概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題集與答案

1、WORD格式"概率論與數(shù)理統(tǒng)計"作業(yè)集及答案第 1 章概率論的根本概念§1 .1隨機試驗及隨機事件1. (1)一枚硬幣連丟3 次，觀察正面 H反面 T 出現(xiàn)的情形 . 樣本空間是： S=；(2)一枚硬幣連丟3次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù). 樣本空間是： S=；2.(1)丟一顆骰子 .A：出現(xiàn)奇數(shù)點，那么A=； B：數(shù)點大于 2，那么 B=.(2)一枚硬幣連丟2次，A ：第一次出現(xiàn)正面，那么 A=；B：兩次出現(xiàn)同一面，那么=； C ：至少有一次出現(xiàn)正面，那么C=.§1 .2隨機事件的運算1. 設(shè) A、 B、 C 為三事件，用 A、 B、 C的運算關(guān)系表示以下各事

2、件：(1)A 、 B、C 都不發(fā)生表示為：.(2)A與 B 都發(fā)生 , 而 C不發(fā)生表示為：.(3)A 與 B 都不發(fā)生 , 而 C 發(fā)生表示為：.(4)A、B、C 中最多二個發(fā)生表示為：.(5)A 、B、C 中至少二個發(fā)生表示為：.(6)A、B、C 中不多于一個發(fā)生表示為：.2. 設(shè)S x : 0 x 5, A x :1x3, B x : 24 ：那么1A B， 2AB，3AB，4A B=，5AB =。§1 .3 概率的定義和性質(zhì)1. P(AB)0.8, P( A) 0.5, P(B) 0.6，那么(1) P( AB),(2)(P(A B)=,(3) P(A B) =.2. P(

3、A)0.7,P(AB)0.3,那么 P(AB) =.§1 .4古典概型1. 某班有 30 個同學 , 其中 8 個女同學 , 隨機地選 10 個 , 求:(1) 正好有 2 個女同學的概率 ,(2)最多有 2 個女同學的概率,(3) 至少有2 個女同學的概率 .2.將 3個不同的球隨機地投入到4 個盒子中 , 求有三個盒子各一球的概率 .§1 .5 條件概率與乘法公式1丟甲、乙兩顆均勻的骰子，點數(shù)之和為7, 那么其中一顆為1 的概率是。2. P( A) 1/ 4, P(B | A)1/3, P(A|B)1/2, 那么 P(AB)。§1 .6全概率公式1. 有 10

4、 個簽，其中 2 個“中，第一人隨機地抽一個簽，不放回，第二人再隨機地抽一個簽，說明兩人抽“中的概率一樣。2.第一盒中有4 個紅球 6 個白球，第二盒中有5 個紅球 5 個白球，隨機地取一盒，從中隨機地取一個球，求取到紅球的概率。專業(yè)資料整理WORD格式- 1 -專業(yè)資料整理WORD格式§1 .7貝葉斯公式1某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠， 另 30%需經(jīng)過調(diào)試， 調(diào)試后有 80%能出廠，求 1該廠產(chǎn)品能出廠的概率， 2任取一出廠產(chǎn)品 , 求未經(jīng)調(diào)試的概率。2將兩信息分別編碼為A 和 B 傳遞出去，接收站收到時，A 被誤收作 B 的概率為0.02 ，B 被誤收作A 的概率為0.0

5、1 ，信息 A 與信息 B 傳遞的頻繁程度為3 : 2 ，假設(shè)接收站收到的信息是 A，問原發(fā)信息是A 的概率是多少？§1 .8隨機事件的獨立性1. 電路如圖，其中 A,B,C,D 為開關(guān)。設(shè)各開關(guān)閉合與否相互獨立，且每一開關(guān)閉合的概率均為 p, 求 L 與 R 為通路用 T 表示的概率。ABLRCD3.甲，乙 , 丙三人向同一目標各射擊一次，命中率分別為0.4,0.5和 0.6 ，是否命中，相互獨立，求以下概率 : (1)恰好命中一次 ,(2)至少命中一次。第 1 章作業(yè)答案§ 1 .1 1：1S HHH , HHT , HTH ,THH , HTT , THT ,TTH

