè)個(gè)體被抽中的概率為1/N，假設(shè)對(duì)離散型總體取值等于x,或?qū)B續(xù)型總體取值在區(qū)間(x, x+x)中的個(gè)體總數(shù)為M，那么抽出樣本點(diǎn)取值為x或在區(qū)間(x, x+x)中的概率就是M/N，恰好等于總體X取值為x或取值在區(qū)間(x, x+x)中的頻率（或概率），從而可以看出樣本點(diǎn)與總體分布相同。2. 樣本點(diǎn)之間相互獨(dú)立從總體中抽取樣本的方法有重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣

10、兩種。采用重復(fù)抽樣時(shí)，每次隨機(jī)抽取一個(gè)樣本點(diǎn)并記錄其特征以后，又將它放回總體中參加下一次抽取，每次抽取樣本點(diǎn)都是在總體的N個(gè)單位中進(jìn)行的，前一次抽取的結(jié)果不會(huì)影響后一次抽取的結(jié)果，因此樣本點(diǎn)之間相互獨(dú)立。采用不重復(fù)抽樣時(shí)，每次隨機(jī)抽出一個(gè)樣本點(diǎn)后不再將它放回總體中，下一次只能在其余個(gè)體中抽取，前面抽取的結(jié)果就會(huì)影響后面的抽取，因此樣本點(diǎn)之間不是相互獨(dú)立的。但通常實(shí)際工作中總體容量非常大，采用不重復(fù)抽樣時(shí)也可以近似認(rèn)為樣本點(diǎn)之間相互獨(dú)立。對(duì)于總體容量無限的情形，無論采取重復(fù)抽樣還是不重復(fù)抽樣，都可以認(rèn)為樣本點(diǎn)是相互獨(dú)立的。在本書后面的敘述中，常常將以上兩個(gè)性質(zhì)一同簡(jiǎn)寫為 “樣本點(diǎn)獨(dú)立同分布(i.

11、i.d)”。沒有特別說明的情況下，我們討論的樣本均指的是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。§6.2 統(tǒng)計(jì)量§6.2.1 統(tǒng)計(jì)量的概念在統(tǒng)計(jì)推斷中，總體信息是未知的，但從總體中抽取的樣本中含有總體的信息，統(tǒng)計(jì)推斷就是利用樣本的信息來推測(cè)總體的信息。然而樣本的信息是隱蔽的、分散的，必須經(jīng)過必要的加工對(duì)樣本信息進(jìn)行集中和提煉才能用來推斷總體信息，構(gòu)造樣本統(tǒng)計(jì)量是集中和提煉樣本信息來推斷總體信息的有效手段之一。設(shè)是來自總體的一個(gè)樣本，如果是樣本的函數(shù)， 中不含任何未知參數(shù)，則稱為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。如果為樣本的觀測(cè)值，則為統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值。統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值是確定的，沒有隨機(jī)性。統(tǒng)計(jì)量有以下兩個(gè)特征：統(tǒng)計(jì)量是樣本的

12、函數(shù)，統(tǒng)計(jì)量通常為隨機(jī)變量；統(tǒng)計(jì)量不能含有未知的參數(shù)。例如，當(dāng)從正態(tài)總體中抽出樣本時(shí)，考查隨機(jī)變量，當(dāng)總體均值為已知時(shí)，該變量是統(tǒng)計(jì)量；當(dāng)總體均值未知時(shí)，該變量就不是統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量既然是隨機(jī)變量，那么它應(yīng)該有概率分布，統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。抽樣分布和統(tǒng)計(jì)推斷有著密切的聯(lián)系。統(tǒng)計(jì)量明確以后，必須要知道其抽樣分布才能在統(tǒng)計(jì)推斷中使用，因?yàn)橹挥兄懒私y(tǒng)計(jì)量的分布，才能利用概率論對(duì)總體的特征進(jìn)行推斷，并得到相應(yīng)的推斷置信度。所以在統(tǒng)計(jì)推斷中，一項(xiàng)重要的工作就是尋找統(tǒng)計(jì)量和導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布或漸近抽樣分布?！纠?-1】總體X服從兩點(diǎn)分布，概率分布律如下：，從總體中抽取容量為n的樣本，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，求

