動力氣象-第三章(尺度分析與方程簡化)

1、第三章第三章 尺度分析與基本方程組的簡化尺度分析與基本方程組的簡化 尺度分析尺度分析大尺度運動方程組簡化大尺度運動方程組簡化 大尺度運動的基本性質(zhì)大尺度運動的基本性質(zhì) 一一無量綱方程及動力學(xué)參數(shù)無量綱方程及動力學(xué)參數(shù)引引 言言 大氣運動方程組是非常復(fù)雜的，它是具有大氣運動方程組是非常復(fù)雜的，它是具有6個個變量的變量的非線性非線性偏微分方程組，因此在研究具體的大偏微分方程組，因此在研究具體的大氣運動過程時，需要對方程進行簡化。氣運動過程時，需要對方程進行簡化。 所謂簡化就是在運用運動方程之前，針對所研所謂簡化就是在運用運動方程之前，針對所研究的運動形勢的特點，正確區(qū)分影響運動過程的究的運動形勢的

2、特點，正確區(qū)分影響運動過程的主主要因素要因素和和次要因素次要因素，然后略去方程中次要項，而保，然后略去方程中次要項，而保留其中主要項。留其中主要項。目的：目的：對方程進行簡化，突出主要因子，研對方程進行簡化，突出主要因子，研究運動的主要特征。究運動的主要特征。途徑：途徑：分析各因子（各項）大小，分析各因子（各項）大小， 大大重要；重要； 次要次要簡化的方程一方面在簡化的方程一方面在數(shù)學(xué)形式數(shù)學(xué)形式上變得上變得簡單簡單和容易處理和容易處理，另一方面突出了某種運動型，另一方面突出了某種運動型式的本質(zhì)特征，其結(jié)果便于從式的本質(zhì)特征，其結(jié)果便于從物理上進行物理上進行解釋解釋和和在實際工作中應(yīng)用在實際工

3、作中應(yīng)用。一、尺度分析一、尺度分析特征尺度特征尺度是指某種特定型式運動的空間范圍和時是指某種特定型式運動的空間范圍和時間區(qū)間以及氣象要素或者其他特性的間區(qū)間以及氣象要素或者其他特性的一般大小一般大小。各物理場變量的時空變化有一個范圍，具有各物理場變量的時空變化有一個范圍，具有代表代表意義的量值意義的量值特征值特征值尺度。尺度。例：水平風(fēng)速在例：水平風(fēng)速在 525m/s之間，特征值之間，特征值 ( U ) 取為取為10m/s。u=Uu*，v=Uv*，則則U101m/s，u*和和v*為為數(shù)值在數(shù)值在0.52.5之間的之間的無量綱量無量綱量。將任一物理量將任一物理量q 寫作：寫作： q = Q q*

4、 其中：其中： Q 特征量特征量，表示該物理量的，表示該物理量的一般大小一般大小；常量；有量綱常量；有量綱。 q* 無量綱量無量綱量，量級在，量級在 100，表示該，表示該物理量的物理量的具體大小具體大??；變量；沒有量綱變量；沒有量綱。 這里的這里的q是廣義的，不僅包括氣象要素，是廣義的，不僅包括氣象要素，還包括方程各項。還包括方程各項。比較物理量的大小，可比較特征量的大小。比較物理量的大小，可比較特征量的大小。*,uUuttuUutt已知：則：*Uuutt是的特征量，是其無量綱量。 特征尺度的選取和記號特征尺度的選取和記號 運動的水平尺度運動的水平尺度L：對于波狀式的運動取其對于波狀式的運動

5、取其1/4 的波長，對于渦旋運動則取其半徑；的波長，對于渦旋運動則取其半徑； 鉛直（垂直）尺度鉛直（垂直）尺度D：是指系統(tǒng)的垂直厚度；：是指系統(tǒng)的垂直厚度； 時間尺度時間尺度 ：系統(tǒng)發(fā)生到消亡所經(jīng)歷的時間；系統(tǒng)發(fā)生到消亡所經(jīng)歷的時間； 水平速度尺度水平速度尺度U：是指水平速度的量級；是指水平速度的量級； 垂直速度尺度垂直速度尺度W：則是指垂直尺度的量級。則是指垂直尺度的量級。 特征尺度的選取和記號特征尺度的選取和記號 尺度分析法的基本規(guī)定尺度分析法的基本規(guī)定 (1) 速度（水平、垂直）變化尺度與速度尺度相速度（水平、垂直）變化尺度與速度尺度相同：同： hU zU U， hW zW W (2)