6、, TTT；（ 2S 0, 1, 2, 32： 1A 1,3,5B3, 4, 5, 6；2A 正正，正反 , B 正正，反反 , C 正正，正反，反正。§ 1.2 1：(1)ABC ；(2)ABC；(3)A B C；(4)ABC ；(5)AB ACBC ；(6)A BA CB C或 ABCA B CA B CABC ；2：( 1)AB x :1x4；(2) AB x : 2x3 ；(3)AB x : 3 x4 ； 4A B x : 0x1或 2 x5 ；5A B x : 1 x 4。§ 1.3 1：(1)P( AB ) =0.3,(2)P( A B) =0.2,(3) P(

7、 AB) =0.7. 2：P( AB) )=0.4.專業(yè)資料整理WORD格式- 2 -專業(yè)資料整理WORD格式§1 .41：(1) C82C228/ C3010,(2)( C2210C 81C 229C82C 228/ C3010,(3)1-(C 2210C81C 229/ C 3010.2：P43/43.§ 1.51： . 2/6；2： 1/4。§ 1.61： 設(shè) A 表示第一人“中 ，那么 P(A) = 2/10設(shè) B 表示第二人“中 ，那么 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A )P(B|A )=2182210910910,兩人抽“中的概率一樣與先

8、后次序無關(guān)。2： 隨機地取一盒，那么每一盒取到的概率都是0.5 ，所求概率為：p = 0.5× 0.4 + 0.5× 0.5 = 0.45§ 1.71： 1 94% 2 70/94；2：0.993；§ 1.8. 1： 用A,B,C,D表示開關(guān)閉合，于是T = AB CD,從而，由概率的性質(zhì)及A,B,C,D 的相互獨立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)p 2p2p 42 p 2p42： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1

9、-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第 2 章 隨機變量及其分布§ 2.1 隨機變量的概念，離散型隨機變量1一盒中有編號為1， 2， 3，4， 5 的五個球，從中隨機地取3 個，用 X 表示取出的3 個球中的最大 .,試寫出 X 的分布律 .2某射手有5 發(fā)子彈，每次命中率是0.4 ，一次接一次地射擊，直到命中為止或子彈用盡為止，用 X 表示射擊的次數(shù) , 試寫出 X 的分布律。§2.20 1 分布和泊松分布1某程控交換機在一分鐘內(nèi)接到用戶的呼叫次數(shù)X 是服從 =4 的泊松分布，求(1)

10、每分鐘恰有1 次呼叫的概率；(2) 每分鐘只少有 1 次呼叫的概率；(3)每分鐘最多有 1 次呼叫的概率；2 設(shè)隨機變量X有分布律：X 23, Y (X),試求：p0.40.6（ 1 P(X=2,Y 2)； (2)P(Y 2)； (3) Y 2, 求 X=2 的概率。§ 2.3 貝努里分布1 一辦公室內(nèi)有 5 臺計算機，調(diào)查說明在任一時刻每臺計算機被使用的概率為0.6，計算機是否被使用相互獨立，問在同一時刻(1)恰有 2臺計算機被使用的概率是多少？(2)至少有3 臺計算機被使用的概率是多少？(3)至多有3 臺計算機被使用的概率是多少？(4)至少有1 臺計算機被使用的概率是多少？專業(yè)資

11、料整理WORD格式- 3 -專業(yè)資料整理WORD格式2設(shè)每次射擊命中率為 0.2，問至少必須進展多少次獨立射擊， 才能使至少擊中一次的概率不小于 0.9 ？§2.4隨機變量的分布函數(shù)0x11 設(shè)隨機變量X 的分布函數(shù)是：F(x) =0.51x11x1 1求P(X 0 )； P 0X1 ；P(X1)，(2)寫出X的分布律。Axx0, 求1常數(shù) A,(2)P 1 X 2 .2 設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)是： F(x) = 1 x0x0§2.5連續(xù)型隨機變量kx0x11 設(shè)連續(xù)型隨機變量X 的密度函數(shù)為：f ( x)0其他（ 1求常數(shù)k的值； 2求 X 的分布函數(shù) F(x) ，畫

12、出 F(x) 的圖形，（ 3用二種方法計算 P(- 0.5<X<0.5).0x12設(shè)連續(xù)型隨機變量x 0的分布函數(shù)為：F(x) =ln x1xe1xe(1) 求 X 的密度函數(shù)f ( x) ，畫出 f (x) 的圖形，(2)并用二種方法計算P(X>0.5).§2.6均勻分布和指數(shù)分布1 設(shè)隨機變量K 在區(qū)間(0,5) 上服從均勻分布, 求方程4 x2 + 4Kx + K + 2 = 0有實根的概率。專業(yè)資料整理WORD格式- 4 -專業(yè)資料整理WORD格式2 假設(shè)打一次所用時間單位：分X 服從0.2 的指數(shù)分布，如某人正好在你前面走進亭，試求你等待：1超過 10 分