13、此統(tǒng)計(jì)量的分布。解：由于樣本是獨(dú)立的，服從兩點(diǎn)分布，統(tǒng)計(jì)量T為隨機(jī)變量，其取值是0到n之間的所有整數(shù)，其分布恰好是二項(xiàng)分布：，從上面的例子中，可以看出抽樣分布未必與總體的分布一致?！纠?-2】總體分布為，抽取容量為n的樣本，構(gòu)造如下三個(gè)統(tǒng)計(jì)量：，和。求此三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。解：由于樣本是獨(dú)立的，服從均值和方差都為1的正態(tài)分布，三個(gè)統(tǒng)計(jì)量都是樣本的線性函數(shù)，由正態(tài)分布的性質(zhì)，三個(gè)統(tǒng)計(jì)量仍服從正態(tài)分布，下面分別求解其均值和方差：，由上面計(jì)算可以得出，統(tǒng)計(jì)量服從均值和方差都為1的正態(tài)分布，這和總體的分布相同；統(tǒng)計(jì)量服從均值和方差都為2的正態(tài)分布，而統(tǒng)計(jì)量服從均值為1，方差為1/n的正態(tài)分布。

14、67;6.2.2 常用統(tǒng)計(jì)量 常用統(tǒng)計(jì)量還包括樣本相關(guān)系數(shù)，我們將在第9章介紹。1.樣本均值和樣本方差設(shè)是總體中抽出的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則樣本均值為，樣本方差為。2.樣本矩稱為樣本的原點(diǎn)矩，稱為樣本的中心矩。特別當(dāng)時(shí)，稱為樣本的未修正方差，常記，顯然有。3.順序統(tǒng)計(jì)量設(shè)是總體中抽出的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，把樣本點(diǎn)排序?yàn)椋瑒t稱為順序統(tǒng)計(jì)量，其中稱為第個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量?；陧樞蚪y(tǒng)計(jì)量計(jì)算的常用統(tǒng)計(jì)量有：最大順序統(tǒng)計(jì)量和最小順序統(tǒng)計(jì)量； 樣本極差 ；樣本中位數(shù)樣本的p分位數(shù) 其中，為不超過np的最大整數(shù)；樣本的切尾均值 ，樣本的切尾均值是分別去掉k個(gè)最小的和k個(gè)最大的觀測(cè)值后得到的均值。§6.3 抽樣分布

15、及抽樣分布定理為了在正態(tài)分布假定下，得到樣本統(tǒng)計(jì)量的精確分布，本節(jié)需要討論幾個(gè)十分重要的隨機(jī)變量函數(shù)的分布，它們是分布、分布和分布。在此基礎(chǔ)上討論抽樣分布的重要定理。§6.3.1 分布分布是海爾墨特（Hermert）和卡.皮爾遜（K.Pearson）分別于1875年和1890年提出的，是統(tǒng)計(jì)推斷中的重要分布。它主要應(yīng)用于對(duì)總體方差的估計(jì)或檢驗(yàn)以及對(duì)總體概率密度函數(shù)的檢驗(yàn)等。1. 分布的定義及其密度函數(shù)定義6-1 若隨機(jī)變量獨(dú)立且同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則它們的平方和 (6.1)服從自由度為的分布，記為。根據(jù)服從卡方分布隨機(jī)變量的定義，我們可以根據(jù)求隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布的方法求出分布的概率密

16、度函數(shù) 推導(dǎo)過程略，有興趣的讀者可以參考陳希孺，數(shù)理統(tǒng)計(jì)引論，高教出版社。如果隨機(jī)變量服從自由度為的分布，其概率密度為： (6.2)其中為gamma函數(shù)。2. 分布的性質(zhì)特征（1）分布的數(shù)學(xué)期望與方差若X服從自由度為n的分布，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為， (6.3)可見隨著自由度的增大，分布的期望和方差隨之增大，自由度決定了分布的形狀。從密度函數(shù)定義可以看出，分布是一種不對(duì)稱偏峰分布，其取值區(qū)域?yàn)?；隨著自由度的逐漸增大，分布曲線的最高點(diǎn)逐漸下降并向右移動(dòng)，分布曲線趨于對(duì)稱，如圖6-1所示。n=20n=4圖6-1的概率密度曲線自由度為的分布上側(cè)分位數(shù)記為，滿足關(guān)于分布上側(cè)分位數(shù)可以通過書后附表求得，

