變分原理 (2)

1、變分原理及其在量子力學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用譚長明2014-4-17 變分法（calculus of variations），是處理函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，和處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對。譬如，這樣的泛函可以通過未知函數(shù)的積分和它的導(dǎo)數(shù)來構(gòu)造。變分法最終尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經(jīng)典問題采用這種形式表達(dá). 在處理量子力學(xué)中，我們重要的是解薛定諤方程，然而對于一些多體問題，直接解薛定諤方程是非常困難的，在第一性原理計(jì)算中我們通常采用基于密度泛函的方式去解決多體問題中的能量和本征函數(shù)，對于求解基態(tài)能量或基態(tài)波函數(shù)就相當(dāng)于求解泛函的極值問題。變分法既然是處理泛函極值問題的數(shù)學(xué)工

2、具，因此，我們可以用變分法去求解體系的基態(tài)能量。這就是變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用。變分法基礎(chǔ) A、泛函定義、泛函定義如果對于某一類函數(shù) 中的每一個(gè)函數(shù) ， 都有一個(gè)值與之對應(yīng)；或者， 變量對于函數(shù) 的關(guān)系成立，變量 稱為函數(shù) 的泛函，記為：泛函是變量與函數(shù)的關(guān)系，為函數(shù)的函數(shù)（非隱函數(shù)），一種廣義的函數(shù)。其中 稱為宗量（而函數(shù)是變量與變量之間的關(guān)系） xy ixy xy xy xy xy舉例短程線問題在指定平面內(nèi)連接兩定點(diǎn)的各種容許曲線中，選定一條使兩點(diǎn)間沿該曲線的距離最短的曲線。定點(diǎn)： 連接AB兩點(diǎn)的任一曲線的弧長可以表述為： 這里L(fēng)只與曲線的函數(shù)形式相關(guān)。而不直接與X相關(guān)！2211,yxBy

3、xA dxdxdyxyLxx2121BAdydx22 xyi尋找最短弧長曲線 的形式即為變分學(xué)所要研究的問題。B、變分、變分 泛函的宗量的增量在指定域中都很小時(shí)，就稱之為變分。(4.1)也為x的函數(shù)，須在指定x域中是微量， 在接近 的一類函數(shù)中任意變化的。如果 與 很接近，且函數(shù)有k階導(dǎo)，也與很接近，即其差的模都很小，則 與 具有k階接近度。稱為k階變分。 一般認(rèn)為，具有相同量級的微量。 xyi xy xy xyxyxy1y xy xy1 xy xy1 xyk xyk1 xy xy1 kyyy, kyD、泛函的變分定義（幾何意義）：泛函的增量：由的變分 所引起的泛函的增量，將 分解為線性項(xiàng)和非

4、線性項(xiàng)二部分：為同階或更高階小量，線性部分 稱之為泛函的變分： (4.2) xy y xyxyxy xy xyxyxyxyxyLmax, xy 0 xy 0max, 0 xy xyxyL,泛函的變分可理解為泛函的增量的主部。而且其主部相對于變分 為線性的。定義二（Lagrange定義） 泛函變分是 對 的導(dǎo)數(shù)在 時(shí)的值，(4.3) xy ),(xyxy0 0 xyxy xyxyL,E、泛函的駐值、泛函的駐值 函數(shù)的駐值函數(shù)的駐值如果函數(shù)在 附近的任意點(diǎn)上的值都不大（?。┯?，即（或 ）則函數(shù)在上達(dá)到極大（或極小）值，且 ， 為駐點(diǎn)， 為駐值。對于多元函數(shù)， 取極值條件：即： 為駐點(diǎn)，為駐值；

5、極大或極??？ 極?。?為極大。 xy0 xx 0 xy 00 xyxyy0 xy0 xx 00 xxdy0 x0 xynxxxf,210dfnixfi, 2 , 1002010,nxxx02010,nxxxf02fd02fd泛函的駐值泛函的駐值如果泛函 在任何一條與 接近的曲線上的值不大于（小于）， 即 則泛函在曲線上達(dá)到極大（或極小）值。 而且在上有駐值條件：(4.4)與函數(shù)極值判定條件類似：取極小值 取極大值 xy xyy0 ,0 xy 000或xyxy xy xyy0 xyy0 0 xy0202注意：這里談及的極值指相對的極大或極小，是從在相接近的許多曲線中找出一個(gè)最大的泛函值。由于曲線