13、鐘的概率；210 分鐘到 20 分鐘的概率。§ 2.7正態(tài)分布1 隨機變量X N (3,4), (1) 求 P(2<X 5) ,P(- 4<X 10),P(|X|>2),P(X>3) ；(2) 確定 c，使得P(X>c) = P(X<c) 。2某產(chǎn)品的質(zhì)量指標 X 服從正態(tài)分布，=160，假設(shè)要求 P(120<X<200) 0.80，試問最多取多大？§2.8隨機變量函數(shù)的分布1 設(shè)隨機變量X的分布律為；X012p0.30.40.3Y = 2X 1, 求隨機變量X的分布律。2(1x)0x12 設(shè)隨機變量X 的密度函數(shù)為：f (x

14、)，0其他Y X 2；求隨機變量Y的密度函數(shù)。3. 設(shè)隨機變量X 服從0，1上的均勻分布，Y2 ln X ，求隨機變量Y 的密度函數(shù)。第 2 章作業(yè)答案§ 2.11：X345p0.10.3 0.62：X12345p0.40.6 ×0.40.6 ×0.6 ×0.4 0.6 ×0.6 ×0.6 ×0.40.6 ×0.6 ×0.6 ×0.6 ×1§ 2.21： (1)P(X = 1) = P(X 1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262,(2)

15、 P(X1) = 0.981684,(3) P(X1) = 1 - P(X2) = 1 0.908422 = 0.091578。專業(yè)資料整理WORD格式- 5 -專業(yè)資料整理WORD格式2：(1)由乘法公式：22e22e2)= 2 e2P(X=2,Y 2) = P(X=2) P(Y 2 | X=2)= 0.4 ( e×（ 2由全概率公式： P(Y 2) = P(X=2) P(Y 2 | X=2) + P(X=3) P(Y 2 | X=3)= 0.4 ×5e2+ 0.6173= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458× e2 3由貝葉斯公式： P(X

16、=2|Y 2)= P( X2, Y2) 0.270670.516P(Y2)0.52458§2.31：設(shè)X表示在同一時刻被使用的臺數(shù)，那么XB(5,0.6),(1) P( X = 2 ) = C520.620.43(2) P(X3)=C53 0.630.42C54 0.6 40.4 0.65(3)P(X 3)=1-C54 0.6 40.40.65(4)P(X 1 ) = 1 -0.452： 至少必須進展11 次獨立射擊 .§ 2.41：X1= 0.5； P(X 1) = 0.5， 1P(X 0 )=0.5； P 0(2) X 的分布律為：X-11P0.50.52： (1)A=

17、1,(2)P1X2=1/60x0§ 2.51 ：1k 2， 2F (x)x 20x1 ；1x10.5f (x)dx00.51；3 P(- 0.5<X<0.5) =0dx2xdx40.50.50專業(yè)資料整理WORD格式或 = F(0,5) F(-0.5) =110 。44專業(yè)資料整理WORD格式2 ： 1f ( x)1/ x1 xe0其 2P( X 2) 1 ln 2他§ 2.6 1：3/5 2： (1) e 2(2) e 2e 4專業(yè)資料整理WORD格式§ 2.7§ 2.81： (1) 0.5328,0.9996,0.6977, 0.5； (

18、2) c = 3 ，2： 31.25。1：Y- 113p0.30.40.3專業(yè)資料整理WORD格式1y) 0y11y / 22：fY( y)(1， 3：fY( y)2ey 0 ；y0其他0y 0第 3 章多維隨機變量專業(yè)資料整理WORD格式- 6 -專業(yè)資料整理WORD格式§3.1二維離散型隨機變量1.設(shè)盒子中有2 個紅球， 2 個白球， 1 個黑球，從中隨機地取3 個，用 X 表示取到的紅球個數(shù)，用 Y 表示取到的白球個數(shù)，寫出(X, Y)的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。2. 設(shè)二維隨機變量( X ,Y ) 的聯(lián)合分布律為：X Y012試根椐以下條件分別求a 和 b 的值；00.10.2