17、附表給出了自由度的分布上側(cè)分位數(shù)。也可通過EXCEL的CHINV函數(shù)求得。例如，。（2）分布的自由度分布中稱為自由度。對(duì)于變量，如果存在一組不全為零的常數(shù)，使得成立，則稱變量之間存在一個(gè)線性約束條件。如果變量中存在個(gè)獨(dú)立的線性約束條件，則中獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)為，稱它為自由度。自由度也可粗略解釋為可以自由選擇數(shù)值的變量個(gè)數(shù)。例如，由個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量構(gòu)成，由于它們之間沒有線性約束條件（即），所以它的自由度為。的自由度為，這是因?yàn)橛?jì)算時(shí)要用，滿足限制條件，即相對(duì)于的個(gè)離差變量，只有個(gè)可以任意確定，第個(gè)失去了“自由”，所以能其自由度為。（3）分布的可加性若、相互獨(dú)立，且分別服從自由度為、的分布，則服從自由

18、度為+的分布，即【例6-3】設(shè)是獨(dú)立同服從分布的隨機(jī)變量，求a，b和c使服從分布。因?yàn)楠?dú)立同分布，所以，則，從而，則，從而，則，從而。由于分布的可加性，則，自由度為3。且，和。§6.3.2 t分布t分布又稱為“學(xué)生分布”，是統(tǒng)計(jì)推斷中的重要分布。它在總體均值的估計(jì)與檢驗(yàn)、相關(guān)與回歸分析等方面有著廣泛的應(yīng)用。1. t分布的定義及其密度函數(shù)定義6-2 若隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，且隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 （6.4）服從自由度為的分布，記為。分布的概率密度函數(shù)比較復(fù)雜。如果隨機(jī)變量服從自由度為的分布，則其概率密度函數(shù)為 （6.5）觀察分布的概率密度函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)它是偶函數(shù)，所以分布是關(guān)于

19、原點(diǎn)對(duì)稱的，這一點(diǎn)和分布是不同的，卻和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相似。圖6-2的三條曲線分別是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線以及自由度為19和5的t分布曲線。n=5的分布n=19的分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖6-2密度函數(shù)曲線通過比較可以發(fā)現(xiàn)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布類似，都是對(duì)稱分布，均在上取值。但是分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布也有區(qū)別, 分布尾部厚，即服從分布的隨機(jī)變量取到尾部值的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布略大。而對(duì)于接近原點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)，分布密度函數(shù)的值比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的值小。因而分布曲線尾部厚于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而峰低于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。滿足的稱為自由度為的分布上側(cè)分位數(shù)。關(guān)于分布上側(cè)分位數(shù)可以通過書后附表求得，附表給出了自由度的分布上側(cè)分位數(shù)。例如，由于分

20、布是對(duì)稱分布，所以。2. t分布的性質(zhì)特征（1） 分布的數(shù)學(xué)期望與方差分布的數(shù)學(xué)期望與方差分別是， （6.6） 由于分布是對(duì)稱分布，其數(shù)學(xué)期望當(dāng)然為0。需要注意的是：只有當(dāng)自由度大于1，其數(shù)學(xué)期望才為0，自由度為1時(shí)，數(shù)學(xué)期望不存在；同時(shí)注意到分布的方差與其自由度有關(guān)，自由度小于等于2時(shí)，方差不存在，當(dāng)自由度，方差極限為1。（2） 分布的自由度分布的自由度是由生成分布的分母即卡方分布隨機(jī)變量的自由度而來。 分布的形狀和自由度有較大關(guān)系，自由度越小，分布曲線與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的區(qū)別越明顯，分布“比較平”，而自由度增大，分布曲線與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的差異逐漸縮小。這一點(diǎn)也可以由分布的方差來說明，當(dāng)自

21、由度較小時(shí)，分布的方差較大，此時(shí)其分布就“比較平”；而當(dāng)自由度較大時(shí)，方差較小，而且越來越接近1，此時(shí)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布逐漸接近?！纠?-4】設(shè)是獨(dú)立同服從分布的隨機(jī)變量，如果隨機(jī)變量服從自由度為5的t分布，求c等于多少。因?yàn)楠?dú)立同服從分布，所以，則。又因?yàn)槎c相互獨(dú)立，則由t分布的構(gòu)造，有 所以。§6.3.3 F分布F分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)雪（R.A.Fisher）于1924年提出的，F(xiàn)分布在假設(shè)檢驗(yàn)、總體方差的統(tǒng)計(jì)推斷、方差分析、回歸分析和多元統(tǒng)計(jì)分析等方面有著廣泛的應(yīng)用。1 F分布的定義及其密度函數(shù)定義6-3 若隨機(jī)變量、分別服從自由度為、的卡方分布，且、相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量 （6.