6、經(jīng)過時間尺度經(jīng)過時間尺度 ，物理量，物理量F的時間變化尺度的時間變化尺度 tF與水平變化尺度與水平變化尺度 hF相同：相同： tF hF (3) 氣壓和密度的氣壓和密度的水平變化尺度比其本身的尺度水平變化尺度比其本身的尺度小，小，但是但是氣壓和密度的垂直變化尺度與氣壓和密度的垂直變化尺度與其本身其本身的尺度相當(dāng)：的尺度相當(dāng)： hPP ， h ； zPP ， z 。uuUxxLuuvvUxyxyLuvUzzDwwWxyLwWzD時間尺度：時間尺度：運動系統(tǒng)演變經(jīng)歷一個階段所運動系統(tǒng)演變經(jīng)歷一個階段所需要的特征時間，用符號需要的特征時間，用符號表示。表示。=L/C，如果如果=L/U，則稱為則稱為平

7、流時間尺度平流時間尺度。2,uvCUUwCWUWttLLtLL尺度分析數(shù)量級運算規(guī)則尺度分析數(shù)量級運算規(guī)則大氣運動的尺度分類大氣運動的尺度分類水平水平氣壓梯度力是一真實力，它應(yīng)是運動方程氣壓梯度力是一真實力，它應(yīng)是運動方程中的主要項。觀測表明，在水平特征尺度相差中的主要項。觀測表明，在水平特征尺度相差很大的氣旋、反氣旋和龍卷、颮線、颶風(fēng)（臺很大的氣旋、反氣旋和龍卷、颮線、颶風(fēng)（臺風(fēng)）中的風(fēng)）中的水平氣壓變動水平氣壓變動尺度可達(dá)到同樣的量級，尺度可達(dá)到同樣的量級，使得它們的使得它們的水平氣壓梯度水平氣壓梯度相差好幾個量級。相差好幾個量級。說說明大氣運動的特征與水平尺度關(guān)系密切明大氣運動的特征與水

8、平尺度關(guān)系密切，因此，因此常根據(jù)運動的水平特征尺度對大氣運動進行分常根據(jù)運動的水平特征尺度對大氣運動進行分類。通常分為大、中、小尺度運動。類。通常分為大、中、小尺度運動。各類運動的特征尺度各類運動的特征尺度基本物理量基本物理量各類運動的特征尺度各類運動的特征尺度輔助物理量輔助物理量在中緯度大尺度大氣運動，各物理量的特征量為： 11216410;10;10;10UmsWmsLm Hm5203322250210(1000)10110101010hhzzNPhPamNPNgmsmPPPNPmP，17 5 10LsU對方程組進行尺度分析對方程組進行尺度分析水平尺度：水平尺度：大尺度為106m；中尺度為

9、105m；小尺度為104m。時間尺度：時間尺度：大尺度為105s；中尺度為104s；小尺度為103s?；痉匠痰暮喕椒?.零級簡化方程零級簡化方程 零級簡化：保留方程中數(shù)量級最大的各項，零級簡化：保留方程中數(shù)量級最大的各項，而其他項都略去不計。而其他項都略去不計。2.一級簡化方程一級簡化方程 一級簡化：除保留方程中數(shù)量級最大的各項一級簡化：除保留方程中數(shù)量級最大的各項外，還保留比最大項小一個量的各項。外，還保留比最大項小一個量的各項。運動方程的尺度分析運動方程的尺度分析（不考慮摩擦力）（不考慮摩擦力）二、大尺度運動方程組簡化二、大尺度運動方程組簡化運動方程的尺度分析運動方程的尺度分析（不考慮

10、摩擦力不考慮摩擦力）運動方程的尺度分析運動方程的尺度分析（不考慮摩擦力不考慮摩擦力）連續(xù)方程的尺度分析連續(xù)方程的尺度分析熱力學(xué)方程簡化（絕熱）熱力學(xué)方程簡化（絕熱）熱力學(xué)方程簡化（絕熱）熱力學(xué)方程簡化（絕熱）28零級簡化方程（只保留量級最大項，得到的方程）為：10101000pfvxpfuypgzuvxyTTTuutxy三、大尺度運動的基本性質(zhì)三、大尺度運動的基本性質(zhì)1. 水平方向上： 10hpfkV水平氣壓梯度力水平科氏力0地轉(zhuǎn)平衡地轉(zhuǎn)平衡地轉(zhuǎn)平衡運動的特征：動力學(xué)特征：水平壓力梯度力與科氏力相平衡運動學(xué)特征：風(fēng)沿等壓線吹；背風(fēng)而立，高壓在右，低壓在左（南半球相反）。地轉(zhuǎn)風(fēng)的表達(dá)式： 1gh

11、VkPf1ghVkf南半球：南半球：0,0f在南半球：高壓反氣旋逆時針2. 垂直方向上： 10pgpg zz 靜力平衡 不僅適用于大尺度系統(tǒng)，還適于中小尺度系統(tǒng)。 dPgdz Z坐標(biāo)向P坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換的物理基礎(chǔ) 對上式從Z高度積分到大氣頂H： ( )( )( )HPHP zzHHzHzdPgdzPP zgdzP zgdz 推論：垂直氣壓梯度力浮力 0uvxy連續(xù)方程的零級簡化形式：水平無輻散水平無輻散熱力學(xué)方程的零級簡化形式（絕熱） ： 0TTTuvtxy大尺度運動中溫度的局地變化 主要是由溫度平流引起的大尺度運動的基本性質(zhì)大尺度運動的基本性質(zhì)大尺度零級近似方程組（無絕熱方程）大尺度零級近似方程組