19、a(1) P( X1)0.6 ；10.1b0.2(2) P( X1| Y2)0.5 ；(3) 設(shè)F ( x)是Y的分布函數(shù)，F(xiàn) (1.5)0.5 。§3.2二維連續(xù)型隨機變量k(xy)0x1, 0y11.( X、 Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)為：f ( x, y)0其他求 1常數(shù) k； 2 P(X<1/2,Y<1/2) ； (3) P(X+Y<1) ； (4) P(X<1/2) 。kxy0 x 1, 0y x2( X、Y )的聯(lián)合密度函數(shù)為：f ( x, y)其他0求 1常數(shù) k； 2 P(X+Y<1) ；(3) P(X<1/2) 。§3.3邊緣

20、密度函數(shù)1. 設(shè)(X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求X 與 Y 的邊緣密度函數(shù)。f ( x, y)1x,y2 (1 x2 )(1 y2 )2.設(shè) (X, Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求X 與 Y 的邊緣密度函數(shù)。e x0yxf (x, y)其他0§ 3.4 隨機變量的獨立性1. (X, Y) 的聯(lián)合分布律如下，X Y123試根椐以下條件分別求a 和 b 的值；11/61/91/18專業(yè)資料整理WORD格式- 7 -專業(yè)資料整理WORD格式(1)P(Y1)1/3；2ab1/9(2)P( X1|Y 2)0.5 ； 3X與Y相互獨立。2. (X,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下，求常數(shù)c，并討論

21、X與Y是否相互獨立？cxy20 x 1, 0y 1f ( x, y)其他0第 3 章作業(yè)答案§3.11：X Y122：(1) a=0.1b=0.310.40.30.7(2) a=0.2b=0.220.30.0.3(3) a=0.3b=0.10.70.31§3.21： (1) k = 1 ； (2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8； (3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8 。2： (1) k = 8 ； (2) P(X+Y<1) = 1/6； (3) P(X<1/2) = 1/16 。

22、7;3.31：f X ( x)1dy2x；2(12)(1y2)(1x2)xfY ( y)1dx2y；2(1x2)(12(12)y)y2：f X ( x)xe xx0f Y ( y)e yy00x0；0y；0§3.41： 1 a=1/6b=7/18；(2) a=4/9b=1/9； 3a = 1/3, b = 2/9 。2：c = 6, X 與 Y 相互獨立。第 4 章 隨機變量的數(shù)字特征§ 4.1 數(shù)學期望1盒中有5 個球，其中2 個紅球，隨機地取3 個，用 X 表示取到的紅球的個數(shù)，那么EX是： A1；B1.2 ；C1.5 ；D2.3x2x 412. 設(shè)X有密度函數(shù)：f (

23、 x)82, 求E(X ), E(2X 1), E(其他X2),并求 X0大于數(shù)學期望E( X ) 的概率。專業(yè)資料整理WORD格式- 8 -專業(yè)資料整理WORD格式3. 設(shè)二維隨機變量( X ,Y ) 的聯(lián)合分布律為：X Y012 E(XY)0.65，00.10.2a那么 a 和 b 的值是：10.1b0.2（ A a=0.1, b=0.3 ； B a=0.3, b=0.1； C a=0.2, b=0.2； D a=0.15, b=0.25 。4設(shè)隨機變量 (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下：求EX, EY, E( XY 1) 。xy0 x 1, 0y 2f ( x, y)其他0§4

24、.2數(shù)學期望的性質(zhì)1設(shè) X 有分布律：X0123 那么E(X22 X3) 是：p0.10.20.30.4A 1；B2； C3；D4.5yx2y 1，試驗證 E( XY )E(X)E(Y) ，但X與Y不2. 設(shè)( X , Y)有f ( x, y)40其他相互獨立。§ 4.3 方差1丟一顆均勻的骰子，用X 表示點數(shù)，求EX , DX .( x 1) / 40x 22X有密度函數(shù)：f (x)其，求 D(X).0他專業(yè)資料整理WORD格式- 9 -專業(yè)資料整理WORD格式§4.4常見的幾種隨機變量的期望與方差1設(shè)X (2) ,Y B(3, 0.6) ,相互獨立，那么E(X2Y ),

25、 D ( X2Y) 的值分別是： A-1.6和 4.88 ；B-1 和 4； C1.6 和 4.88 ； D1.6 和-4.88.2. 設(shè)X U (a, b),Y N (4, 3) ，X與Y有一樣的期望和方差，求a,b 的值。A0 和8；B1 和7；C2 和6；D3 和5.§ 4.6獨立性與不相關(guān)性矩1以下結(jié)論不正確的選項是AX與Y相互獨立，那么X 與Y不相關(guān)；BX與Y相關(guān)，那么X 與Y不相互獨立；CE(XY)E(X )E(Y) ，那么X與Y相互獨立； Df (x, y)f X ( x) f Y ( y) ，那么X與Y不相關(guān)；2假設(shè)C O V( X ,Y)0 ，那么不正確的選項是AE