22、7）服從第一自由度為，第二自由度為的分布，記為。從F分布的定義可以看出，F(xiàn)分布是兩個(gè)獨(dú)立的卡方分布隨機(jī)變量與其各自自由度商的比值，因而F分布具有兩個(gè)自由度，作為分子的卡方分布隨機(jī)變量的自由度稱為第一自由度，作為分母的卡方分布隨機(jī)變量的自由度稱為第二自由度。F分布的密度函數(shù)比較復(fù)雜，若隨機(jī)變量F服從第一自由度為，第二自由度為的F分布，那么其密度函數(shù)為：（6.8）如圖6-3所示，F(xiàn)分布曲線有些類似于卡方分布，也是一種非對(duì)稱的正偏分布。其值域?yàn)?，但它有兩個(gè)自由度和。F分布的分布曲線隨著兩個(gè)自由度的不同組合而不同。兩個(gè)自由度的不同組合形成F分布曲線的不同形態(tài)，這在F分布的圖形中可清楚看到。隨著第一自由

23、度的增大，分布曲線逐漸趨向?qū)ΨQ，隨著兩個(gè)自由度的增大，分布曲線逐漸趨于正態(tài)分布。 圖6-3F分布密度函數(shù)曲線滿足的稱為自由度為的F分布上側(cè)分位數(shù)。由于F分布有兩個(gè)自由度，所以附表僅僅給出了某些較小值對(duì)應(yīng)的值。例如。對(duì)于任意的和自由度，其分位數(shù)都可通過EXCEL的FINV函數(shù)求得。2. F分布的性質(zhì)特征（1） F分布的數(shù)學(xué)期望和方差F分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為（6.9） 從F分布的均值和方差表達(dá)式可以看出，隨著第二自由度增大，F(xiàn)分布的均值趨于1，而方差則取決于兩個(gè)自由度。（2）F分布的自由度F分布的自由度是由構(gòu)造F分布的分子和分母的兩個(gè)分布的自由度而來，由于其分子和分母的分布可以交換，所以F分布

24、的兩個(gè)自由度有一個(gè)重要性質(zhì)，就是它們是可以互相轉(zhuǎn)化的。若，則1/F 。這個(gè)重要性質(zhì)對(duì)于查F分布求大的分位數(shù)提供了方便： （6.10）【例6-5】給定顯著水平，查的上側(cè)分位點(diǎn)。因?yàn)橐话鉌分布表并未給出的上側(cè)分位點(diǎn)。則要根據(jù)F分布的性質(zhì)，首先查，根據(jù)公式（6.9）可求得： 也可以通過EXCEL的統(tǒng)計(jì)函數(shù)功能中的函數(shù)FINV直接計(jì)算該分位數(shù) 分布和分布的百分位點(diǎn)，也可分別通過EXCEL的統(tǒng)計(jì)函數(shù)CHINV和TINV得到。調(diào)出EXCEL的函數(shù)，選中函數(shù)FINV，根據(jù)對(duì)話框輸入相關(guān)信息即可。FINV的對(duì)話框如圖6-4所示。圖6-4 EXCEL的函數(shù)FINV的對(duì)話框§6.3.4 抽樣分布定理下面

25、討論總體為正態(tài)分布時(shí)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。這是因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中許多總體分布或是正態(tài)分布，或是近似可以認(rèn)為是正態(tài)的。即使總體分布非正態(tài)，由中心極限定理可知，大樣本下，樣本均值的分布也可以近似認(rèn)為是正態(tài)分布。定理6-1若是從總體抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則有：1. （6.11） （6.12）2. （6.13）3.樣本均值與樣本方差相互獨(dú)立定理證明略，讀者可以參看茆詩松等著概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。 其中，。【例6-6】在正態(tài)總體中抽出一個(gè)容量為25的樣本， 為樣本方差，這里和均為未知。求（1）當(dāng)時(shí)，求;（2）；（3）； 解：（1）因?yàn)?，所以?dāng)，時(shí)有: =2×0.985-1=0.97（2）因?yàn)闃颖緛?/p>

26、自于總體，樣本容量，所以則 (查分布表得出)（3）因?yàn)?，所以由?6.3)可知：。而 定理6-2 若總體服從，從中抽取容量為的樣本，則 （6.14）證明：樣本相互獨(dú)立，且都服從，由公式（6.12）和（6.13）有：和 而且隨機(jī)變量與相互獨(dú)立。結(jié)合分布的定義有： 【例6-7】設(shè)總體服從正態(tài)分布，是來自總體的一個(gè)樣本，記和，試求的分布。由于來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則分別有和，且和相互獨(dú)立，則，且。因?yàn)?，而且根?jù)定理6-1的結(jié)論有和相互獨(dú)立， 所以 。定理6-3 若總體服從，總體服從，且兩個(gè)總體相互獨(dú)立。從兩總體中分別抽取容量為和的樣本和。則（1） （6.15）（2）當(dāng)，則 （6.16）其中。證明：