6、的接近程度不一，還應(yīng)具體分為曲線有幾階的接近度。若接近度為0階的曲線 ，泛函在 達(dá)到極值的變分稱為強(qiáng)變分。泛函的極值為強(qiáng)極大或強(qiáng)極小。若接近度為1階的曲線 ，泛函在 達(dá)到極值的變分稱之為弱變分。 xyy0 xyy0 xyy xyy F、變分的計(jì)算方法：微分與變分可互調(diào)換順序：(4.5)(4.6)積分與變分可互調(diào)換順序，設(shè)(4.7)和：(4.8) yyxx)(dxxyyFxx21,2121,xxxxdxxyyFdxxyyF21FF 2121FFFF積：(4.9)(4.10)商：(4.11)21FF 122121FFFFFFnFFnFFnn121FF22211221FFFFFFFG、基本預(yù)備定理、

7、基本預(yù)備定理 如果函數(shù)在線段 上連續(xù)，且對于只滿足某些一般條件的任意選定的函數(shù)， 有則在線段上有，一般條件包括：一階或若干階可微；在端點(diǎn) 處為零， xF21,xx xy 021dxxyxFxx21,xx 0 xF21,xx 0021xyxy xy ,xy對于多變量，類推；上述， 為宗量 的變分。H、泛函極值問題的求解、泛函極值問題的求解(變分法的主要步驟)最速降線問題： 當(dāng)一重物沿連接不在同一鉛垂線上的兩點(diǎn) 的一條曲線，受重力作用自由下滑，不計(jì)摩擦力時(shí)，求在哪種曲線上下滑所需時(shí)間T最少。 xy xy11,0 , 0yxBA問題上升： 在滿足固定邊界（端點(diǎn)）條件，的函數(shù)中，求泛函：為極值的函數(shù)。

8、解：、設(shè) 為曲線 上的任意一點(diǎn)，由能量守恒定律，總勢能： 11,00yxyy xy dxxyxygTx102121yxP, xyy 221mvyhmgmghgyv2運(yùn)動學(xué)：設(shè)為曲線的運(yùn)動方程，重物沿該曲線從A運(yùn)動到B點(diǎn)，其運(yùn)動速度可表示為：二速度v相等：從A到B的滑行時(shí)間T，應(yīng)有積分， xyy 221dydxdtdtdsvdtdxy21dtdxygy212dxgyyTx 10221泛函的建立：式中時(shí)間T是依賴于曲線函數(shù)的函數(shù)，T稱之為泛函，需求其極值。即求T取最短時(shí)間的曲線函數(shù)。、設(shè)為滿足使泛函取極值的解，與之相接近的函數(shù)為 ，其導(dǎo)數(shù)。泛函的增量： 作為小量，按Talyor級數(shù)展開， xyy

9、xy xyxy xyxy dxyyyyyygTx10221121yy, 22222121111yyyyyyyyyyyyyy當(dāng) 很小，（這時(shí)與有一階接近度），泛函變分就為略去 二次以上高階項(xiàng)后的線性主部。極值條件：、對第一項(xiàng)分部積分： yy,yyy2 dxyyyyyyyygTx10221211210T dxyyyyx2011 ydxyyydxddxyyyydxdxx11020211因?yàn)闉橥ㄟ^ 兩點(diǎn)的具有與一階接近度，即：于是，積分第一項(xiàng)： xyxy11,00yyxxyx xy 111,000yxyxyyy 11,00yxyy 0,001xyy 00010011212111021yyyyxyxyxyxydxyyyydxdx故，由于 為任選函數(shù)，且 ，由變分法基本定理：、從中就可求出 。 這類從泛函變分獲得的微分方程 歐拉方程dxyyyydxdyyygTx1022)1(12121y 0112122yyydxdyyy xy二、變分法在量子力學(xué)中的應(yīng)用 在處理量子力學(xué)中，我們重要的是解薛定諤方程，然而對于一些多體問題，直接解薛定諤方程是非常困難的，在第一性原理計(jì)算中我們通常采用基于密度泛函的方式去