26、(XY)E(X )E(Y) ；B E( XY)E(X )E(Y) ；CD(XY)D(X)D(Y) ；D D(XY)D(X)D(Y) ；3X ,Y有聯(lián)合分布律如下，試分析X 與 Y 的相關(guān)性和獨立性。XY101. 11/81/81/801/801/811/81/81/84E( XY)E( X )E(Y) 是X與Y不相關(guān)的 A 必要條件； B充分條件： C充要條件；D 既不必要，也不充分。5.E(XY )E( X )E(Y) 是X與Y相互獨立的A 必要條件； B充分條件： C充要條件； D既不必要，也不充分。6.設(shè)隨機變量(X, Y) 有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗證X 與 Y 不相關(guān)，但不獨立。21x

27、 2 y / 4x 2y 1f ( x, y)其他0專業(yè)資料整理WORD格式-10-專業(yè)資料整理WORD格式第 4 章作業(yè)答案§4.11： B； 2 ：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3 ： D ；4： 2/3 ，4/3 ，17/9 ；§ 4.2 1： D；§4.31： 7/2,35/12；2： 11/36；§4.41 ：A；2 ： B；§4.51： 0.2， 0.355；2： 1/144, 1/11；§4.61： C；2：C； 3：X與Y不相關(guān)，但X與Y不相互獨立； 4：C； 5：A ；第 5 章 極限定理* §

28、5.1 大數(shù)定理§5.2 中心極限定理1一批元件的壽命 以小時計 服從參數(shù)為0.004 的指數(shù)分布， 現(xiàn)有元件 30 只，一只在用，其余 29 只備用， 當使用的一只損壞時， 立即換上備用件， 利用中心極限定理求 30 只元件至少能使用一年 8760 小時的近似概率。2某一隨機試驗，“成功的概率為0.04，獨立重復 100 次，由泊松定理和中心極限定理分別求最多“成功 6 次的概率的近似值。第 5 章作業(yè)答案§ 5.2 2： 0.1788；3： 0.889， 0.841；第 6 章 數(shù)理統(tǒng)計根底§ 6.1 數(shù)理統(tǒng)計中的幾個概念1有 n=10 的樣本； 1.2， 1

29、.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8，1.4，那么樣本均值X=，樣本均方差 S，樣本方差 S2。2設(shè)總體方差為b2有樣本X1, X2, , Xn，樣本均值為X，那么Cov ( X1, X )。§6.2數(shù)理統(tǒng)計中常用的三個分布1. 查有關(guān)的附表， 以下分位點的值：Z0 .9 =，02.1(5) =， t0.9 (10) =。設(shè)X1, X2, X n是總體2( )的樣本，求 E( X ), D(X ) 。2m§6.3一個正態(tài)總體的三個統(tǒng)計量的分布1設(shè)總體XN( ,2) ，樣本 X1,X2, X n，樣本均值 X ，樣本方差 S2，那么XX，

30、/n，S /n專業(yè)資料整理WORD格式-11-專業(yè)資料整理WORD格式1n21n2( X i X )，(X i)，22i 1i 1第 6 章作業(yè)答案§6.11x1.57, s0.254, s20.0646 ；2. Cov (X1, X ) b2/ n；§6.21 -1.29，9.236， -1.3722 ；2E(X)m, D ( X ) 2m / n ；§6.31.N(0,1),t (n1),2 (n 1),2 (n) ；第 7 章 參數(shù)估計§ 7.1 矩估計法和順序統(tǒng)計量法x10x1，有樣本 X1, X2,1.設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為：f (x)0, X n，求未其他知參數(shù)的矩估計。2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù)X () ，為估計的值，在實地隨機地調(diào)查了20 次，每次 1 分鐘，結(jié)果如下：次數(shù)：23456量數(shù)：95374試求的一階矩估計和二階矩估計。§7.2極大似然估計1.設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為：f ( x)(1)x0x1，有樣本 X1,X2, X n，求0其他未知參數(shù)的極大似然估計。§7.3估計量的評價標準1.設(shè)總體X服從區(qū)間 ( a, 1)上的均勻分布，有樣本X1, X2, Xn，證明"是 a