27、（1）因?yàn)?，并且兩組樣本是相互獨(dú)立的。所以，并且和相互獨(dú)立，從而則。（2）因?yàn)橛桑?.12）式可以得到：，且和相互獨(dú)立，從而并且（1）中的和上述相互獨(dú)立。根據(jù)t分布定義并化簡(jiǎn)可得所以，上述變量服從自由度為的分布。定理6-4 若總體，另一總體，從第一總體中抽取容量為的樣本，從第二個(gè)總體中抽取容量為的樣本，兩個(gè)總體是獨(dú)立的，則變量 （6.17）證明：因?yàn)闃颖鞠嗷オ?dú)立且和總體具有相同的分布，所以由前面定理6-13，兩個(gè)總體相互獨(dú)立，所以隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，從而所以該隨機(jī)變量服從第一自由度為，第二自由度為的F分布。本章小結(jié)1.總體可抽象為所感興趣的變量及其取值的分布。通過觀測(cè)或試驗(yàn)的方法獲得的總體中一

28、部分個(gè)體稱為樣本，樣本中每個(gè)個(gè)體稱為樣本點(diǎn)。2.統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)且不含任何未知參數(shù)。在統(tǒng)計(jì)推斷問題中，經(jīng)常需要利用取自總體的樣本構(gòu)造出合適的統(tǒng)計(jì)量，并使其服從或漸進(jìn)地服從已知的分布。常用統(tǒng)計(jì)量有樣本均值和方差等。統(tǒng)計(jì)量的分布為抽樣分布。3.在正態(tài)分布假定下三種常用分布分布、t分布和F分布。本章介紹了三種分布的定義、構(gòu)造原理和重要性質(zhì)，以及相應(yīng)分位數(shù)的含義和計(jì)算方法。4. 本章介紹了抽樣分布理論中的幾個(gè)重要定理。它們是對(duì)正態(tài)總體的均值、方差等參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的重要理論基礎(chǔ)?；局R(shí)梳理基本知識(shí)點(diǎn)含義或公式總體指所研究事物的全體（實(shí)物總體），或指所研究事物在某個(gè)特征上的取值的全體（數(shù)值總體）。樣

29、本按照隨機(jī)原則從總體中抽出的n個(gè)個(gè)體。簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的性質(zhì)：（1）樣本點(diǎn)和總體具有相同的分布（2）樣本點(diǎn)之間是獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，如果中不含任何未知參數(shù)，則稱為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常用統(tǒng)計(jì)量有：樣本均值和樣本方差、樣本矩統(tǒng)計(jì)量、樣本相關(guān)函數(shù)、樣本的順序統(tǒng)計(jì)量。抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布，常用的抽樣分布有分布、t分布、F分布。分布相互獨(dú)立的且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則它們的平方和服從自由度為n的分布，即。分布的性質(zhì)自由度為n的分布變量，均值和方差分別為n和2n；隨自由度的增加，分布趨近正態(tài)分布；獨(dú)立分布變量具有可加性。自由度自由度也可粗略解釋為可以自由選擇數(shù)值的變量個(gè)數(shù)，即變量的總個(gè)數(shù)減去線性約束的

30、個(gè)數(shù)。t分布相互獨(dú)立；，；即服從自由度為n的t分布，即。t分布的性質(zhì)均值，方差；t分布的自由度和分母中Y的自由度相同；分布曲線比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線低峰厚尾，隨自由度的增加，分布趨近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。F分布相互獨(dú)立；， ；即服從第一自由度為，第二自由度為的F分布，即。F分布的性質(zhì)F分布的均值隨著第二自由度增大而趨于1，方差則取決于兩個(gè)自由度；若，則1/F 。抽樣分布重要定理在正態(tài)總體的假定條件下，有，；練習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題（在4個(gè)備選答案中選擇1個(gè)正確答案）1. 某產(chǎn)品出廠檢驗(yàn)規(guī)定：次品率p不超過4%才能出廠，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中抽取12件進(jìn)行檢查，假設(shè)取值為1代表次品，取值為0代表合格品，則數(shù)值總體是（ ）A

