chap6-4雙線性變換法

1、 沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系 j3/ T/ T3/ T/ Too11jImzRezZ平面S平面沖激響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因為從S平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。6.4 用雙線性變換法設(shè)計用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 一、一、 變換原理變換原理 雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似率響應(yīng)相似的一種變換方法。為了克服多值映射這一缺點(diǎn)，采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T

2、一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系， 消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖6-6所示。 圖圖 6-6雙線性變換的映射關(guān)系雙線性變換的映射關(guān)系 o 11Z平 面jImzRez/ Tj11/ TS1平 面S平 面joo第一次變換：頻率壓縮第二次變換：數(shù)字化 雙線性變換法的映射規(guī)則：（1）頻率壓縮：頻率壓縮：把整個S平面壓縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶里。（2）數(shù)字化：數(shù)字化：將S1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 變換到z平面。Tsez1（1）頻率壓縮 把整個把整個S平面壓縮變換到某一中介的平面壓

3、縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶平面的一條橫帶里。里。)2tan(1T111111111111111222222222,tan2,00tan211jTjTsTsTsTjTjTsTsTsTTTTTTTsjjeeeeeeeeee 寬度為，從采用如下變換關(guān)系：這樣滿足：，又-/T/T（2）數(shù)字化 將將S1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系變換到平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系變換到z平面。平面。11111111111,11111tan()2211,1s Ts Ts Ts TzeszszzsszzsTsTecsc thcezcszesczzcs 此時，則可得到 平面平面的單值映射關(guān)系：或?qū)嶋H中，為了使模擬濾波器的某一頻率與

4、數(shù)字化濾波器的任一頻率有對應(yīng)的關(guān)系，要引入常數(shù)c） 代入可得：這時這時S 平面與平面與Z平面之間為單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。平面之間為單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。二、變換常數(shù)c的選擇 調(diào)節(jié)c，可使AF的頻率特性與DF的頻率特性在不同頻率點(diǎn)處有對應(yīng)的關(guān)系。也就是可以調(diào)節(jié)頻帶間的對應(yīng)關(guān)系。 （a）使AF與DF在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系。在低頻處有1111111tan()22tan()222TTTTcccT 當(dāng)較小時有由于11)tan()tan()22()2ccccccccbDFTAFTcccctgAFDF （利用的某一特定頻率（例截止頻率與的某一特定頻率嚴(yán)格相對應(yīng)。即：看

5、出：此方法優(yōu)點(diǎn)：是在特定和特定處，頻率響應(yīng)是嚴(yán)格相等的，它可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率的位置。三、三、 逼近的情況逼近的情況 雙線性變換符合上節(jié)中提出的映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求。 （1）首先, 把z=ej代入式 ，可得 1tan12jjescjcje 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。 1111zscz（2） 其次，將s=+j代入式 ，得 cjzcj 因此 2222|czccszcs 由此看出，當(dāng)0時， |z|0時，|z|1。也就是說， S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。 因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的

6、數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 四、四、 優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn) 雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個平面整個j軸單值地對應(yīng)于軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周，平面單位圓一周， 即頻即頻率軸是單值變換關(guān)系率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系下式所示，重寫如下： tan2c 上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖6-7所示。 由圖6-7看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步增加時，增長得越來越慢，最后當(dāng)時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率

7、而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象， 從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖6-7 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 o2tan2T圖 6-8 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j(argaH 但是雙線性變換的這個特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性嚴(yán)重非線性關(guān)系關(guān)系而得到的。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型模擬

8、濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖 6-8 所示。 對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變， 這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變， 然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。 由圖6-7看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)進(jìn)一步

9、增加時，增長得越來越慢，最后當(dāng)時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象， 從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖 6-9 雙線性變換時頻率的預(yù)畸變 )j(aH)(ejHooo43211234tan2c =/T設(shè)計流程 1.根據(jù)要求，設(shè)定指標(biāo)。 2.將各分段頻率臨界點(diǎn)預(yù)畸變。 3.將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為中間模擬濾波器的性能指標(biāo)。 4.根據(jù)設(shè)計要求，選定雙線性變換常數(shù)C。 5.設(shè)計中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s). 6.將 代入Ha(s)中，得到DF 的H(z).1111zzCS （1） 如果給出的是待設(shè)計的帶通濾波器的數(shù)字域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻

10、帶截止頻率）1、2、3、4及采樣頻率(1/T)，則直接利用式tan2c 計算出相應(yīng)的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4，經(jīng)雙線性變換后就映射到數(shù)字濾波器H(z)的原轉(zhuǎn)折頻率1、2、3和4。 如果給出的是待設(shè)計的帶通濾波器的模擬域轉(zhuǎn)折頻率（通、 阻帶截止頻率）f1、f2、f3、f4和采樣頻率(1/T)，則 首先，利用下式計算數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)折頻率（通、阻帶截止頻率）、2、3 和4。 再利用式 tan2c 2fT對頻率預(yù)畸變，得到預(yù)畸變后的模擬濾波器的轉(zhuǎn)折頻率1、 3和4。這樣得到的模擬濾波器Ha(s)的轉(zhuǎn)折頻率、2、3和4, 經(jīng)雙線性變換后映

11、射到數(shù)字濾波器H(z)的轉(zhuǎn)折頻率1、2、 3、4，并且能保證數(shù)字域頻率1、2、3、4與給定的模擬域轉(zhuǎn)折頻率f1、f、f、f4成線性關(guān)系。（2） 按1、2、3和4等指標(biāo)設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。 （3）將 代入Ha(s)，得H(z)為 1111zscz1111111( )( )|1aazs czzH zHsHcz其頻率響應(yīng)為 tan2()()|tan2jaacH eHjHjc上述這些步驟比用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計濾波器要簡便得多。 需要特別強(qiáng)調(diào)的是，若模擬濾波器Ha(s)為低通濾波器，應(yīng)用變換得到的數(shù)字濾波器H(z)也是低通濾波器； 若Ha(s)為高通濾波器，應(yīng)用 變換得到的數(shù)字濾波器H(

12、z)也是高通濾波器; 若為帶通、帶阻濾波器也是如此。 在IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計中，當(dāng)強(qiáng)調(diào)模仿濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)時，采用沖激響應(yīng)不變法較好; 而在其余情況下，大多采用雙線性變換法。 1111zscz1111zscz 例例 6-2 設(shè)計一個一階數(shù)字低通濾波器，3 dB截止頻率為c=0.25，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。 )/(11)(cassH 解解 數(shù)字低通濾波器的截止頻率為c=0.25，相應(yīng)的巴特沃思模擬濾波器的 3 dB截止頻率是c，就有 TTTcc828. 0225. 0tan22tan2模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 )828. 0/(11)/(11)(sTssHca將雙線性變換應(yīng)用于模

13、擬濾波器，有 11111124159. 0112920. 0)1/()1)(828. 0/2(11)()(11zzzzsHzHzzTsa由上題可知，T不參與設(shè)計，即雙線性變換法中用 設(shè)計與用 設(shè)計得到的結(jié)果一致。 ,1111zzs2tan2tan2,11211TzzTs 例例6-3 用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4 kHz（即采樣周期為T=250 s），其3dB截止頻率為fc=1 kHz。 三階模擬巴特沃思濾波器為 32)/()/(2)/(211)(cccassssH 解解: 首先，確定數(shù)字域截止頻率c=2fcT=0.5。 第二步，根據(jù)頻率的非線性關(guān)系式，確

14、定預(yù)畸變的模擬濾波器的截止頻率 TTTcc225 . 0tan22tan2第三步，將c代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得 32)2/()2/(2)2/(211)(sTsTsTsHa最后，將雙線性變換關(guān)系代入就得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 2321311211111123331211111211211)()(11zzzzzzzzzzsHzHzzTsa 圖6-10給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換， 使截止區(qū)的衰減越來越快。圖圖 6-10 用雙線性變換法設(shè)計得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響用雙線性變換法設(shè)計得到的三階巴特沃思數(shù)

15、字低通濾波器的頻響 1.00.500.5)(ejH01.02.0f / kHz五、模擬濾波器的數(shù)字化方法五、模擬濾波器的數(shù)字化方法 雙線性變換法比起沖激響應(yīng)不變法來，在設(shè)計和運(yùn)算上也比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，所以可以直接將式 代入到模擬系統(tǒng)傳遞函數(shù)， 得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)， 即 1111111( )( )1zas czzH zHsH cz頻率響應(yīng)也可用直接代換的方法得到 tan2()()tan2jacH eHjHjc1111zscz 若階數(shù)較高，這時將H(z)整理成需要的形式，就不是一件簡單的工作。為簡化設(shè)計，一方面， 可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相加）或級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)或級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相乘），使每個子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的（例如一、 二階的），然后再對每個子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換。也就是說，分解為低階的方法是在模擬系統(tǒng)函數(shù)上進(jìn)行的，而模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。另一方面，可用表格的方法來完成雙線性變換設(shè)計可用表格的方法來完成雙線性變換設(shè)計，即預(yù)先求出雙線性變換法中離散系