小學(xué)奧數(shù)奇妙地一筆畫(huà)題庫(kù)教師版

1、WORD格式奇妙的一筆畫(huà)例題精講所謂圖的一筆畫(huà)，指的就是：從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫(huà)一次，不準(zhǔn)重復(fù)從圖中容易看出：能一筆畫(huà)出的圖首先必須是連通圖但是否所有的連通圖都可以一筆畫(huà)出呢？下面，我們就來(lái)探求解決這個(gè)問(wèn)題的方法什么樣的圖形能一筆畫(huà)成呢？這就是一筆畫(huà)問(wèn)題，它是一種有名的數(shù)學(xué)游戲我們把一個(gè)圖形中與偶數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)相應(yīng)的把與奇數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)一筆畫(huà)問(wèn)題：( 1) 能一筆畫(huà)出的圖形必須是連通的圖形；( 2) 但凡只由偶點(diǎn)組成的連通圖形一定可以一筆畫(huà)出畫(huà)時(shí)可以由任一偶點(diǎn)作為起點(diǎn)最后仍回到這點(diǎn)；( 3) 但凡只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖形一定可以一筆畫(huà)出畫(huà)

2、時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)作為起點(diǎn)，以另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)；( 4) 奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)的圖形，一定不能一筆畫(huà)多筆畫(huà)問(wèn)題：我們把不能一筆畫(huà)成的圖，歸納為多筆畫(huà)多筆畫(huà)圖形的筆畫(huà)數(shù)恰等于奇點(diǎn)個(gè)數(shù)的一半事實(shí)上，對(duì)于任意的連通圖來(lái)說(shuō)，如果有2n 個(gè)奇點(diǎn) ( n 為自然數(shù) ) ，那么這個(gè)圖一定可以用n 筆畫(huà)成【例1】我們把一個(gè)圖形上與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)，與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)以下列圖中，哪些點(diǎn)是偶點(diǎn)？哪些點(diǎn)是奇點(diǎn)？【解析】奇點(diǎn)：JDHF偶點(diǎn)：AEBCGI【例2】判斷以下列圖a、圖b、圖c能否一筆畫(huà)NMAFAADBEOBGEFBCKLCD圖 bC圖 cD圖 a專業(yè)資料整理WORD格式【解析】 圖 a 能，因?yàn)橛?/p>

3、2 個(gè)奇點(diǎn)，圖 b 不能，因?yàn)閳D形不是連通的，圖 c 能，因?yàn)橐驗(yàn)閳D中全是奇點(diǎn)【例3】下面圖形能不能一筆畫(huà)成？假設(shè)果能，應(yīng)該怎樣畫(huà)？【解析】 圖 1 能 因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn)，圖 2 能 因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn)，圖 3 不能因?yàn)橛?4 個(gè)奇點(diǎn)【例 4】 下面的圖形，哪些能一筆畫(huà)出？哪些不能一筆畫(huà)出？【解析】 第 1 個(gè)能， 2、 3 不能【例5】以下列圖中不能一筆畫(huà)成，請(qǐng)你在以下列圖中添加最少的線段，將其改成一筆畫(huà)的圖形，并畫(huà)出路線圖【解析】 不能一筆畫(huà)出，因?yàn)閳D中有E H G F 四個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié)EH 就可以使圖形一筆畫(huà)出【例6】以下列圖中的線段表示小路，請(qǐng)你仔細(xì)觀察， 認(rèn)真思考， 能夠不重復(fù)的爬遍小路

4、的是甲螞蟻還是乙螞蟻？該怎樣爬？【解析】要想不重復(fù)爬出，需要圖形能一筆畫(huà)出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以應(yīng)該從奇點(diǎn)出發(fā)才能一筆畫(huà)出圖形，所以甲螞蟻能夠【例7】能否用剪刀從左以下列圖中一次連續(xù)剪下三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形？專業(yè)資料整理WORD格式【解析】 可以專業(yè)資料整理WORD格式【例8】以下列圖是兒童樂(lè)園的道路平面圖，要使游客走遍每條路并且不重復(fù)，那么出、入口應(yīng)設(shè)在哪里？【解析】要想不重復(fù)，需要路線能一筆畫(huà)出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以入口和出口應(yīng)該分別放在兩個(gè)奇點(diǎn)出，即 F和I點(diǎn)【例9】郵遞員叔叔向11 個(gè)地點(diǎn)送信一次信，不走重復(fù)路，怎樣走最適宜？【解析】 不走重復(fù)路，一筆能畫(huà)出路線圖，圖中有2