31、.0 B.1 C.0和1 D.許多取值為0或1的數(shù)的全體2. 某廠生產(chǎn)的螺絲釘，其標(biāo)準(zhǔn)長度為6.8，而其真實(shí)的長度，從上述敘述中，假設(shè)總體均值就是標(biāo)準(zhǔn)長度，從生產(chǎn)的螺絲釘中抽取了1個(gè)螺絲釘作為樣本，其長度為6.7mm，則該樣本的分布是（ ）A. B. C. D.3. 樣本和樣本觀測(cè)值的關(guān)系是（ ）A.兩者都是隨機(jī)變量，分布相同 B.兩者都是隨機(jī)變量，但分布不同C.樣本觀測(cè)值是樣本的一次實(shí)現(xiàn) D.樣本只能取樣本觀測(cè)值4. 設(shè)總體服從參數(shù)的Poisson分布，從總體中抽取n個(gè)樣本，樣本的聯(lián)合分布為（ ）A. B.C. D.以上都不對(duì)5. 以下不是統(tǒng)計(jì)量是（ ）A.樣本均值 B.樣本方差 C.樣本極

32、差 D.樣本量6. 設(shè)總體XN(0,1)，從總體中抽取n個(gè)樣本，下列統(tǒng)計(jì)量中不服從分布的是（ ）A. B. C. D.7. 設(shè)總體X服從自由度為3的分布，從總體中抽取n個(gè)樣本，下列統(tǒng)計(jì)量服從自由度為9的卡方分布的是（ ）A. B. C. D.8. 比較標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和自由度為5的t分布的0.05分位數(shù)和，可以得到（ ）A.< B.> C.= D.不能比較9. 假設(shè)獨(dú)立總體X和Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從兩個(gè)總體中分別抽取10個(gè)和15個(gè)樣本，則下列說法中，正確的是（ ）A.服從自由度為10的分布 B.服從自由度為14的分布 C.服從自由度為15和10的F分布 D.服從自由度為15和10的F

33、分布10. 根據(jù)抽樣分布重要定理，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.服從正態(tài)分布 B.服從自由度為(n-1)的分布C. D. 二、多項(xiàng)選擇題（在5個(gè)備選答案中選擇2-5個(gè)正確答案）1.設(shè)表示從總體X中抽出的樣本，表示樣本觀測(cè)值，總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的，以下是統(tǒng)計(jì)量的有（ ）A. B. C. D. E.2. 設(shè)總體X是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 表示從總體中抽出的樣本，以下統(tǒng)計(jì)量中，服從自由度為1的分布的有（ ）A. B. C. D.E.3. 假設(shè)總體是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，用表示從總體中抽出的樣本，以下統(tǒng)計(jì)量中，服從自由度為1的t分布的有（ ）A. B. C. D. E.4. 假設(shè)獨(dú)立總體.Y是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，用，表

34、示從總體中抽出的兩個(gè)樣本，以下統(tǒng)計(jì)量中，服從F分布的有（ ）A. B. C. D. E. 5.正態(tài)總體的抽樣分布定理和統(tǒng)計(jì)量，以下說法正確的是（ ）A. 樣本均值的分布是正態(tài)分布 B. 當(dāng)總體方差未知時(shí)，不能用正態(tài)分布對(duì)總體均值進(jìn)行推斷C. 當(dāng)兩個(gè)獨(dú)立總體方差已知時(shí)，應(yīng)該用t分布對(duì)均值的差異進(jìn)行推斷D. 當(dāng)兩個(gè)獨(dú)立總體方差未知且相等時(shí)，可以用t分布對(duì)均值差異進(jìn)行推斷E. 可以用F分布統(tǒng)計(jì)量對(duì)兩個(gè)獨(dú)立總體的方差是否相等進(jìn)行推斷三、判斷分析題1. 樣本點(diǎn)是相互獨(dú)立的，并且和總體具有同一分布。2. 因?yàn)榫哂锌杉有?，所以t分布也具有可加性。3. t分布隨機(jī)變量的平方服從F分布。四、簡(jiǎn)答題1. 什么叫抽樣分布？為什么要研究抽樣分布？2. 和的百分位點(diǎn)有什么關(guān)系？3.統(tǒng)計(jì)量的定義是什么？樣本點(diǎn)是不是統(tǒng)計(jì)量？4.為什么說標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是抽樣分布理論的重要基礎(chǔ)？五、計(jì)算題1.