12、（無絕熱方程）1010100pfvxpfuypgzuvxy中緯度大尺度運動是準(zhǔn)水平、中緯度大尺度運動是準(zhǔn)水平、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡、準(zhǔn)靜力平衡、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡、準(zhǔn)靜力平衡、準(zhǔn)水平無輻散、緩慢變化的準(zhǔn)水平無輻散、緩慢變化的渦旋運動。渦旋運動。診斷方程、平衡簡化方程組。診斷方程、平衡簡化方程組。一級近似簡化方程組一級近似簡化方程組（保留量級最大項，和次一級的項，得到的方程）1110()0()0duuupuvfvtxyxuuupuvfutxyypgzuvwxyzTTTuuwtxy 密度變化準(zhǔn)定常密度變化準(zhǔn)定常準(zhǔn)水平，準(zhǔn)水平，非定常非定常準(zhǔn)靜力平衡準(zhǔn)靜力平衡0t0wz非平衡方程組。非平衡方程組。進行尺度分析的步驟：

13、1）把方程各項寫作 “特征量無量綱量”的形式。2）化為“無量綱方程” ： 用方程中某一項的特征量同除方程的每一項（量綱齊次性原理）無量綱方程各項前面的系數(shù)無量綱（數(shù)）體現(xiàn)各項的相對重要性。 四、無量綱方程與無量綱參數(shù)無量綱方程與無量綱參數(shù)利用特征尺度將基本方程組進行無量綱化。不計摩擦的局地直角坐標(biāo)系x方向的運動方程為：1uuuupuvwfvtxyzx 給出特征尺度引入無量綱量，記為：0( , )( ,)( , )( , )hhhx yL x yu vU u vpPpzDzttwWwff f 帶上標(biāo)的為無量綱量，量級為1。01f討論各參數(shù)的物理意義？討論各參數(shù)的物理意義？ 為基別爾參數(shù)：定義為局

14、地慣性力與科氏力的尺度之比：001 =uUtfvf Uff0 是大氣中慣性運動的特征頻率，所以，f0-1可以理解為慣性運動的特征時間尺度（e），也是地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程的特征時間尺度。討論各參數(shù)的物理意義？01ef因此，又可以理解為慣性運動的時間尺度與所研究的運動時間尺度之比，其大小反映運動變化過程的快慢程度。即的量級表示運動地轉(zhuǎn)平衡近似程度。因此，當(dāng)因此，當(dāng) 1 時，時， u/t 相對于fv 可以略去。001 =uUtfvf Uf討論各參數(shù)的物理意義？ 為羅斯貝參數(shù)，表示為水平慣性力與科氏力的尺度之比0020/VuULURfvf Uf L當(dāng)R01，科氏力相對于水平慣性力可以略去。由于各類運動中的圖中

15、水平速度變化不大，因此，R0的大小主要依賴于各種運動的水平尺度。大尺度運動中， R01，科氏力是不能忽略的；小尺度運動中， R01，科氏力可以被忽略不計。1001101010R大 尺 度中 尺 度小 尺 度中緯度大尺度運動： 41010,10mfs Us610Lm100101URf L準(zhǔn)地轉(zhuǎn)中緯度中小尺度運動： 41010,10mfs Us510Lm00010URf L非地轉(zhuǎn)熱帶大尺度運動： 51010,10mfs Us610Lm00010URf L非地轉(zhuǎn) Ri為理查遜數(shù)，這是一個與為理查遜數(shù)，這是一個與大氣層結(jié)穩(wěn)定度大氣層結(jié)穩(wěn)定度和和風(fēng)速切變風(fēng)速切變有關(guān)的動力學(xué)參數(shù)。有關(guān)的動力學(xué)參數(shù)。 熱力學(xué)方程由位溫?zé)崃W(xué)方程由位溫( )來表示為：來表示為： 令令 眾所周知，層結(jié)越不穩(wěn)定、風(fēng)速越強，則有利于對眾所周知，層結(jié)越不穩(wěn)定、風(fēng)速越強，則有利于對流的發(fā)展；反之不利于對流的發(fā)展。所以，流的發(fā)展；反之不利于對流的發(fā)展。所以，Ri當(dāng)用來當(dāng)用來表示大氣中對流（擾動）導(dǎo)致的條件。表示大氣中對流（擾動）導(dǎo)致的條件。2222ln/(/)(/)igzgg DRvzvzUlnlnlnln0uvwtxyzln1()dzT為什么要簡化基本方程組？為什么要簡化基本方程組？原因：描述大氣運動的基本方程組非常復(fù)雜物理上：影響大氣運動的因子很多，重點不突出數(shù)學(xué)上：方程組是