5、個(gè)奇點(diǎn)，應(yīng)該從奇點(diǎn)處出發(fā)，下面有一種參考路線：4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3【例10】觀察下面的圖，看各至少用幾筆畫(huà)成？【解析】 圖 ( 1) 有 8 個(gè)奇點(diǎn)，所以要4 筆畫(huà)出，圖 ( 2) 有 12 個(gè)奇點(diǎn)，所以要一筆畫(huà)出，圖 ( 3) 能一筆畫(huà)出【例11】 判斷以下列圖形能否一筆畫(huà)假設(shè)能，請(qǐng)給出一種畫(huà)法；假設(shè)不能，請(qǐng)加一條線或去一條線，將其改成可一筆畫(huà)的圖形HAAGGHBBIFAIJFEFGHBKLECCDECDD圖 a圖 b圖 c【解析】 圖 ( 1) 不能一筆畫(huà)出，因?yàn)閳D中有4 個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié)BD ，或者去掉 BF 都可以使圖形能一筆畫(huà)出圖 ( 2) 不能一筆畫(huà)出，因

6、為圖中有4 個(gè)奇點(diǎn)，去掉 KL ，或者 BK 都可以使圖形能一筆畫(huà)出圖 ( 3) 不能一筆畫(huà)出，因?yàn)閳D中有4 個(gè)奇點(diǎn)，去掉 AB 可以使圖形能一筆畫(huà)出專業(yè)資料整理WORD格式一個(gè)K ( K 1) 筆畫(huà)最少要添加幾條連線才能變成一筆畫(huà)呢？我們知道K 筆畫(huà)有2K個(gè)奇點(diǎn)，如果在專業(yè)資料整理WORD格式任意兩個(gè)奇點(diǎn)之間添加一條連線，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)同時(shí)變成了偶點(diǎn)如左以下列圖中的B， C兩個(gè)奇點(diǎn)專業(yè)資料整理WORD格式在右以下列圖中都變成了偶點(diǎn)所以只要在K 筆畫(huà)的 2K 個(gè)奇點(diǎn)間添加( K -1) 筆就可以使奇點(diǎn)數(shù)目減少為2 個(gè)，從而變成一筆畫(huà)【例12】18 世紀(jì)的哥尼斯堡城是一座美麗的城市，在這座城市中

7、有一條布勒格爾河橫貫城區(qū)，這條河有兩條支流在城市中心集合，集合處有一座小島A 和一座半島D，人們?cè)谶@里建了一座公園，公園中有七座橋把河兩岸和兩個(gè)小島連接起來(lái) ( 如圖 a) 如果游人要一次走過(guò)這七座橋，而且對(duì)每座橋只許走一次，問(wèn)如何走才能成功？【解析】 歐拉解決這個(gè)問(wèn)題的方法非常巧妙他認(rèn)為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長(zhǎng)短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個(gè)點(diǎn)，而橋那么可以看成是連接這些點(diǎn)的一條線這樣，一個(gè)實(shí)際問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何圖形( 如以下列圖 ) 能否一筆畫(huà)出的問(wèn)題了而圖B 中有 4 個(gè)奇點(diǎn)顯然不能一筆畫(huà)出【穩(wěn)固】如以下列圖所示，兩條河流的交匯處有兩個(gè)島，有七

8、座橋連接這兩個(gè)島及河岸問(wèn)：一個(gè)散步者能否一次不重復(fù)地走遍這七座橋？【解析】 能【例 13】 右圖是某展覽廳的平面圖，它由五個(gè)展室組成，任兩展室之間都有門(mén)相通，整個(gè)展覽廳還有一個(gè)進(jìn)口和一個(gè)出口，問(wèn)游人能否一次不重復(fù)地穿過(guò)所有的門(mén)，并且從入口進(jìn)，從出口出？專業(yè)資料整理WORD格式【解析】 將圖形中的6 個(gè)區(qū)域看成6 個(gè)點(diǎn)，每個(gè)門(mén)看成連結(jié)他們的線段，顯然6 個(gè)點(diǎn)都是偶點(diǎn)，所以有人能一次不重復(fù)的走過(guò)所有的門(mén)【穩(wěn)固】右圖是某展覽館的平面圖，一個(gè)參觀者能否不重復(fù)地穿過(guò)每一扇門(mén)？如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由如果能，應(yīng)從哪開(kāi)場(chǎng)走？EABDC【解析】 不能【例14】 一條小蟲(chóng)沿長(zhǎng)6分米，寬4分米，高5分米的長(zhǎng)方體的棱爬

9、行如果它只能進(jìn)不能退，并且同一條棱不能爬兩次，那么它最多能爬多少分米？【解析】 8 個(gè)定點(diǎn)都是奇點(diǎn)，所以至少需要4 筆多畫(huà)長(zhǎng)和高能保證總路程最長(zhǎng)，為A B G H AD C F ED總長(zhǎng)為 6454 41 48 分米專業(yè)資料整理WORD格式【穩(wěn)固】一只木箱的長(zhǎng)、寬、高分別為不允許重復(fù)，那么甲蟲(chóng)回到5，4， 3 厘米 ( 見(jiàn)右圖 ) ，有一只甲蟲(chóng)從A 點(diǎn)時(shí)，最多能爬行多少厘米？A 點(diǎn)出發(fā)，沿棱爬行，每條棱專業(yè)資料整理WORD格式【解析】 最多34 厘米專業(yè)資料整理WORD格式【例15】如圖是某餐廳的平面圖，共有五個(gè)小廳，相鄰兩廳之間有門(mén)相通，并且設(shè)有入口請(qǐng)問(wèn)你能否從入口進(jìn)入一次不重復(fù)地穿過(guò)所有的

10、門(mén)如果可以，請(qǐng)指明穿行路線，如果不能，應(yīng)關(guān)閉哪個(gè)門(mén)就可以辦到？專業(yè)資料整理WORD格式【解析】可以將圖中的五個(gè)小廳以及廳外的局部都抽象成點(diǎn)，為方便解題，給它們分別編號(hào)這時(shí)，連通廳與廳之間的門(mén)就相當(dāng)于各點(diǎn)之間的連線于是題目中餐廳的平面圖就抽象成為一個(gè)連通的圖形，求穿形路線的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成一筆畫(huà)的問(wèn)題在抽象出的圖形中，我們可以找到四個(gè)奇點(diǎn)，即、和廳外，所以圖形不能一筆畫(huà)出也就是說(shuō)，從入口進(jìn)入不可能一次不重復(fù)的穿過(guò)所有的門(mén)但根據(jù)一筆畫(huà)問(wèn)題的知識(shí)，只要關(guān)閉門(mén)，把、變?yōu)榕键c(diǎn)，就可以辦到，可行路線如以下列圖：B【例16】在 3 3的方陣中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是100 米小明沿線段從A點(diǎn)到 B 點(diǎn)，不許走重復(fù)路，他最多能走多少米？【解析】 這道題大多數(shù)同學(xué)都采用試畫(huà)的方法，實(shí)際上可以用一筆畫(huà)原理求解首先，圖中有8 個(gè)奇點(diǎn)，在 8個(gè)奇點(diǎn)之間至少要去掉4 條線段，才能使這 8 個(gè)奇點(diǎn)變成偶點(diǎn)； 其次，從 A點(diǎn)出發(fā)到 B 點(diǎn)， A， B 兩點(diǎn)必須是奇點(diǎn)，現(xiàn)在A， B 都是偶點(diǎn)，必須在與A，B 連接的線段中各去掉1 條線段，使 A，B 成為奇點(diǎn)所以至少要去掉6 條線段，也就是最多能走1800 米，走法如圖【例17】 一個(gè)郵遞員投遞信件要走的街道如右圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)， 要走遍各街道，最后回到郵局怎樣走才能使所走的